Главная » Просмотр файлов » А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды

А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 25

Файл №1119119 А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды) 25 страницаА.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119) страница 252019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Внося значения и (14,21) и с) (14.27) в (14.26) и используя уравнение сохранения массы (!4.6), получим уравнение распрострайения тепла АТ рс„— — б!т(ХдгадТ)+ рб!чо = О. Ж (14.28) Теперь система уравнений (!4.6), (14.6), (14.20) н (14.28) для вектора о и скаляров р, р, Т стала замкнутой для рассматриваемого идеального газа. Вместо Т эа искомую функцию можно принять и нлн 5 или другую, выражающуюся через р, р,' Т термодинамическую функцию, например энтальпию (теплосодержаиие) 1= с„Т.

Если прн значительных скоростях движения газа пренебречь теплопроводностью (считать процесс деформации частицы адиабатнческнм), то в (11.25) б'Я=О н, значит, энтропия частицы будет сл где у = — — число Пуассона (для воздуха у = 1,4). с„ К неизвестным функциям о, р, р, входящим в незамкнутую систему уравнений Эйлера (14.5) и (14.6), добавилась теперь еще одна функция — температура Т или энтропия 5, связанные с р, р соотношениями (14.20) и (14.25), Но теперь закон сохранения энергии дает еще одно дифференциальное уравнение и . — и!Лр р — -,'- Йч с7 — р = О.

си ст 154 кллсспчесю гс сгеды 1лль гч, и связь между о и р: о= р+( + р)б(чо. з (15.4) о = — р+ Х'о(чо, (15.5) Вводя компоненты девиаторов 1 о- = о" — — об. з (15.6) ! о. = о" — — Й!чоб . з из соотношений (15.2) получим оп — — 2роп (1, ! = 1, 2, 3). (15.7) Соотношения (15.2) тождественны соотношениям (15.5), (15,7), но последние имеют более ясный физический смысл, так как (15.5) означает линейпыи закон вязкости объемного сопротивления и 2 потому Х' = л+ — р есть коэффициент объемной вязкости, а 3 (!5.7) означает линейный закон вязкости сдвигового сопротивления и потому 1~ есть коэффициент сдвнговой вязкости.

Действительно, приводя соотношения (!5.7) к главным осям (о1=2!»оь ...) н вычитая ик попарно, получим для экстремальных касательных 1 напряжений т„= — (6» — 6»), ... и экстремальных скоростей сдви- 2 гов Чм — — о~ — оъ ... соотношения таз = ру«в. На рпс. 15.1 пунктиром показано сечение элемента жидкости в момент 1, выбранного в виде кубика в главных осях так, что две грани нормальны к главному направлению «3», а четыре другие делят пополам углы между главными направлениями «1» и «2» (эти направления показаны пунктиром).

Через момент Ж за счет 1 1 напряжений тм произойдут малые сдвиги — у»» = — Чь»пг. 2 2 Отсюда следует, что в общем случае среднее напряжение а = — ообн 1 есть линейная неоднородная функция скорости деформации объема б!чо = о; бц 155 Визкис жидкости Каждое из изображенных касательных напряжений пропорционально полной скорости сдвига: / 1 1 ты=И~ уы — уы = руы ~ 2 2 / Другое пояснение закона вязкого трения (15.7) получим, если рас- смотрим плоскопараллельное течение, определяемое полем скоро- стей г'" ~1 Рис. 15.1 Рис. 1о.2 ются пропорционально Ло, и, ческого двнження слоя й со от=О необходимо приложить нальные Лоь значит, для реализации макроскописредними скоростями о, =А+Вхз,.

на плоскостях силы ом, пропорцио-- о, = А + Вх„п, = О, оа = О (А,  — постоянные), На рис. !5.2 показаны две плоскости, расположенные на расстоянии Ь; верхняя плоскость, по которой действует касательное напряжение ом, движется относительно нижней со скоростью о~(хи+а) — о,(хт) =ВЬ=Лиь Относительная скорость сдвига плос- Ли, костей — =- В представляет единственную, отличную от нуля л / 1 компоненту тснзора е ~ем =- пти пяя — — о,и = оии = О, о„= — В). 2 ЛО~ Из (15.7) имеем оти=рВ=р — ', т. е. касательное напряжение ь пропорционально градиенту скорости о, по осп хь Физическую природу вязкого трения в газах и жидкостях можно разобрать.

па примере рассматриваемого случая. В молекулярном движениц каждая молекула имеет отличт/ ные от нуля скорости о~ „,. оти„п за счет этого молекулы, движущиеся со скоростью оскст от нижней плоскости к верхней, ускоряются (вдоль осн х~), а молекулы, движущиеся в обратном направление, замедля- 156 !Гх. пг, КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ Соотношения (!55), (!57) доказываются в кинетической теории газа, причем для одноатомиого газа объемный коэффициент вязкости 17=0, т. е.

(15.8) Для других газов, а также сжимаемых жидкостей соотношение (15.8), вообше говоря, не имее~ места. Уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости в декартовых координатах х; зйлерова пространства получаются из уравнений движения (15.9) — — = Ьоо д дч! дх! дх! — — — — (б!т и), дх! дх; дх! дх! дх; то (15.9) примет вид р Р— Х,.) = — — +(), + р) — (б!Чо)+ Фио! х де! х до д ~ дт ') дх! дх! (1=1, 2, 3), откуда и следует (15.10).

