А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. вектор в и давление р — суть некоторые определенные и другим. Процесс уц=уп(1) определяется, следовательно, заданием траектории вектора у(1) в пространстве Ег и среднего значения 1 «!= — уи ЬП в каждой точке траектории. Длиной дуги траектории зе называется величина, для ко- торой 192 сРеды со сложными свойствами функционалы э(1). Если задан процесс о(1), то э н 0=3 е будут однозначно определены в каждой точке траектории в(1).
В первом случае напряжение в можно изобразить вектором, приложенным в каждой (соответствующей по 1) точке траектории з(1), приписав этой точке также величину давления р, Тогда каждая точка на э(1) в Ео изображает состояние тела в точке М (рис. 19.!). Траектория деформации э(1) с построенным в каждой ее точке вектором напряжения в н приписанными каждой точке параметрами (е, Т, (1, р) называется э-образом процесса в точке М тела, Аналогично можно построить в-образ, вообще у-образ. Лля э-образа (!9.12') припима1от вид с(з=)йэ(=М1, 1 з = ) оаг, о = ( — ~ = )т еп е„. (19.12) о Работа напряжений ои на приращекиях деформаций Наи, равная пиЫеи, включает работу сдвигов вис(еи и работу давления ро(0; полная работа девиатора напряжений равна ~в,,Би = ~йэ. о о Рис.
19.! Такое же выражение работы силы Г получается лри движении мате иальной точки по кривой хЯ в механике. В реобразования вращения и отраокения в Ео — это линейные однородные ~преобразования вектора э и всех у с помощью постоянной не зависящей от 1 матрицы и=!!а |! и обратной а=))а „!1: у' = ау, у = ау', (19.13) у =амру, ум=и ур (т,р=1,2, ...,5), сохраняющие неизменной длину вектора ~ у ! =- у: у"= уз=у', (19.14~ у ур = ошр-троуруо = урур' 193 Процессы малых деформаций ду' = ас(у, (ду')' = — (с(за)' = (ду)'=, д" дэ = аэа, — — — йсу у, = ау„(у,)а=(у,)', у,ж —, ис Й'ю/' ус ма —, й!с (19.16) (г = О, 1, 2, ..., оо).
Таким образом, длина дуги э„и все производные вектора у по времени ! по модулю. сохраняются прн преобразовании вращения и отражения, т. е, внутренняя геометрия траектории вектора у(!) в Ез сохраняется. Так как ~ у, ~ ~ у, ) сов (у у ) ее у у, — уу, = — ~ у, ! ! у, ~ сов (у, у ) „ ~ у,! =- / у,!, сов (у,у,) = сов(у,у,), (19.17) Отсюда получаем свойства матриц а, а: амра = 6,, амра„р — — 6 „ Ое! (а „) =— ! а „~ = ~ ! (сп, и, р, а = 1„2„..., 5), (19. 15) Здесь 15 независимых уравнений для 25 параметров и „, т. е.
остаются произвольными ! О параметров. Такие ортогональные преобразования (как и в трехмерном пространстве) называются преобразованиями вращения при ~1а ) =+1, и отр жения — прн ~ сс „~ = — 1. ' Физические процессы э(!) и э'(!) =аэ в точке М тела различны, что следует из (19.2). На основании (19.2) н свойств (19.4). можно доказать, что преобразование поворота системы координат (х;) в ! с В точке М тела, определяемое тремя ос й ' дроисгааа параметрами (углами Эйлера), яв- в,~~ ляется частным случаем преобразо- эс наний вращения, изменение угла 5. з,' через который определяются коэф- а~ 1 фициенты в (19.2), является частным случаем преобразований отра- д«! Уорамгаиг жения, а именно однопараметриче- ! ским отражением.
э д" Из (19.13), (19.!4) дифференцированием по ! на основании 2" (19.15) получим Рис. !9.2 1г .,т, 194 сэеды со слОжными своиствхми следовательно для векторов ~у — й'у — л'э У У1= — — Уэ= — . Уэ= — ' „~~з '' '' ~,у~' сЬ=!Уэ~=-оэ(Г, О=з, Вместо (эь ээ) более удобен ортогональный единичный репер — ээ — 1 уэ Ръ = Рэ = ° — РАР~ = бм лэ* ' х' иу' (19.19) для которого справедливы формулы Фреие: р1 = хр„рэ = — хр,, (19.20) где штрих означает производную по дуге э. Из них следует, что любая производная э по э может быть выражена линейно через при преобразованиях вращения и отражеиия сохраняются их длины и косинусы углов между ними.
