А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Единица силы в системе МК5 — 1 ньютон=10з дин. Системы единиц, например АВР с тремя основными параметрами 1„, тл, тт получающимися нз С65 преобразованием масштаба основных параметров 1л=а,1, та=а,т, то=ат, (23.7) где аь аз, аз — числа, образуют грунну с преобразованием подобия, в которой сохраняются все определения и свойства системы С65 (23.!) — (23.5), если Обозначить ]/л] == А, (тв] = В, ]то] — -- Р (23.8) Пусть данная размерная величина выражена через основные параметры С65 и АВР (/зь йз — безразмерные величины): 227 у тз! Основы теории размерностей и подобия !'„)е = — Ясвз = Ь,Р ти т"; Я,) = О 6' 5', Де= ЧАВО = йе1л'тй'то, Яе)= А В Внося сюда значения (23.7), получим выражение Де в системе С65: (23.9) (9е)свз = Я, = ЙР"*та т'* = Й,Р ти т", й = йеа~'аеи*ае', где й — безразмерный параметр. Так как 1, т, т независимы, то )"е = )ч Ре = Рею че = ть — ~и — Рю —,а~ ае аз Следовательно, в группе базисов с преобразованием подобия показатели размерности л~обой величины сохраняеотся.
Преобразование структуры единиц трехпараметрнческого базиса. Преобразования подобия изменяют масштаб единиц, но не их структуру: длины остаются длинами, массы — массами, времена — временами, а следовательно, сохраняется физический смысл всех величин Я (23.9). Очевидно, что для представления размерностей физических величин Я вместо базиса С65 (или другого из группы с преобразованием подобия) можно взять любой трехпараметрический базис В~ВеВ,,с основными параметрами, получающийся из С65 преобразованием структурьи (23.10) (23,11) Ре((з„) = !зи/~ьО.
(23.13) Базис В~ВзВе фиксирован~ной структуры имеет группу преобразований подобия (масштаба единиц) Ь! = а,Ь,, (с = 1, 2, 3), при которых показатели структуры зо остаются неизменными. В, =- (Ь;) = С" 6" 5', Ь; =Ьс1 "'т"'с'"', 1= 1, 2, 3, где Ь~~ Π— безразмерные, зи — безразмерные числа, удовлетворяю« шие условию взаимной однозначности базисов В~ВеВз и С65. Логарифмируя (23.11), получим три уравнения для 1п 1, ! и т, !п т: згс!п1-,с з;, 1п т —,'- з;,1п т =1п — ' (1= 1, 2, 3); (23.12) ьр поскольку Ь; — независимые размерные единицы базиса Вь В,, Вм то Ь,ФЬ,', и потому базисы взаимно од~нозначны при условии ~гл. уи 228 МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ Базис СР5 (сантнметр, дина, секунда) получается нз С65 заменой параметров 1, т, т на Ь1=1, Ьз=р, Ьз=т, причем о о о Ь~ =Ьз = Ьз=згз — — з„— -з =1; ззз = зтз ззт = ззз = 0„'ззт —— 1', ззз — — — 2; зм = 1; з,з- — — — 2; Р= йлт — з Днн.
В МСС н в технике прнменяются разлнч~ные В~ВЕВз, например, мы воспользуемся базисом СК,5 (сантнметр, килограммснла, секунда) с ооновнымн параметрамн 1, Р, т, получаюшнмнся нз СР5 преабразованнем подобия и~=аз=1, соз=1,02 10-з, Р=1,02 "1О-о Р=0,102 У. Базис С65 с тремя пезавнсимымн размернымп параметраин 1, т, т необходим н достаточен для всей теории МСС, но не во всех задачах является неабходнмым.
В теории деформаций необходим н достаточен только С с длиной 1, в кинематике — С5 с 1 н т, в статнкс сред со склеронамнымн свойствами — СК, н т. д. Но уже в геометрии (теорнн деформаций) вместо одного необходимого н достаточного С с длиной 1 в сантиметрах бывает удобно ввести еи(е один (нлн несколько) независимый параметр — длину 1. с наименованием размерности Ро, т. е. ввести базис независимых велнчнц СРо с параметрами 1, 1., где 1. — Например, километры. Но прн этом для построения геометрии тел, в которых малые размеры измеряются в С, а большие — в незавнснмых Ро, нсобходнмо ввести еще один размерный параметр— константу структуры 1, с размерностью Я СР, Х 10- см н написать закон: 1=А1..
Однопараметрнческая геометрия в базисе С н трехпараметрнческая — в базисе СР, с законом 1=11. равноправны. Введение абсолютной температуры Т в градусы Кельвняа К' 2Тии п соотношением Т = """, также является примером расшнре- ЗА ння базиса С65; вместо Ти„, имеющей размерность джоуля (Сз65-з), введен пезавпснмый параметр Т'К, и потому возник новый параметр — постоянная Больцмана Ь= 1,38 10-зз дж1К', поэтому энтропия единицы массы е, по условию ТЗ=Тозо, нмеет размерность квадрата скорости, деленного ма К'. Аналогичное положение с количеством тепла Я тела: вместо измерения его в единнцах работы (дж) чаще его измеряют в калориях, т, е, вводят новую единицу (кал); но тогда возникает н новая размерная константа-механический эквивалент тепла 1: Яо тепла составляет 4,186 1г, „, т.
