А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Из (16.20) следует, что если мы произведем ортогональное преобразование систем координат (х;), по отношению к которой написана связь (16.20), то для Езь „получим тензорный закон преобразования, т. е. Еп, „есть тензор 4-го лорядка. Пусть преобразование координат х, имеет вид х,'. = Уцхтц В новых осях рге ыц КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ Симметрии свойств тела означает, что для определенных (т.
е. заранее известных для каждого тела) преобразований координат (не обязательно ортогональпых) конфигурация повторяется и потому упругие константы ие зависят от этих преобразований. Например, в случае полной пэотропни, как мы уже видели, (16.20) имеет вид ап — — Хббп + 2реи = (Хб„„б„+ 2рбеиб з) е Еп „= Хб „б„+ 2рб ',Ь„,. (16.26) Из (16.22) и (16.23) найдем при произвольном ортогональном пре- образовании Еп „„= — 1сз1я1 1„, (Лбыб„+ 21зб~ Ь, ) = = Хбс был+ 2)зб, бз„— — Еп,~„, т.
е. упругие постоянные не изменяются. Обратно, если в (16.22) положить Е'„, „=Ем.„„, то мы найдем (пз свойств преобразова- ния 1; 1; =Ь;;), что Еть „должны иметь вид с„бцб„„+ с,б,„б,„, т. е. соДеРжат две независимые константы с~ и сз (илп Х и 1з), Если свойства сохраняются только при некоторых (не произвольных) преобразованиях координат, то из (16.22) (или аналогичных неортогональных преобразований) находятся соотношения между 21 упругой постоянной. Анизотропное упругое тело называется орготропным, если существует такая ортогональная система координат хь в которой координатные плоскости (точнее, проведенные параллельно координатным в любой точке тела) являются плоскостями упругой симметрии, Если в этой системе координат изменить направление какой-нибудь оси, например хь на обратное, то упругие постоянные не должны изменяться. При таком преобразовании нормальные деформации еи, езз, езз и яз~пряжения аы, овь азз сохраняют знаки (так как каждый индекс у еп, ом входит дважды), сдвиги' е~з, ем и касательные напряжения оа, п1з изменяют знаки на обратные, езз и озз сохраняют знаки.
Аналогичные следствия ~будут при изменении направлений осей хз и хз на обратные. Следовательно в рассматриваемых осях нормальные напряжения могут зависеть только от нормальных деформаций, касательные же — только от соответствующих сдвигов (пм — от еы и т. д.), т. е. в (16.20) для 1=1 Еп „отличны от нуля только при пз=л, а для зФ1— только при т=1, п=)'. Учитывая условие симметрии (16.19), полу- 167 Линейная теория упругости э" 16) чим закон Гука для ортотропного тела в осях хс (выбранных ука- занным образом) в виде од, = Еизгвдд + Ен,гге„+ Е1дзгезз, о„= Ен даем + Еггдгв„+ Егг,ззезз, о„= Емдзедд+ Еггдзв„+ Ездззезз, (16.24) о„= 2Е„дгедг п~з =- 2Егздзегз ом = 2Езьзгвзд.
На рис. 16.1 показан пример ортотропного стеклопластика. Ортотропиое тело называется кубически-симметричным, если свойства) его (в указанных осях х;) одинаковы по всем трем направлениям. Поворот этой системы координат вокруг любой из ее осей хг не должен изменять констант, входящих в (16.24). Как нетрудно видеть, отсюда следует Еи лг = Еггдг = Езз,зз = сд, ' Еи,гг = Егьзз = Еггдз = сг, Е миг = Е|здз = Егздз = сз и вместо 9 независимых упругих постоянных общего ортотропного тела остаются только три: пы = сдвы + сз(ем + езз), (16.25) одг =- 2сзе,г, Если потребовать сохранения свойств (констант) кубически симметричного тела при повороте системы (х;), отличном от рассматриваемых выше, то получится еще одно соотношение между сь сг, сз'.
сд — с = 2сз, т. е. тензор упругих постоянных в любых ортогональиых координатах будет иметь внд (!6,25), причем )д = с.„р = с,. Система уравнений движения анизотропного упругого тела на основании (!6.20) является замкнутой для вектора перемещения й. Теплопроводность анизотропных тел, как н линейное расширение, вообще говоря, различна в разных направлениях. Для всех тел, как отмечалось раньше, — уг~;Т)0, т, е, в декартовых коорб* 168 1г. г».
классические сгсды дт дпнатах — д,— >О. Отсюда в общем случае линейной завидки спмостн потока тепла д от йтаб Т имеем дТ 7.= — Л— а и д ! хт причем скорость возрастания энтропии теплообмена (16.27) дгч ~ дю дх! является положительной однородной квадратичной формой отнодт сительно —, Без уменьшения общности выражения (16.26) дх, ' тепзор коэффициентов теплопроводности йп можно считать симдт. метричным (так как О"'"' — скаляр, — — вектор, то по обратдк~ ному признаку следует, что г.п — тензор) ) и — — ).н (16.28) Свободную энергию единицы объема анизотропного упругого тела прн малых деформациях и малых отклонениях (равных 6) от постоянной температуры Та можно записать в виде, аналогичном (16.1): Роф = Ао — ЕвТ+ — ~Еп; е ге, — 2Щоеп — — ""' 6'), (16.29) о откуда аналогично (16.1) т, р,и = р,(И+ ЗТ) = А„+ — (Еп, е„е „-,'- — "' б'), (16.30) т, с =- — Т вЂ” =с.
Уф дт' Следовательно, связь между псь еп. Т будет пи= ~' =-Еп „е „вЂ” Щ, д2Ро1г (16.31) де у Поскольку о„— Еп, „℄— симметричный тензор, то (1;; также симметричен 1ц=Кп (16.32) и является тензором коэффициентов температурных напряжений. 169 Линейная теория упругости — +рХ,=р и аоц, а гч арое = — — г(!ч ч, дхй дп д1 т, причем последнее уравнение (теплопроводности) имеет вид рог = )ч' 7 от'и ° дТ дгТ деп д~ 'т ахгах~ дт Применение этих уравнений возможно как к собственно ани- зотроппым телам (кристаллам),так и к конструктивно анизотроп- ным. В последнем случае сетка «арматуры» должна быть доста- точно густой и все рассматриваемые величины (температура Т, поток тепла д, деформации, напряжения) являются средними в некотором смысле.
Понятия средних могут быть уточнены на осно- ве опытов с образцами, в которых создаются «однородные» усло- вия, или нз теоретических соображений, которые специфичны для конкретных моделей тела. (16.34) ф 17. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В нелинейной теории упругости сохраняются все основные предположения линейной теории упругости, за исключением предположения о малости деформаций; последние могут быть произвольными.
Компоненты деформации етл в лагранжевых координатах (хе=хо) выражаются через компоненты метрического тензора ун соотношениями йггт = би + 2егт'. Следовательно, как уже отмечалось в ч 6, сам метрический теизор также является тензором деформации, т. е. деформация тела вполне определяется как его ковариантпыми (дгг), так и коптравариантными (уп) компонентами, Разрешая (16.31) относительно деформаций, получим ап = в;, -(~ . + Р...б), (16.33) где Е;,, „— тензор обратный Ег;, „. Как видно из этих формул, тензор Е;, „р „является тензором коэ4фицгсептов температурной де4гормации апизотропного тела. Из (16.33) следует, что ненапряженное аиизотропное тело (а;;= 0) может за счет равномерного нагревания получать не только объемные, но н сдвиговые деформации.
Замкнутая система уравнений динамической термоупругости анизотропного тела получается для й и Т из соотношений 170 классические сееды 1г.. ш, причем дц через Йц находятся из системы уравнений ($ 6) ЛЦ 1 да Юпй"а=бь Йн = — =— (17.1) е е ддц ' где Й= (дц~, Ац — алгебраическое дополнение (ц)-того злемента определителя а.
Метрический тензор, как и твизор е определяется законом движения частицы х=х(х, (). Инварианты тензора Йц относительно ортогональных преобразований начальной (декартовой) системы координат х'=х; определяются как коэффициенты кубического уравнения )Йц — Лбц) =О, их теперь мы обозначим через а, Ь, с; — Ла + аЛ' — ЬЛ + с .=- О, (17.2) а = Йц Ьц = д„+ д„+ Йез, 1 Ь = — (ае — Йцуц), Уравнение ) Й'ц — Лбц) =0 получается прн определении главных деформаций ($6) и совпадает с (6.37), причем в обозначениях 5 6 согласно (6.37), (6.39), (6.40) получаем Л=Й,, а=!м, Ь=7е,, с=7ез (17.3) Ниже метрический тензор, выраженный через его компоненты Йц, будем обозначать 6, единичный тензор, выраженный через Ьц, будем обозначать Е: ~=(уц), Š— - (Ьц) (17.4) и 6 называть тензором деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
