А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 32
Текст из файла (страница 32)
являются функционалами О, э, Т, р, причем скаляры р, »р — функционалы только скаляров в Ем т. е., например, (19.37), если ш „образуют группу не менее пяти независимых между собой величин; векторы же, например а, являются линейными функционалами относительно э. Пусть 5г — любой из скаляров типа р, ф, ... или векторов типа а и пусть интервал (О, 1) равномерно разбит на достаточно большое число У равных промежутков, определяющих точки т . Тогда любой функционал от О(т), э(т) можно приближенно рас- 199 Процессы малых деформаций сматривать как функцию многих переменных Оь ..., Ом, э(т~) = =эь ..., э(тм) =эм, тл =Й Ог=У[0(т), э(с)[о=Ф(0» ...,Ом., э» ...,эм) (1939) Если оà — скаляр, то вместо э в (19.39) аргументами будут (19.38).
Аппроксимируем зту функцию суммой однородных полиномов. Полипом первой степени имеет выражение Фа = ~~~ аыбы, где а, — коэффициенты, зависящие только от точек т . Переходя к пределу при Л' — ььо при фиксированном'1, получим Ог,=~А,(1, $,)0(4а)4» 0<5,<1, (19.40) о где А~ (1, т) — некоторая функция. Полином второй степени, оче- видно, выражается формулой Ф, =~ (а „Оыб„+Оы„в „). При У-+со получим с учетом симметрии а,„, Ь, „ К,= ~~А,(г' з ~)0(в,)0(я,) е,с(з,+ а) + ) ~ Ва(с $» ьа) пча(ь» $а) оьаоза. од (19.41) Для полинома третьей степени получим трехкратный интеграл от функций 0(Ва)0($~)0(ьа), 0(ьа)юаа(ьа ьа) с ядрами А,, Ва, зависящими от 1,. $ь $~, $а и т.
д. В результате для скалярного функционала получим У = т [О, са1а — сга+Я'а+та+ Относительно векторного функционала К[0, э), .являющегося линейным по э, аналогичным путем получим У=У[О,э) жЯ;+ У,+ К,+ ..., (19.43) 200 СРЕДЫ СО СЛОЖНЫМИ СВОЙСТВАМИ Ггз. г, где с з Уз = ~з(Бз)г%з~1(сз(('. Ь, Ь~, Бз) О(Бз) Ойз) + о о о + 0(1, а„я„й,) ю„(й„й,)1 ЛЪ, $, (19.44) Ю з(я) = у (зз ))л ' Ло з (Г) о то можно доказать, что формулы (19.43) н (19.25), (19.28) совпадут. 9 20.
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Если напряжения в начально изотропном твердом теле ограничены условием пластичности ($18), то под действием нагрузок при о <па оно обычно ведет себя как идеально упругое ($16). Ниже имеются в виду металлы н сплавы при,нормальных температурах, но многие другие тела обладают такими же свойствами. Под действием больших давлений р)оз объем деформируется упруго,и даже линейно, так что связь между инвариантами О=а;;бц и Зр= — оцбы определяется объемным законом Гука: Р= — КОг, От=Π— Зоб, 0=-Т вЂ” Т„.
(20.1) Для каждого функционала(г, К функции А, В, С, 0 ... являются вполне определенными, т. е. Они характеризуют только свойства зешества среды и могут быть найдены из опытов. Если в качестве гг взять о н рассмотреть любой аналитический процесс деформации, т. е. такой, что 201 Упруго-пластические деформации твердых тел й 201 При этом допускаются лишь небольшие изменения температуры, прн которых предел текучести оз н модуль К ~не изменяются; для сталей, например, О=Т вЂ” Т, может изменяться на +200'С. Давления р порядка или меньше оз не влияют на К,и оз, хотя при больших давлениях увеличение р сопровождается ростом оз.
Деформации сдвига остаются обратимыми упругими только при и <оз, причем связаны с девиатором оц=ац+Рбц законом Тука ац = 26ец. (20. 2) При о ~оз связь оц ец, (о э) становится сложной, нелинейной (5 .19), однако свойства тел остаются склерономными, т. е. в »них нет явлений ползучестн и релаксации.