е. одно и тоже количество тепла в разных единицах равно Ггизо=ЯА„11; 1=4,!86 дж1кал. 229 б 2з) Ооноодд теории размерностей и оодобия Приведенные примеры показывают, что всякий минимально необходимый базис может быть расширен, т. е. введен базис с увепиченным числом независимых параметров и тогда возникают дополнительные зависимые. С другой стороны, примеры из кинематики и статики показывают, что трехпараметрическнй базис в частных задачах может быть сужен. Таким образом, в зависимости от частной задачи МСС базис С05 бывает целесообразно заменить другим, упрощающим решение задачи или ее формулировку.
Пусть (д) — некоторый и-мерный полный базис для размерных физических величин Яь д,з, ..., Я, т. е. независимые основные величины дь од, ..., в„таковы, что: 1) всякая величина Яд представима в базисе (д) в виде Я =с;~ддд д' ... д„м (1= 1, 2, ...,т), (23.14) где сь ап — параметры, не зависящие от дт, причем величины, не зависящие от дь называются безразмерными; ан (1=1, 2, ..., и, д=1, 2,, и) называются показателями размерности Я~, 2) всякая безразмерная величина в группе Я; (1=1, 2, ..., лд), обозначаемая П, может быть представлена в виде П = Д)'Яд* ... Я~"; (23.15) 3) не существует, кроме тождественных, никаких соотношений между вт (1=1, 2, ..., п).
Пусть существует соотношение (или несколько соотношений),между величинами ф: к(д., д. " д ) = о. (23.16) П-теорема утверждает, что соотношение (23.16) всегда может быть преобразовано к виду (Р;(П~П~ ...,П. )=О, (23.17) где т — ранг матрицы показателей размерности ф, т. е. лдатрицы аддадд... ад а,за„...а, (23.18) (а,.
(= а,„ а,„ . . . а „ Первая часть теоремы по существу состоит в том, что У (Я) (23.16) может зависеть только от безразмерных комбинаций типа (23.15),,н она очевидна, так как подстановка (23.14) в (23.16) в противном случае противоречила бы условию 3). Вторая часть утверждает, что число безразмерных Пм которые вхо- 230 МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ 1гх. У1, дят в (23.16), равно числу величин ф минус ранг матрицы йаД их показателей размерности.
Простое доказательство сводится к подстановке (23.14) в (23.15), которая дает гт аах,+ааххь...+ахах»1... а хх,.~ч~„„х,+...Ч-а,ххх, П = сф Ха »1"'1)»1Х (23.19) х,х ха откуда, по определению безразмерных величин 1), следует равенство нулю всех показателей размерности П: ~" аых; = О, (1 = 1, 2, ..., О) (23.20) ~=! По условию существования соотношения (23.16), отличные от нуля решения системы (23.20) существуют, т. е, ранг г матрицы (23.18),ие равен нулю. Не изменяя общности, квадратную матрицу ранга г в (23.18) можно считать расположенной в левом верхнем углу. Так как ранг г равен числу линейно независимых уравнений в системе (23.20), то, решая первые г уравнений (23.20) относительно хь ..., х„найдем х»= '~, А„хр (й=1,2, ...,г), Рхх+1 (23.21) где А,р' — отнесенные к Определителю ~О01~ при (1', 1=1, 2, ..., г) его алгебраические дополнения, получаемые заменой столбца й показателями а„р, остальные и — г уравнений (23.20) будут линейно зависимы с (23.21), т.
е. будут их следствиями. Внося значения (23.21) в (23.15), 'получим для любого П при произволь- НЫХ Х„+1, ..., Х П=П'+1П" +»...П -, 1 2 ''' а — г' (23.22) Итак только т — г безразмерных независимых П; могут входить в уравнение (23.16), т. е. оно всегда приводимо к виду (23.17). Эта возможность уменьшать число:входящих в уравнения МСС параметров н используется для упрощения пх иа основе П-теоремы теории размерностей.
Безразмерные параметры и подобие. Пусть некоторая задача МСС, которую обозначим (К), Определяется размерными где обозначены независимые безразмерные параметры П», = Ц",1»Я,"х»... Я," ~Я» (й — г = 1, 2, ..., т — г). (23,23) 231 Основы теории размерностей и подобия параметрами Яь ..., Я„„между которыми существуют соотношения У,ф,, ...,Д )= О, а=1,2,...,>У (2324) н пусть все йгз состоят из размерных параметров-констант с| „, сн, параметров-независимых переменпых хь ...
хн„и параметров — искомых функций ср> ... лрно, так что йт,+Ми+Ми=>и; согласно (23.24) последние есть функции с;, хь подлежащие определению; размерности всех сь хь лрь в некотором заранее выбранном базисе дь ..., дн предполагаются известными. Найдем согласно (23.23) все независимые безразмерные параметры Пь(й=1, 2...„>п — г) из Ятч т. е.
из (с, х, ~р); после этого, пользуясь (23.22), т. е. подбирая числа х„+~ ... х, найдем все независимые между собой безразмерные постоянные параметры задачи (К), которые обозначим Ри (а=1, 2, ..., и,): (П)с =. (Лл, Ре..., Лн ); (23.25) затем аналогично найдем независимые безразмерные П для группы (сь х;), которые назовем безразмерными переменными задачи (К): (П),„= (у„у,, ..., у„). (23.26) Наконец, найдем таким же путем все независимые безразмерные функции для группы (сь хь лрн): (П)сяч = (Фл Фе ° ° ° Фнт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