Уравнение сохранения массы — +<Ичо=0 дтор и! вместе с уравнениями Навье — Стокса представляют незамкнутую подстановкой хт!! из соотношений (15.2) р — ' — Х,) = — — + — (Х с! !ч о) + Г дР! х др д Ш . ) дх; дх; — ~р( — '+ — ')~ (! = 1, 2, 3). Если в области течения Х и 'р можно считать постоянными, то из (15.9) получаются уравнения Навье — Стокса: р! — — Р) = — ягабр+(Л+р) афтаб(б)чо)+ рЬо, (15,10) ~, дт где Ь = — оператор Лапласа. Действительно, так как д~ дх! дх! 157 Вязкие жидкости д И] систему четырех дифференциальных уравнений для пяти функций (о! о2 оз Р Р)' Движение вязкой жидкости сопровождается диссипацией механической энергии. Согласно теореме живых сил работа внешних сил Ь'А за время Ж не полностью переходит в кинетическую энергию Н(.

Для б'А имеем согласно (10.29) б'А = йК+ ]от, где мощность вязких сил ]с„,„определяется соотношением ]с„„,„= ]с(й!ч о)'+ 2ропои. (15.12) Предполагается, что сии,и превращается в тепло, т. е. Фи=я,язя. Согласно второму закону термодинамики РТЬз — 6'Я = Ф"Ж > О, (15.13) н поэтому коэффициенты вязкости Х, ц неотрицательны. Рассмотрим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости Уравнения Навье — Стокса и условие несжимаемостп (при в=сонэ(, р=сопз]) ди — 1 — — Р = — — афтаб Р + тЛо, ит р й]то = О (15.14) представляют замкнутую систему дифференциальных уравнений для о н р. Работа напряжений в единице объема за единицу вре- мени совпадает с рассеянием ]ст*: ]с = %" = 2]тоооц = 2ртоиои.

(15.15) Величина т = р/Р причем в данном случае работа напряжений в единицу времени будет )~ = оиос] = — РсИто+ ]с(д]то)з+',2]яомоц = ~ +К„„зи, (15.11) Р клдссическете сРеды 1ге. 71е, называется кинел1ати сескиа коэсрфициентом вязкости. Значения' р для некоторых жидкостей и газов приведены в таблице. Жидкость Температура, 1. Вода 2. Ртуть 0 100 3. Глииерии 6,80 4.

Воздух (давление = —.= 1 авакс) Коэффициент вязкости р газов почти не зависит от давления, а р убывает обратно пропорционально давлению, Если вязкость несжимаемой жидкости зависит от температуры (р=сопз1, р=р(Т)), то уравнения движения имеют внд — — гс =- — — — -; того, + 2т'оп —, до1 1 др, дТ д1 р дх; ' о дх1 (15.16) Из основных термодинамических равенств рби = 6'Я вЂ”; )5'"бс, Трбэ = б'Я -'; )5"61 следует с(и=ТЕ1э, причем ие м(Т), э=э(Т). Считая теплоемкость покоящейся жидкости постоянной, т. е.

при о„=- О, б'1~ = рс„бТ, находим и =- С„Т+ сопз1, э = — с„!п7+ сопз1, и потому уравнение энергии дает (при законе теплопроводностп Фурье и постоянной теплопроводности й) уравнение = авЬТ вЂ”,' — остов- ~а = 1/ — ). (15.17) 0 20 50 0 20 100 0,0178 0,100 0,0056 ! 0,00125 0,00091 0,133 0,150 0,243 у !Б) 159 Вязкие жидкости Система уравнений (15.16), (15.17) для оь ом ом р, Т является замкнутой и опредечяет движение вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости.

В случае вязкого разреженного газа уравнения Навье — Стокса и виде (15.9) н условие неразрывности д1пр -т- б)ч о = () дг могут быть дополнены уравнением состояния р=р(р, Т) и уравнением энергии (прн известной и(р, Т)) р — = 6)ч(Хпгаб Т) — рб(чо — , '))т', дг где %'* имеет впд (15.12). Это уравнение является обобгцением уравнений (!4.28) и (15.!7). Система является замкнутой для функций оь ом ом р, р, Т.

Выведем теперь уравнения движения вязкой жидкости в лагранжевых координатах хь хъ хз Принимая за искомые функпии х;=х;(хь хм хм() (нли и;=х; — х~) и имея в деформированном состоянии (в момент Г) «вморожеиные» криволинейные координаты дк хь базис э, = —, метрические тензоры дх; дт1-— .э;э =- —.—, дт~д =б; — дк» дяк н базис э'== ат1э1, мы можем тензорный закон вязкости (15.1) 5 — — Пгт -',- 29У записать через контравариантные компоненты тензоров напряжений Ят1 и скоростей деформаций (тт1: 57 = Пдтг+ 2911т1. (15.18) При этом, как известно, ковариантные компоненты )тт1 тензора скоростей деформации связаны с деформациями еи соотношениями (9,64), (9.62').

д«кя д1 д1 дх; дх д1 дктдг дн. Поднимая индексы у 1',1, получим 2)тт1 2)т вотжУ1« 1Г». Ыс 160 КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ и, следовательно, найдены выражение закона вязкости в лагранже- вых координатах уу = Пдч' -с 2рд ' д~ У (15.20) ускорения а п массовой силы и Х; в ортогональном репере Контравариантные компоненты г в репере э; выражаются через х~ (Г=Х;е~) формулами (14.10) дх« д«х« юг эо дх,'др р~ пХ « дх« ' (15.21) получим уравнение, которое упростнм путем умножения на д««. В результате получим р — '«( — х" ХА '1 = — +-2щ'~1), 1',«(1= 1, 2, 3). (15,22) дх~ ~, ди «~ дх; Это и есть искомые уравнения, причем скаляр П имеет вид П = — )т+ Хй(то = — р — — .

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6374
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее