А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Внося значения и (14,21) и с) (14.27) в (14.26) и используя уравнение сохранения массы (!4.6), получим уравнение распрострайения тепла АТ рс„— — б!т(ХдгадТ)+ рб!чо = О. Ж (14.28) Теперь система уравнений (!4.6), (14.6), (14.20) н (14.28) для вектора о и скаляров р, р, Т стала замкнутой для рассматриваемого идеального газа. Вместо Т эа искомую функцию можно принять и нлн 5 или другую, выражающуюся через р, р,' Т термодинамическую функцию, например энтальпию (теплосодержаиие) 1= с„Т.
Если прн значительных скоростях движения газа пренебречь теплопроводностью (считать процесс деформации частицы адиабатнческнм), то в (11.25) б'Я=О н, значит, энтропия частицы будет сл где у = — — число Пуассона (для воздуха у = 1,4). с„ К неизвестным функциям о, р, р, входящим в незамкнутую систему уравнений Эйлера (14.5) и (14.6), добавилась теперь еще одна функция — температура Т или энтропия 5, связанные с р, р соотношениями (14.20) и (14.25), Но теперь закон сохранения энергии дает еще одно дифференциальное уравнение и . — и!Лр р — -,'- Йч с7 — р = О.
си ст 154 кллсспчесю гс сгеды 1лль гч, и связь между о и р: о= р+( + р)б(чо. з (15.4) о = — р+ Х'о(чо, (15.5) Вводя компоненты девиаторов 1 о- = о" — — об. з (15.6) ! о. = о" — — Й!чоб . з из соотношений (15.2) получим оп — — 2роп (1, ! = 1, 2, 3). (15.7) Соотношения (15.2) тождественны соотношениям (15.5), (15,7), но последние имеют более ясный физический смысл, так как (15.5) означает линейпыи закон вязкости объемного сопротивления и 2 потому Х' = л+ — р есть коэффициент объемной вязкости, а 3 (!5.7) означает линейный закон вязкости сдвигового сопротивления и потому 1~ есть коэффициент сдвнговой вязкости.
Действительно, приводя соотношения (!5.7) к главным осям (о1=2!»оь ...) н вычитая ик попарно, получим для экстремальных касательных 1 напряжений т„= — (6» — 6»), ... и экстремальных скоростей сдви- 2 гов Чм — — о~ — оъ ... соотношения таз = ру«в. На рпс. 15.1 пунктиром показано сечение элемента жидкости в момент 1, выбранного в виде кубика в главных осях так, что две грани нормальны к главному направлению «3», а четыре другие делят пополам углы между главными направлениями «1» и «2» (эти направления показаны пунктиром).
Через момент Ж за счет 1 1 напряжений тм произойдут малые сдвиги — у»» = — Чь»пг. 2 2 Отсюда следует, что в общем случае среднее напряжение а = — ообн 1 есть линейная неоднородная функция скорости деформации объема б!чо = о; бц 155 Визкис жидкости Каждое из изображенных касательных напряжений пропорционально полной скорости сдвига: / 1 1 ты=И~ уы — уы = руы ~ 2 2 / Другое пояснение закона вязкого трения (15.7) получим, если рас- смотрим плоскопараллельное течение, определяемое полем скоро- стей г'" ~1 Рис. 15.1 Рис. 1о.2 ются пропорционально Ло, и, ческого двнження слоя й со от=О необходимо приложить нальные Лоь значит, для реализации макроскописредними скоростями о, =А+Вхз,.
на плоскостях силы ом, пропорцио-- о, = А + Вх„п, = О, оа = О (А,  — постоянные), На рис. !5.2 показаны две плоскости, расположенные на расстоянии Ь; верхняя плоскость, по которой действует касательное напряжение ом, движется относительно нижней со скоростью о~(хи+а) — о,(хт) =ВЬ=Лиь Относительная скорость сдвига плос- Ли, костей — =- В представляет единственную, отличную от нуля л / 1 компоненту тснзора е ~ем =- пти пяя — — о,и = оии = О, о„= — В). 2 ЛО~ Из (15.7) имеем оти=рВ=р — ', т. е. касательное напряжение ь пропорционально градиенту скорости о, по осп хь Физическую природу вязкого трения в газах и жидкостях можно разобрать.
па примере рассматриваемого случая. В молекулярном движениц каждая молекула имеет отличт/ ные от нуля скорости о~ „,. оти„п за счет этого молекулы, движущиеся со скоростью оскст от нижней плоскости к верхней, ускоряются (вдоль осн х~), а молекулы, движущиеся в обратном направление, замедля- 156 !Гх. пг, КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ Соотношения (!55), (!57) доказываются в кинетической теории газа, причем для одноатомиого газа объемный коэффициент вязкости 17=0, т. е.
(15.8) Для других газов, а также сжимаемых жидкостей соотношение (15.8), вообше говоря, не имее~ места. Уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости в декартовых координатах х; зйлерова пространства получаются из уравнений движения (15.9) — — = Ьоо д дч! дх! дх! — — — — (б!т и), дх! дх; дх! дх! дх; то (15.9) примет вид р Р— Х,.) = — — +(), + р) — (б!Чо)+ Фио! х де! х до д ~ дт ') дх! дх! (1=1, 2, 3), откуда и следует (15.10).
Уравнение сохранения массы — +<Ичо=0 дтор и! вместе с уравнениями Навье — Стокса представляют незамкнутую подстановкой хт!! из соотношений (15.2) р — ' — Х,) = — — + — (Х с! !ч о) + Г дР! х др д Ш . ) дх; дх; — ~р( — '+ — ')~ (! = 1, 2, 3). Если в области течения Х и 'р можно считать постоянными, то из (15.9) получаются уравнения Навье — Стокса: р! — — Р) = — ягабр+(Л+р) афтаб(б)чо)+ рЬо, (15,10) ~, дт где Ь = — оператор Лапласа. Действительно, так как д~ дх! дх! 157 Вязкие жидкости д И] систему четырех дифференциальных уравнений для пяти функций (о! о2 оз Р Р)' Движение вязкой жидкости сопровождается диссипацией механической энергии. Согласно теореме живых сил работа внешних сил Ь'А за время Ж не полностью переходит в кинетическую энергию Н(.
Для б'А имеем согласно (10.29) б'А = йК+ ]от, где мощность вязких сил ]с„,„определяется соотношением ]с„„,„= ]с(й!ч о)'+ 2ропои. (15.12) Предполагается, что сии,и превращается в тепло, т. е. Фи=я,язя. Согласно второму закону термодинамики РТЬз — 6'Я = Ф"Ж > О, (15.13) н поэтому коэффициенты вязкости Х, ц неотрицательны. Рассмотрим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости Уравнения Навье — Стокса и условие несжимаемостп (при в=сонэ(, р=сопз]) ди — 1 — — Р = — — афтаб Р + тЛо, ит р й]то = О (15.14) представляют замкнутую систему дифференциальных уравнений для о н р. Работа напряжений в единице объема за единицу вре- мени совпадает с рассеянием ]ст*: ]с = %" = 2]тоооц = 2ртоиои.
(15.15) Величина т = р/Р причем в данном случае работа напряжений в единицу времени будет )~ = оиос] = — РсИто+ ]с(д]то)з+',2]яомоц = ~ +К„„зи, (15.11) Р клдссическете сРеды 1ге. 71е, называется кинел1ати сескиа коэсрфициентом вязкости. Значения' р для некоторых жидкостей и газов приведены в таблице. Жидкость Температура, 1. Вода 2. Ртуть 0 100 3. Глииерии 6,80 4.
Воздух (давление = —.= 1 авакс) Коэффициент вязкости р газов почти не зависит от давления, а р убывает обратно пропорционально давлению, Если вязкость несжимаемой жидкости зависит от температуры (р=сопз1, р=р(Т)), то уравнения движения имеют внд — — гс =- — — — -; того, + 2т'оп —, до1 1 др, дТ д1 р дх; ' о дх1 (15.16) Из основных термодинамических равенств рби = 6'Я вЂ”; )5'"бс, Трбэ = б'Я -'; )5"61 следует с(и=ТЕ1э, причем ие м(Т), э=э(Т). Считая теплоемкость покоящейся жидкости постоянной, т. е.
при о„=- О, б'1~ = рс„бТ, находим и =- С„Т+ сопз1, э = — с„!п7+ сопз1, и потому уравнение энергии дает (при законе теплопроводностп Фурье и постоянной теплопроводности й) уравнение = авЬТ вЂ”,' — остов- ~а = 1/ — ). (15.17) 0 20 50 0 20 100 0,0178 0,100 0,0056 ! 0,00125 0,00091 0,133 0,150 0,243 у !Б) 159 Вязкие жидкости Система уравнений (15.16), (15.17) для оь ом ом р, Т является замкнутой и опредечяет движение вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости.
В случае вязкого разреженного газа уравнения Навье — Стокса и виде (15.9) н условие неразрывности д1пр -т- б)ч о = () дг могут быть дополнены уравнением состояния р=р(р, Т) и уравнением энергии (прн известной и(р, Т)) р — = 6)ч(Хпгаб Т) — рб(чо — , '))т', дг где %'* имеет впд (15.12). Это уравнение является обобгцением уравнений (!4.28) и (15.!7). Система является замкнутой для функций оь ом ом р, р, Т.
Выведем теперь уравнения движения вязкой жидкости в лагранжевых координатах хь хъ хз Принимая за искомые функпии х;=х;(хь хм хм() (нли и;=х; — х~) и имея в деформированном состоянии (в момент Г) «вморожеиные» криволинейные координаты дк хь базис э, = —, метрические тензоры дх; дт1-— .э;э =- —.—, дт~д =б; — дк» дяк н базис э'== ат1э1, мы можем тензорный закон вязкости (15.1) 5 — — Пгт -',- 29У записать через контравариантные компоненты тензоров напряжений Ят1 и скоростей деформаций (тт1: 57 = Пдтг+ 2911т1. (15.18) При этом, как известно, ковариантные компоненты )тт1 тензора скоростей деформации связаны с деформациями еи соотношениями (9,64), (9.62').
д«кя д1 д1 дх; дх д1 дктдг дн. Поднимая индексы у 1',1, получим 2)тт1 2)т вотжУ1« 1Г». Ыс 160 КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ и, следовательно, найдены выражение закона вязкости в лагранже- вых координатах уу = Пдч' -с 2рд ' д~ У (15.20) ускорения а п массовой силы и Х; в ортогональном репере Контравариантные компоненты г в репере э; выражаются через х~ (Г=Х;е~) формулами (14.10) дх« д«х« юг эо дх,'др р~ пХ « дх« ' (15.21) получим уравнение, которое упростнм путем умножения на д««. В результате получим р — '«( — х" ХА '1 = — +-2щ'~1), 1',«(1= 1, 2, 3). (15,22) дх~ ~, ди «~ дх; Это и есть искомые уравнения, причем скаляр П имеет вид П = — )т+ Хй(то = — р — — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