На,рис. 19.2 изображена плоская траектория деформации в подпространстве ЕэеиЕА с репером (бь аэ), векторами э, э1— - э, ээ=э. В точке В~ показано вращение (э',...) и отражение (э",...); при вращении репер (эь ээ) в точке В~, как и (аь ав) в О, образует «правую» систему,:при отражении репер (эь эз) в точке В~ образует «левую» систему, но все соответствующие длины, косинусы углов между э, эь зэ и кривизны сохраняются. Аналогичиую картину можно изобразить в любой точке В,(т<Г) траектории э.
С течением времени 0(т~1 репер (эь ээ) движется вдоль траектории деформаций. Любой вектор е, приписанный точке В, процесса э(Г) и преобразованный согласно (19.13) при переходах В,-+.Вэ или В,— «В~, т. е. так же как вектор э, будет сохранять свою длину 1е~ и ориентацию во всех трех реперах. Поэтому для построения э-образа ~процесса вместо произвольного репера (аь аэ) более целесообразио использовать местный естественный репер (эь ээ). Длина дуги и кривизна плоской траектории э(г) являются елинстве1шыми независимыми внутренними параметрами в каждой точке 195 4 !91 Процессы малых деформаций рь ре и производные х по з, например, вторая формула непосред- ственно дает о'" = — х~р» + х'Ро, (19.21) откуда дифференцированием по э с использова~нием (19.20) найдем выражение любой производной: э .= — 3хх'р + (х" — х') р„...
-!Ч В Ео траектория э(1) =э(э), э=э(1) кроме длины дуги н главной кризвииы х!=х, выражающихся формулами (19.18), имеет еще три параметра кручения (хь хз, х!). Ортогональный единичный естественный репер р» (й=1,2,...5) строится из векторов косоугольного базиса э» (й= 1, 2, ... 5). Пять аналогичных (19.20) формул Фрине с двучленными правыми частями имеют внд (хо=хо— = О): р„= — х !р !+ х„р„+!, и= 1, 2, ...,5 (19.22) н позволяют выразить любую производную вектора э по э, начиная с шестой, через р!, ре, ..., ро, т. е.
через пять первых: 1 1 э ° ° ° ~ д"'е д»е (1=1,2,...,5 11, (19.23) "" де» ' ~,т = 6, 7.... по т не суммировать|' ' где А „зависят от х! (1=1, 2, 3, 4) и их производных. Формулы (19.23) называются тождествами размерности. Поскольку дифференцирование по э и по 1 связаны между собой формулами (19.18), то (!9.23) могут быть переписаны для векторов — Дые эы = —.' дЕы (19.
24) вы = й»э» (т = 6, 7...„й= 1, 2, ...,5), причем й» зависят от з, х! (1=1, 2, 3, 4) я их производных по 1; существенно, что векторы э» (1=1, 2, ..., 5) алгебраическп линейно независимы, т. е. прн любых числах Ь» суммы Ь»э»ФО, кроме Ь =О. Если дан какой-нибудь вектор э»(1), то процесс, т. е. вектор э(1), находится интегрированием т» ! !.!о=!!о-)е,!ео... ! ъ(ъ>еъ о о следовательно, в качестве базиса можно взять любую пятерку векторов, например э»= (эо, эь ., эл). [гл.
т, СРЕДЫ СО СЛОЖНЫМИ СВОЙСТВАМИ А' = Оэ4, (19. 26) где э4 — контравариантный базис, определяемый через э4 фор- мулами э э,=6|. -4- 4 (19.27) Частный постулат иэогропии, достаточно точно подтвержденный многими опытами, утверждает, что э-Образ процесса деформации в любой точке М тела определяется только эпутрэяпей геометрией траектории зЯ, т. е. Все коэффициенты А4 (!9.26). н давление р зависят только от длины дуги э и четырех кривизн х(хь хь хм х4) (а также е, Т, р): р = р[э(т), х(т)14 А = А [з(т), х(т)]~4, (й= О, 1, 2, 3, 4). (19.28) Следовательно, образ процесса инвариантен относительно преобразований вращения и отражения (19.!3) в пространстве Ен пространство ЕЕ изотропно цо отношению к э-образу физического процесса.
