А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2 188 Идеальные нелинейные жидкости, твердые тела 4 181 В $ 8 доказано, что отношение тш,к/о отличается от постоянного числа не более чем на 7% (при лкьбых значениях он) н потому условия (18.8) и (18.9) близки. В области пластического течения из (18.1), (18.2), (18.8) имеем связь между он и ои 2оь ои =оби+ — оп (18.10) Внося эти выражения в динамические уравнения ' ои, ~+ +р(Л; — о;) =О, мы получим замкнутую систему уравнений для вектора скорости о(х, г) и среднего напряжения о(х, /), если добавим условие несжнмаемости с(1ч о=О.
Другое определение рассматриваемой среды при условии (18,8) получим из предположений: 1) свободная энергия ф (при условии аесжимаемосгн) зависит только от температуры (18.11) тр = ф(Т), з = — тр'(Т); 2) работа напряжений полностью рассеивается о,т ои с(1 = ос; отт с/Г = Ю" с(/ > 0 (18.12) (причем равна нулю только при он=О); 3) девиатор напряжений он зависит только от тензора скоростей деформаций.
Из условий 2 и 3 и изотропии однозначно следует векторное свойство (18.2) (так как Ж'ь — инвариант н, значит, отгон инвариант тензора он, т. е. атт=Аотт). Если температура переменна, то из опытов известна зависимость он=он(Т). Учитывая закон теплопроводности Фурье и считая коэффициенты теплоемкости с и теплопроводности Х постоянными, уравнение теплопроводности (баланса энтропии) получим в виде рс — = А ЬТ+о,о,. дТ (18.13) Динамические уравнения, условие песжимаемости и соотношения (18.8), (18.10) составляют замкнутую систему для о, о и Т.
Значения о, для сталей при нормальных температурах (даже до +300'С) колеблется в зависимости от содержания углерода 'и лигирующих элементов от 2.10' до 2 10' кг/см'. В области температур от 300'С до температуры плавления (1200 1400'С) оз сильно падает, ~например в 10 раз при температуре около 1000'С. В области повышенных и высоких температур сушественпо проявляются свойства ползучесги, т. е. течения с некоторой А. А. Ильюшин сРеды со сложными свояствхми скоростью при постоянных (во времени) напряжениях. Это свойство не отражается условием (18.8), если а,=о, (Т).
3. Идеальная изотропная вязко-пластическая среда — несжимаемое твердое тело при конечных пластических деформациях или повышенных (высоких) температурах и давлениях, а также некоторые вязкие жидкости, смешанные с твердыми частицами (глинистые растворы и т. п.); для атой среды: 1) векторные свойства совпадают со свойствами вязкой жидкости (!8,1), (18.2); 2) скалярные свойства являются обобщенными по отношению к нелинейно-вязким и пластическим, а именно (18.14) и„ = о, + Ф (о„), где Ф вЂ” некоторая известная функция, универсальная при различных процессах.
Всегда Ф>0, пФ/сЬ„>0. Это среда, обладающая ползучестью, так как при о„=соне( из (18.14) получается постоянная скорость ползучести (18.15) о„= Ф вЂ” ' (о„— о,), но не релаксирующая, так как при Е„=О (т. е. при постоянных во времени деформациях) а„=о,=соне!, т. е. напряжения ие уменьшаются. Замкнутая система уравнений для такой среды определяется соотношениями (!8.1), (18.2), (!8.14) и уравнениями оп, !+р(Х~— — о;) =О. 4.
Идеальная несжимаемая сыпучая среда — условно твердое тело (типа сухого песка, зерна, гранулирова~нных пород): 1) являющееся сплошным только при условии, что вектор нормального напряжения на любой площадке отрицателен; 2) максимальное касательное напряжение зависит только от нормального давления на соответствующей площадке; 3) векторные свойства совпадают с (18.!), (18.2). Условие, 1) в ортогональных координатах (х~) имеет вид !У, = ом1,1; <О, (18.1б) где !; — направляющие косинусы нормали т любой площадки. Условия отрицательности квадратичной формы (18.16) суть условия Сильвестра: определитель ~а;;),и все миноры главной диагонали должны быть отрицательны, иначе говоря, отрицательны все глав|ные напряжения.
