А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1 Существенную роль будут играть также вторые инварианты девиаторов ось ось ем, причем квадратные корни нз этих и~нвариантов будем называть модулями девиаторов н обозначать о =- ]/ооог1 = ='т (о„— о„)'+(о„— о„)з+(о„— о„)'+6((4+ озз + оз), 1 2 3 — (озз озз) + (оы взз) + (озз оп) + 6(4 + вез + зсз~) е =- т емьи = = т (е„— е„)'+(е„— ез,)з+(ез,— е„)'+ 6(е з+ езз+ ез~) .
:3 ' (Ч.2) Отметим, что пропорциональные модулям величины о„о„, е называются интенсивностями тензоров он, ось еи: Гз Г 2 Г 2 о = ~тт — о, о = ~т — о, е = )тт — е. (Ч.З) 2 ~т 3 ~ ™ 3 Для характеристики состояния тел иногда, кроме тензоров огь е;;, необходимо привлекать еще тензор скорости напряжения и. более высокие производные или другие операторы по времени.
Это видно из общих свойств связей Ц 12). В случае малых деформаций и перемещенчй в (Л) частные производные тензоров сго(х, 1), е;, (х, 1): дг ' дп д1 дзз 180 1г!. и, сгггды со сложиымп свопствхми будут тензорами, характеризующими изменения во времени напряженного м деформированного состояния физического элемента и они могут быть связаны соотношениями % 12. В эйлеровом пространстве понятие скорости тепзора напряжений пп(х, () можно ввести различными способами.
Ясно, дом например, что " при х= сопз1 относится ме к определенной д1 физической точке, а к точке пространства (Э). Полная произ- водная йоп да;с.. доп й д1 - дха +Л (Ч.5) ы1 = — "Ъз "Ъ =- гам» ыа = — %ы Средний поворот любого вектора репера (еь ем ез) на угол ы с(г' позволяет построить через а7 новый ортогональный единичный репер (еь ер, ез) е~ = е; + (е стг еД = („е;, (Ч.б) относительно которого наш физический кубик получит чистую деформацию опЖ. Например, е, = е, + гИ(в е,] =- е, + (ьэ, е,— о,е,)гИ = е, — аме;г(т.
также не хюжег быть принята за характеристику скорости изменения физических компонент тензора напряжении 5, поскольку оца дает полное изменение компонент тензора 5 физической точки, но па движущихся вместе с точкой поступательно (без вращения) параллельно координатным плоскостям пространства (Э) площадкам, а физические площадки поворачиваются в этом пространстве. Одно мз определений скорости пп таково. Рассмотрим в момент ( в точке х физический объем-кубик, ограниченный координатными (в Э) ортогональнысми площадками.
На его гранях действуют напряжения пп(х, (), его ребра определяются единичными координатными ортогональными векторами (еь ем ез). Любое волокно $, взятое .в кубике в момент Г, за .время Ж вместе с кубиком деформируется и повернется па некоторый угол, Средний поворот кубика будет равен углу опт', где в — вектор вихря 181 Следовательно, матрица преобразования (Ч.б) имеет компоненты (Ч 7) 11а гранях движущегося поступательно (вместе с фпзпчсокой точкой) геометрпческого кубика с непзмеппымн ребрами е; в момент !+а>! будут действовать напряжения, которые обозначим >1>>; >!и = а>з(х, г)+ а'" с(г.
В тот же момент (+й согласно формулам преобразования репера (Ч.б), па гранях поверну>ого па угол >>Ж кубпка бузу> действовать напряжения а;; — >1;> >' ка> а>;=>1;;.—.!> 1„>! „= а,;+ ~~ — а>> и;,„— а>лаа,„,)г(!. Скорость .изменения физических компонент напряжений ап мо- жет быть теперь определена как а,, — а>> !>а>> аа>> «>, а; — га>м, а,,„. (Ч.8) кг т>е а! Если тензор напряжений физической частицы не изменяется со временем, то по данному определенн>о компоненты тензора ап в эйлеровом пространстве дол>хны удовлетворять уравнснням — и — = О.
О! (Ч.9) Это требование является пеобходимь>м н достаточным, если поле вектора скорости а(х, !) в (Э) обращает в пуль тспзор скорости деформации (т. с. если оп=О). !!о в общем случае и>;ФО н возможны другие определения скорости тепзора напряжения. Различныс определенна будут мало отлпчаться между собой, сслп в (Э) скорости дсформацпн аы (по модула>) малы сравнптсльно с ып плн если деформацпн являются малымп, а повороты — существенными.
Если малы н дсформацнн, и повороты, то все определения совпадут с (Ч.4). Длина физического волокна 3 в момент ! равна р, причем р'=дог(х>>Ух'; мо>цпость (!0.24) >с=5' е„. Учитывая, что рз, !!— скаляры, г(х> — настоянные, дифференцируя р', !! по ! получпч йп, (>>д..., 5"', 5", являющиеся тензорамн при любых деформациях. В втой главе сначала рассмотрпм уравнения МСС.