Это значит, что вместо времени 2 может быть взят любой параметр Х, монотонно возрастающий по г' и определяющий последовательность состояций вещества. Соотношения оц ец, принимаемые в большинстве теорий пластичности, могут быть приведены к одному из следующих двучленных типов. Тип Но — еЬ: е(о = йИз — (Ж вЂ” Р) — о, ое (20.3) причем гу н Р— функции длины дуги з и параметра деформации де. М=Ф(з, де), Р=Р(з, Ре) гГз= ~г(э~ =1 "Мв»т (20А) еде де ецд ец ив еде де еде Тип гй г(а: гтЕ = ~ еЬ ) = )г г(оцг(ац, »и = Л (л» г»»о) Р = Р(х» Чо)» одо сЬ Чо = — =— одЕ оХ о лдо~ (20.6) Теория малых упруго-пластических деформаций (у. п.д.) основана на свойствах процессов простого нагруження — разгрузки, которые с большой точностью реализуются в теле, если его нагружения — разгрузки являются простьгми, т.
е. все внешние (20.5) Лг ~Р Л»/ ое причем М и Р— функции длины дуги Х и параметра нагружения г)о: 202 сеиды со сложными своиствямн ггм ю силы, произвольные по координатам (х), во времени возрастают и убывают пропорционально одному общему параметру Л. В Е, для каждой точки М тела такой процесс изображается движением конца вектора э вдоль какого-то своего луча,н потому а =Вэ, оп — — Веи, (20.7) причем  — функционал единственного независимого параметра уо (20А) по длине дуги э. Обозначим ао(э) =а и назовем алгебраическим модулем деформаций при простых нагружениях — разгрузках величину э„ связанную с э и д(э) соотношениями: йэ,=йэ; а= — =+1; (20.3) 5 э, = ] д(э')аэ', э = ~эо~. о Пусть Ро — определенный постоянный единичный вектор ма траектории э(э).
Тогда, очевидно, при простых нагружениях — разгрузках э (э) э (э) Р . (20.9) Алгебраическим модулем напряжений о, назовем величину, определяемую равенством ~= о,Р„= ~а,). (20.10) Из (20.7) находим выражение В: в= — "= — '.[~( )];. (20.11) эа эа Поскольку э, — известный функционал д(э) (20.8), задача определел, л ~ ~ '~ ния функционала В сводится к опое- 1 м! делению функционала о,[д]. Свойства функционала пластич- 1 гэ э, э м,' ~л) э, ности В и его представление для каждого материала при заданной 6; постоянной температуре Т могут быть установлены в опытах на крулг чение тонкостенного трубчатого об- разца моментом М,р.
Единственные Рис. 20Л Упруго-пластические деформации твердых тел 203 е 201 отличные ат ~нуля компоненты тензора напряжений н деформа- ций ~рЮ 2зы — — 2ет, = —, Р м, а„= а„ 2п11эй ' (а) где Р— средний радиус, Й вЂ” толщина стенки, 1 — длина трубки, — гол закручивания трубки на длине 1. ыражения основных величшн через аиь зцн а, = аы )/2, э = а, (/ 2 = ~ д(з') йз', е В = о' . (6) эд а,' — а, = 20 (э,' — э,) нли 20~~~ — Ф (~~,) В =- 20 — ', э,' — 2зэ ~( э, < э,' > эз, эд (г) где эз = ут),бзз, ез — константа материала (у сталей 1О-'). При дальнейшем уменьшении з, кривая Азг~ одинакова с АзАг и называется участком вторичных пластических деформаций.
Ограничиваясь простым нагружением ОАеА~ и упругой раз. грузкой А,Аз, закон связи (20.7) можем записать в виде Ф (э) дэ аи —— — еи, — >О, аи — аг~! — — 20(ем — ей), — С О. (20.12) В общем случае функционал В(д] строится ма основании диаграммы (рнс.