Условие 2) записывается сложно, так как требует явных выражений максимальных касательных напряжений через пы. 187 й 1В) Идеальные нелинейные жидкости, твердые тела В случае плоской деформации в плоскости (хь хз) ттак 1 1 — о = — — оибн — — р = — — (ом+ о„). 3 ' 2 Условие 2) имеет вид о"+о",о =о =О, 2 та= еь= о„, о„, оин о„= т. е. три неизвестных находятся из замкнутой системы уравнений равновесия вдеть + ~'~~а + у О дхт дхь (18.18) ~'*-+ д '*-+рХ, =- О дхт ' дхь т .„= У(р). (18.17) где Х вЂ” универсальная функция.
Например, вследствие сухого трения частиц может быть принят закон Кулона: т (р) =)р, где 1 — коэффициент внутреннего трения (тангенс угла естественного откоса песчаной насыпи). В этом случае «условие текучести» среды будет е ~ «ъ — аеь ~~ 1 е )е ( сто+ сты ) (18 17 ) Если между частицами кроме трения есть еще и сцепление, то Р (р) =й+)р, где й — константа сдвнгового сцепления.
В общем случае условие 2) можно заменить приближенным о„= К, (р), Зр = ои 6„. (18.17н) Поскольку в случае плоской деформации о„ = т „„)тс3, то функция гг, может быть выражена через т'- Кт(р) = $~3 У'(р) и тогда в случае плоской деформации условия (18.17'), (18,17") тождественно совпадут. Напишем замкнутую систему уравнений МСС в случае плоской деформации при медленных движениях (в уравнениях движения отбрасываются силы инерции), учитывая, что р= — оьь. Компененты напряжений 188 1гх. Ю СРВДЫ СО СЛОЖНЫМИ СВОИСТВАМИ и условия (18.17), так как в зти три уравнения вектор скорости не входит. Последний же определяется из условия несжимаемо- сти (18.4) б(то — — + — = 0 ди1 доз дх1 дк и вытекающего из (18.2) одного независимого уравнения — — О.
(18.19) ом — ом дхх + дкх дх~ В случае динамической постановки задачи система уравнений движения и условие несжимаемости обращаются в замкнутую систему для вектора скорости о и среднего напряжения о, если использовать вытекающие из (18.2) и (18,17) выражения напряжений через о н сс 2 гг (Р) Оц = Обц+ ЗР„ОСР (18.20) 9 19. ПРОЦЕССЫ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В НАЧАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ Учитывая линейную зависимость компонент девиатора уц (уцбц=О), введем пятимерный вектор у с пятью независимыми компонентами ух (А=1, 2, ... 5) по формулам Ух = ()хц Уц Уц = Цх Уы (19.2) где матрица !фиф=~фмД~,И обратная 1фцх~1=1ф;цД определены таблицей значений ~вц/К 2: Пусть тело имеет малые перемещения и деформации в декартовой ортогональной системе координат (хь хг, хз) и пусть фиксированной точке М тела приписан какой-нибудь симметричный тензор (уц), (например, (ец), (оц), (ец), (оц) и т.
