А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Приведенное выше следствие гипотезы макроскопнческой опрсделимости (Э 11) называется также постулатом макроскопической определитиост: если для макроскопического элемента данной среды задан процесс деформации е(!) и параметры р(!), то возникающие в нем напряжения однозначно определяются природой вещества, т. е. имеет место (12.5'), причем 5[е, р] — универсальный (для этого вещества) функционал, не зависящий от вида функций е(1), р(!); аналогично — для процесса нагружения. На- 136 ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТЛНОВКЛ ЗЛДЛЧ МСС [Гк ПК глядну!о трактовку постулата можно получить, если теизоры е(!) и 5(Г) представить себе как многомерные (шестпмериые) векторы' (рис; 12.1). Процесс деформации изображается траекторией деформации е=в(т), напряженное состояние — вектором Я(т), параметры и заданы в каждой точке траектории.
Постулат утвергкдает, что вектор О' в некоторый момент определяется предшест- вующим участком траектории дефорз11) мацни (и предшествующими значениями и). ' В общей форме соотношения (12.5'), (12.5") записываются в виде Р„(Е(!'), О (!'), Р(!')],', = О, (12.5) Рис. 12.1 1,<!' <! (1, 1=1, 2, 3) и представляют для симметричных Яи шесть скалярных уравнений, причем УИ вЂ” универсальный для данного вещества функционал. Как только установлен закон связи У, е, и (12.5) и заданы р(Г), уравнения МСС становятся замкнутыми. Действительно, нз (12.1) и (12.5) имеем Ю = УЦое!П(Г), р (!')],'„ (12.6) р = р [и (!')]Й, и внося эти значения в (12.2), получим одно векторное уравнение для вектора и(х,1) или три скалярных уравнения для его трех компонент иь В общем случае это будут функциональные уравнения и их структура полностью -определяется структурой физического закона (12.5).
Для классических сред (идеальные жидкости и газы, упругие тела) — зто будут дифференциальные уравнения, для релаксирующих сред — интегродифференциальные и т. д. Одно важное общее свойство соотношений (12.5) очевидно: они не должны изменяться при ортюгональных преобразованиях начальных ДекаРтовых кооРдинат хь так как Я1РедстажлЯгот физические свойства. В общем случае это означает, что в (12.5) кроме указанных переменных О(!), в(!), !А(!) должны входить тензорыконстанты среды, например тензоры 4-го порядка Сн „и т.~д., ' Это можно сделать, так как тензоры Я и е оиределяются шестью комиоиеитами. На рисунке и в тексте мы сохранили за изображающими тензоры векторами те же обозначения, что и для тензоров.
Связь между напряжениями и деформаниями 137 являющиеся физическими постоянными вещества или функциями параметров р(Е). Во многих частных счучаях физические константы (функции р) прн Е=Еь являются скзлярами, а единственным начальным тснзором-константой является 6;; и порождаемые им тензоры 4-го и других порядков (12.7) В таких случаях говорят, что среда является начально изогропной, хотя она иногда и приобретает анизотропию в:процессе деформации. В противном случае ее называют анизогропной. Для изотропных сред соотношения (12.5) могут быть существенно упрощены.
Для примера рассмотрим малую деформацию элемента произвочьной изотропной среды в декартовых координатах, причем воспользуемся представлениями теизоров пц, зм через деви аторы о;и еп = ьо. (12.8) оп = <гбп +он Процесс деформации (соответственно — нагружения) элемента называется простым, если ен(Е) =Л(Е)е*, где Л(Е) — любая монотонно возрастающая функция Е, ее пе зависит от Е. Для таких процессов прп любых Л(Е) можно доказать при очень общих предположениях, что пз (12.5) получим Яп =Ф,ем+Фа~ее„еяе — — 'эбп) (Е, Е = — 1, 2, 3), (12.9) где э'=е;„есь а коэффициенты Фь Фз — некоторые инварианты- функционалы по времени от функцйй з(Е'), э(Е') и Р(Е'), а ~сць (12.10) причем среднее,напряжение о также зависит от этих трех переменных.
Все специфические свойства различных сплошных сред теперь, отображаются . видом трех скалярных функционалов: о.(з, э, Р), Ф1(з, э, Р), .Фз(е,э, Р1; первый определяет закон гидро- статического сопротивления, два других — законы сдвигового сопротивления. В случае произвольного сложного процесса деформации приведенная формула усложняется: в правой части (12.9) будет пять типов слагаемых. До сих пор мы считали, что параметры р(Е) есть заданные функции времени. В действительности нередко они сами являются искомыми и даже зависят от в(Е), При этом необходимо еще ис.пользовать законы термодинамики (з 11) и другие законы физики для немеханпческих параметров.
136 Физические ЗАконы и пОстАнОЗХА зАЛАч мсс |ГА Ш. Существенно, что если заданы функционал свободной энергия зР[Т, вп) и рассеяния )Р'а>! (11.36), то связь между напряжениями и деформациями находится, энтропия становится известной и потому, учитывая уравнения (11.26), (11.40), получим рТ '~' = р,А>'О,Т+КР, АЧ (12.11) Тем самым система уравнений движения (12.2) вместе с (12.11), становится замкнутой. 3 |3.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МСС И ГРАНИЧНЪ|Е УСЛОВИЯ На рпс. 13.1 показана схема плотины высокогорного водохранилища: пусть тело (1) — водоем глубины О, тело (П) — плотина, причем допустим, что (1) — идеальная тяжелая жидкость, (П)— Поставить конкретную задачу МСС вЂ” значит выбрать соогветствующую замкнутую систему уравнений, задать внешние силы н выбрать соответствующие граничные условия для вектора перемещений нлп тензора напряжений 5'л, или смешаннь>е (для и и 50), а также выбрать условия для температуры Т или потока тепла д, илп смешанные (Т и а). Могут быть еще и омешапныс термомеханнческие условия, связывающие между собой (и, 5'л, Т, д) или еще более общего вида (включающие параметры 6), Массовая сила, определяемая вектором Р(х,!) и входящая в уравнение движения (10.6), в большинстве случаев известна, Это сила тяжести !Р~ =д или всемирного тяготения, в некоторых случаях — это известная сила инерции переносного движения, возникающая за счет ускоренного движения системы координат Но иногда эта сила может быть определена с необходимой точностью только в результате решения некоторой задачи МСС, так как не является известной функцией (х, !), а функцией (и, х, !), как, например, сила тяготения между частицами тела.