пекото- 182- среды со сложными саоиствдми рых сред при конечных деформациях (в Э), затем общие свой- ства пзотропных сред при малых деформациях н уравнения МСС для некоторых неупрутих сред. $ 18. ИДЕАЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЖИДКОСТИ, ТВЕРДЪ|Е И СЫПУЧИЕ ТЕЛА а 2 а и о 3 ои (18.1) и, следонательно, и»,— оỠ— — 2р осо (18.2) В классическом случае ньютоновской несжимаемой жидкости коэффициент р при Т=сопэ! постоянен.
В рассматриваемом здесь случае коэффициент вязкости р есть некоторая функция ннвариантов о и Тз„ однако такая, что а- 0 нрп о -0: р = р(о), ор(о) — «О при о — «О. (18.3) Эта функция находится пз опытов ~на сдвиг и обычно пе зависит от/зг, а только ото и Т. Соотношение (!8.1), справедливое как для классической, так и нелинейно-вязкой жидкости, можно трактовать как условие совпадения направлений тензоров аи и ои и потому оно означает векторное (тензорное) свойство среды '. ' Подобпп тиму как направление всктора и определпетси едшшчпым века тором и" =, также говорит о направлении тснзора Т», характеризув !п! его так называемым напРавлиющим тепюРом ТО! У 7миТмл ° 1.
Нелинейно-вязкие стабильные жидкости в простейшем случае отличаются от рассмотренной ранее классической жидкости тем, что коэффициенты вязкости зависят от тензора скорости деформации и температуры. Для изотропной нелинейной вязкой несзкимаедзой жидкости, как и для классической, девиа- торы напряжений и скоростей деформаций пропорциональны: аи — — 2ро» = 2ро,, Возводя левые и правые части этого соотношения в квадрат, по.
лучим Идеальные нелинейные жидкости, твердые тела й !В! Соотношения между инвариантами называются скалярными свойствами среды; таково (18.3). Таким образом, векторные свойства классической и рассматриваемой здесь вязкой жидкости совпадают, скалярные свойства их различны. Работа внутренних напряжений в единицу времени в единице объема .при условии (18.!) равна сумме работы девиатора ои и среднего напряжения о: т 1 Й = ои си = (пи + обс ) ~оп + — 11!и о 8;.) = 1 1 =о" о, + — оот о =оп+ — ой!ис, и ст з 3 так как Следовательно, мощность, развиваемая в~нутренними силамн в единице объема, за единицу времени в случае несжимаемых жидкостей, т.
е. при условии 6!но = О (18.4) равна произведению модулей о.и о: И = и," ок = ос = сги о = 2р ое = Зро~. (18.6) Эта мощность полностью рассеивается в тепло, т. е. йти=)с. Единственным независимым параметром состояшгя рассматриваемых стабильных жидкостей считается температура Т и потому рйи=б(~+Лйт, рТйз = 6'Я+Й йт, р = сонэ!. Теплоемкость с зависит от Т и потому йз = — ", и =~с(Т) йТ+ сопз1.
Т Закон сохранения энергии имеет вид йТ рс — = — 6 1 и д + 2р о'. йг (18.6) Уравнения движения отя;+р(Хт — о;) =О при подстановке в них (!8.2), условие несжимаемости (18.4) и уравнение энергии (18.6) образуют замкнутую систему для о, о, Т, если известен закон теплопроводности, например, с)= — Л дгаь! Т, 184 сггды со слож!!ы!!и свопствзми 1гз. !', 2, Идеальная изотропная жестко-пластическая среда СенВенана — - ндеализованное несжимаемое твердое тело, обладающее следующими свойствами: 1) если компоненты девиатора напряжений ограничены по модулю 2 з 2 и и" — = пз = — о ( — аз=(аз)з 1! з! з з з (!8.7) то тело остается жестким (деформации равны нулю), напряжения — неопределенны; 2) если в какой-либо области тела выполняется условие пластичности, т. е.
3 — пп пп = — а, =- о„ 2 (18.8) где пз — константа материала, называемая пределом текучестн при растяжении (прп данной температуре), то происходит пластическое течение; 3) прп пластическом течении векторные свойства тела совпадают с векторными свойствами вязкой жидкости, т. е. определяются соотношением (18.2). Опыты пад мпогочислеппымп квазпнзотроппымп матерналамн показывая>т, что чисто упругое пх состояние, определяемое рассмотренными ранее свойствами и соотношениями (!6,8): 1 1 е„=-.
— [ам — т(а„+ азз))...,, 2е„= — а,з, ... существует лишь прп очень малых деформациях до тех пор, пока интенсивность напряжений о,(п,,; условие начала пластических деформаций а„=пз называется условием пластичности Мизеса. Ранее Кулон и Сен-Венан принимали аналогичное условие в виде а, т~пзх = тз = з! 3 (18.9) где т з„наибольшее по модулю из главных касательных напряжений: а,— а, а,— аз а,— а, тзз = 2 2 2 тз з тз! Соотношение (!8.9) называется условием пластичности Кулона— Ссн-Венапа, т, — пределом текучести при сдвиге. Равенство т, = и,/)'3 получается из (18.8), если рассмотреть случай чиа! — аз стого сдвша (аз= — а!, аз=О) н вместо подставить т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