д. Представим его в аиде Уц = ЧЬИ+ Уц, зц = Уц бц. Процессы малых деформаций У !У1 ЭЭ Э! соэ (р+ ) э!и (р+ — ) — э!и р соа р Здесь р — произвольный, одинаковый для всех девиаторов уен не зависящий от времени 1 параметр. Тогда получим' у'— = ун у!! =Уауаж у'(!', 1=1, 2, 3; й 1,2, ... 5), т. е. моДУль ДевиатоРа Уп Равен моДУлю вектоРа У(УЭ). Обозначим ~у )= у и, по-прежнему у=1т уэ ! У = ~ У ~ = КУЭ Уе — Р У! + Уа + Уэ + Ув а+ Уэ (19.3) у=)~уа =~у„.у,,: =Му!!+ ...+2Д+ ..., Следовательно, у=у; матрицы )фыЭ11, фыр обладают свойст- вами ()!Эа ()ава = бьп бее~ у = у„а„, з = г, а„(й = 1, 2, ...
5) (19.5) ' на самом деле определение матрицы рэн есть следствие выполнения требования уэ=уэ. ба,ДЭЭ! — — ба„(1, 1, т, п= 1, 2, 3; й, 1 1, 2, ... 5). (19.4) При введении вектора у мы использовали неподвижный (не зависящий от 1) единичный ортогональный репер аа (Й=1, 2, ... 5) 5-,мерного евклидова пространства Еэ, в котором дна вектора у и г представляются в виде сРеды со сложньпчи своиствкми и определены обычным образом операции сложения и умноже- ния (скалярного произведения): У + г = (Уг + гь) ом (19.6) уг=гу=у г, причем 1, А=Е о~ о[ = бм —— о, (19.7) Из определений следует, что можно каждому линейному оператору по времени [ над компонентами девиатора уи взаимно однозначно поставить в соответствие тот же линейный оператор над .компонентами вектора ум т. е.
если дано векторное соотно- шение г= Е(у), (19.8) то из него следует ги = Е(Уи) (19.9) и обратно. д точке М тела задан процесс изменения во времени тензора (уц), если все его шесть компонент заданы в виде шести функций времени уо — — уо([), т. е. согласно (19.1) задано среднее значение у=И([) и все компоненты девиатора уи — — уи(Г), На основании (19.2) заключаем, что и все компоненты вектора у заданы как функции времени, т. е. задан в виде функции времени вектор у(Г) (19.5). Обратно, задавая вектор у([) и т[([), тем самым задаем процесс для тензора (уи). Все введенные определения н понятие процесса относятся к тензору и вектору деформации еи — — еб;;+ з„, зк= р „зи, з = зказ, (19.!0) к тензору и вектору напряжений аи — — — рби+он, оь =~кнопп о = оз аз.
(19.11) Это относится и,к всевозможным тензорам (ги) и векторам г, называемым физическими, которые получаются из (зи), (оо) с г !91 Процессы малых деформаций 191 (19.8) по времени 1, например помо~цью линейных операторов дифференциальных г, = — =аг.
Й гн г интегральных г = ~ А (1, «) в(т) с1« гц = ) А (1, «) ги (~) а«, а азо =- ! а у ! = Р'д у' = оо аг, з„=~о„дг, о„=~ — '" ~=Ру,,у„ о (19.12') причем о„называется интенсивностью скоростей тензора (уи) или модулем скорости. Вектор у определяет скорость изменения девиатора (ум), ч) — скорость изменения среднего значения тензора (уп). Таким образом, формулы (19.!2') позволяют рассматривать компоненты тензора как функции времени, или функции длины дуги траектории.
Задание 4изического процесса в точке М тела ($ 11, 12) требует задания не только тензора деформации (еп) или тензора напряжений (оп), или другого физического тензора (уо), но еще и температуры ТЯ и других не термодннамических параметров р. Ниже, говоря, что процесс задан вектором у(1), мы будем подразумевать, что в каждой точке траекторий заданы Т, р, Зц=умбгр Объединение ч) в одну группу с Т, р для начально изотройных тел естественно: 'если, например, ум=вон то— т)=р — среднее давление, которое в опытах можно, подобно Т и К задавать независимо от веь Из гипотезы макроскопической определимости (5 12) следует, что если задан процесс деформации э(1), то напряженное состояние однозначно определено физическими свойствами тела, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