Все траектории и образы процесса с одинаковой внутренней геометрией траекторий (и одинаковыми скоростями э=о(1)) эквивалентны. Если шесть функционалов (19.28) найдены, то закон связи напряжений он с деформациями известен: 4 йьгы пи=А ещяи епыпап — (й=0,1,2,3,4), 4й (19.29) он — — — рбм+ А (з;~<ц — з~цби). 4 Как видим, гипотеза макроскопнческой определимости существенно конкретизирована: закон связи он зн (9 11, 12) является тензорно линейным и,коэффицненты в нем зависят только от з, х (конечно, еще е, 7', 8), т.
е. зависят только от первого (бе=9) и второго (744=анен) инвариантов (но не от третьего инварианта) тензора деформации, так как только е и 74, являются Произвольный вектор г, з том числе вектор О, в Е, можно представить через его компоненты в базисе эь. О=ААэ„, (й=0,1,2,3,4), (19.25) причем это — тождество, если А4 выражены через о' и э4 фор- мулами 197 Процессы малых деформаций одновременно инвариантами преобразований (19.13) в Ее н преобразований осей координат (хь хй, хе) в теле. Простым нагружением в точке М(х) тела называется процесс, при котором асе компоненты зо во времени изменяются пропорционально одному общему монотонно возрастающему по / параметры Х(1): ец(1, х) =Р,(/) <рп(х).
Следовательно, направляющий тензор ен/о, а потому н единичный вектор э/э не зависят от времени 1; очевидно, траектория э(1) представляет прямой луч в Еы главная кривизна и=к~=О, кручения нз, нз, к4 — неопределенны. В этом случае э — — ив э,= — э, э = — э, ..., з= ~е(з~=з„ де э ! йрх р,= — = —, н,=х=~ — '~=0. йе э йе Закон связи напряжений с деерормациями (19.25), (19.28) при простом нагруженил принимает простейший вид: — »- — а — а йэ а=Аз =Аз= — э==.—, э о йх' ' а аам= ем= ом причем, согласно (19.28), р = р (в (т) )е, о = эА = а 1в(т)]~о (19.31) — функционалы только от одной функции э(/). В общем случае сложных процессов ногружения в точке М(х) тела полной системой параметров, характеризующих «сложность», являются н» (/с=1, 2, 3, 4).
Вместо них можно взять четыре любых других однозначно связанных с и» и функционально независимых между собой параметров о» (/е=1, 2, 3, 4). Выбирая вместо э» другой базис, например у, = э, д, = э гв в,, у, = э =з„г, = а, г, = а (19.32) мы можем закон связи (19.25), (19.28) преобразовать к виду В»д, + С'г„= 0 (й = 1, 2, 3), (19.33) если через г, обозначим (19.34) 198 1гэ. т, спады со сложными своиств»мн вместо длины дуги э примем параметр д = э или а, или а и в качестве а» примем (19.35) уэ = .
Ч» = „, Ч» = —. (19.36) ~а1 аэ э а аа Тогда для каждого вещества коэффициенты В', С' „будут определенными функционалами д» (й = 1, 2, 3, 4) В'=В'(д,д„)а, С'=С'(д,д„)а, (19.37) причем один нз них, отличный от нуля, можно принять равным единице. Соотношения (19.33) справедливы не только для аналитических процессов (или хотя бы обеспечивающих существования четырех производных э по з), но н для всех, в которых однозначно определены векторы уы я» (!9.32), (19.34). При заданном поле температуры Т (Г, х) закон связи ан ен в анде (19.29) или (!9.33) замыкает уравнения движения и позволяет ставить краевые задачи. Естественно, что термодинамические функции и, з, ф и рассеяние Яэ"' являются функционалами тех же параметров,'от которых аавнсят скаляры А" нли В», С» н р н потому при заданных таким образом»р и В" законы (19.25), (19.28) и (19.33) — (19.37) могут быть получены методами $11, 12.
Некоторые приложения рассмотренных соотношений будут даны в $20. Аналитические функционалы. Вместо шести параметров хм г и О=Зе илн д» (19.36), э и 9=3е можно построить бесконечное множество скалярных параметров, состоящих нз значений О(т) и скалярных произведений значений э в различных точках траектории э(т) прн фиксированном 1: Ом = О (тм) шел = шлщ = э(тм) э(г„) = ен (тм) е; (тл)ю (19 38) где О~т,~1 — точки разбиения временного интервала 0 й Постулат нзотропии утверждает, что а, р, ф...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