20.1) так: параметру з задаем непрерывно возрастающие значения от 0 да любога значения <О,1 (пластиче- На рис. 20.1 показаны результаты испытания. Так как направления кручения равноправны, картина в первой и третьей четвертях одинакова. В пределах участка ОА, а, = 20э,( — эз(:эд~эз, эз= (/ 1,Без).
При движении от точки Аз к А, и далее зависимость определяется универсальной кривой активной деформации а.=э(э,), В= Ф("), 0=+1. (в) эд Если в точке А,(э, = э = э,') уменьшать деформацию э„то напряжение будет убывать па прямой А,А' с наклоном 20, т. е. для пассивной деформации 204 среды со сложными своиствамн (Г . д, ские деформации возникнут при э)э,) н задаем программу на- груженнй — разгрузок, т, е. функцию ()(з) =-~1, например ет=1, О~з'(зд; (1= — 1, з~з' -з,; (1=+1, з»(з'~з» (20.13) находим э,(з), т.
е. «путь» на диаграмме рпс. 20.1: =3 (зд = 2зд — з,, з, < з ( з» = 3 — 2 (зд — зд)е з» < з < з» э,(з) = ('()(з') ((з' = о (20.14) Следуя этим путем изменения э, по э, найдем соответствующие о,(з) н В(з) =о,/э,. Соотношения (20.1), (20.12) можно записать .в общей форме, если ~ввести вместо функций о=Ф(э) обратную ей э=Ф-'(о) и обозначить отношение Ф-д (а) 1+ (р (о) (20.15) о 20 Тогда деформацию еи можно представить в виде е, = е(«) + (и) (20. 16) причем (е) 1 / Зч ') 1 / 1 — 2(е еп,—— — ~од + — рб(1~ = — ~до( — — рб, ~), 20 ~ 1+т / 20 )д (д 1+» д,/' ее; = — (о( + рбн)= — ои, (р) ~р (о) (р(о) 20 ' 20 (20.17) 2 т — коэ(рфициент Пуассона.
Обозначая о' = р/ — о, из вида функ- 3 ции Ф(э) и Ф-д(ет) (рис. 20.1) заключаем, что прн активном нагружении )1 — > 0) (р(о) О, о( о' и асергстгет вдоль кривой А,А,. / е(о ~ э( )з точке А, отрезок ОА; представляет полную деформацию е„(А,), отрезок ОО,— пластическую деформацию е(»)(А,), отрезок О,А;— упругую деформацию е((е») (А,).
При разгрузке ~ — ( 0) из точки А, / «)о текущая ОМ) деформация е„состоит нз той же пластаческой е)»)(Ад) плюс упругая О,М), т. е. е)д = од»)2О. Таким образом, на всем пути (е) ОА 4,О,А, (и обратно на А,О,А,) формула (20.16) остается правнль- )<пруер-пластические деформации твердых тел 205 й гд) ной, только на пути А,О,А,' (и А,'О,А,) пластическая деформация ар)(А,) заморожена, т. е, остается равной е<р))(А,) з<Р) 9(о') (о! + Р<6 Законы упруго-пластических деформаций, установленные выше, дают выражения напряжений оп=оп — рб;, через дефор- 1 мацин е;; = еп + — 06<0 а значит и через перемещения и;; уравнения движения при этом образуют замкнутую систему. 'Теорией пластического течения обычно называется вариант соотношений (20.5) при У=2 О=сопз1 н Р, зависящем от напряжения о, пластической деформации э<р) = ) ~е<р)е<р) и и или работы на пластических деформациях В' = ~ о<1э<Р), но не от <)а (20.6).
Без этих ограничений функции т<<, Р исследованы: для процессов деформации малой кривизны 4' т«<т<-<, где й порядка (3 10) з;; средней кривизны и й-', процессов в виде «веера» двухзвеиных ло-, маных. В точке О< (рис. 20.1) прл разгрузке из А, напряжение исчезает, при возвратном процессе из О< в А< деформация является упругой; точки А, и А. являются новыми пределами упругости в состоянии Аг О<. Такое же явление наблюдается и в общем случае в пространстве Ев На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