На границе тела Х, которая может быть известной или неизвестной (при любом !), механические граничные усяоеия могут быть кинематическими динамическими и смешанными. В первом случае полностью задан вектор перемещения и или скорости о<">, во втором — вектор поверхностной силы Р~'>, в третьем 'векторное соотношение между Р!Р>, и!'> нли Р~р>, Э'>. На частях поверхности В=1„+Е +Х„р могут 6ЫтЬ ЗадаНЫ: На л.„— ВЕКтср исм ИЛИ П!р>, На Х вЂ” ВЕКтОр Р!Ф>, На Х„р — вектоРное соотношение междУ и< > илн а(Ю и Р!Р>, Постановка вавич МСС и граничные условия 139 идеальное упругое тело; задача МСС вЂ” обеспечить прочность и неподвижность плотины за счет выбора ее размеров (сечения ОАС).
Полные системы дифференциальных уравнений для воды 6 )А) и тела плотины (З 16) известны. Пусть критерий прочности (П) задан: наибольшее нормальное напряжение внутри тела (П) Рис. !3.! на В,С: Р!') = — р,а (й — г) т, где ) — внешняя к (П) единичная нормаль; таким образом, ОВВ~С есть часть Еа~ поверхности плотины Х)п). На границе ц!) ОС плотина опирается на скальное ооновапие, которос считаем абсолютно твердым и плотину — жестко скрепленной с ннм; сле- довательно, ОС=- ка . Граничные условия для искомого вектора )и) псремещения й(х,г) и тензора напряжений Вы определя)отса в виде .
= Р!') а на Х),"': и = и)н) = О. (б) должно быть меньше константы материала ои. Какие граничные условия надо поставить для решения задачир Нростейисая статическая постановка: гидростатическое давление в воде р=р|д(Н вЂ” г), трение в жидкости (1) и в воздухе (1П) отсутствует, следовательно, по границе ОВВ,С задана поверхностная нагрузка Р!".
на ОА: Р!') = — р,д(Н вЂ” г)т, на АВВ,: Р!') = — Р,т, (а) !40 епзичсскив злконы и постлновкх злдкч мсс !Гс гсц где Рел определен (а). Наша задача МСС теперь сведена к чисто математической: уравнения Ляме 5 16) мри массовой силе Р= — дге (ге — единичный вектор по г) и граничных условиях (б) имеюг единственное решение, оио может быть построено, будет найдено максимальное нормальное напряжение (5 9) о~ „и вопрос о прочности по условию ош„(он будет решен; будет найдено также среднее касательное напряжение т„в (П) на границе ОС; сравнение его с допустимым те без разрыва связи (11) с грунтом решит вопрос и о сдвижке плотины.
Фактические расчеты плотины именно так и делают (уточняя условия на ОС), причем сложность сечения ОАВСО (в плотине могут быть помещения для турбин) приводит к необходимости использовать вычислительные машины. Определение вектора Рсо внешней нагрузки па части Ер поверхности тела часто представляет сложную задачу МСС, поскольку в действительности эти нагрузки могут быть результатом взаимодействия двух и более тел. Иногда задача нахождения Рел для тела (11) разделяется с задачей расчета этого тела, т.
е. предварительно для нахождения Р~ю необходимо решить некоторую задачу МСС для тела (!); но при более точном подходе разделение не происходит, необходимо решать совместную задачу, причем нередко выясняется возможность опасных автоколебательных режимов движения. Например, в водоеме (1) за счет ветра возможны сильные волнения (пунктир на рис. 13.1) и давление на стенку ОА будет складываться из статической Р= — р,д(Н вЂ” г) и динамической Рд„составляющих. В приближенной постановке динамической задачи о плотине предварительно необходимо решить задачу гидродинамики о движении волн в водоеме (1) с неподвижной вертикальной стенкой. Лля тела (!) теперь простыми кинематическими являются граничные условия на Бр=Хоп+Хох, обе границы непроницаемы для воды и, значит, на Х„:о ° 1= О. Но иа неизвестной поверхности Вр010з(Хр), имеющей уравнение У (х, г, !) =О, задать давление р(х, !) со стороны движущегося со скоростью ос воздуха тоже довольно сложно: во впадинах и иа гребнях волн Р(х, Г) будет раззнчным и вообще говоря оно должно быть найдено из совместного решения задачи МСС о движении воды в области (1) и воздуха — в (111); условия на границе двух сред будут рассмотрены ниже, и мы допустим, что задача сред (1) — (1!) решена и давление воды р(х, г, Г) на стенку (х=О) найд,ено; тогда первое из условий (а) для плотины изменится н станет Роо = — р (О, г, !)~, (в) Ф тз1 Лосганавна задач МСС и граничные условия 141 причем Р(О,з, 1) будет некоторой периодической функцией й Теперь для (11) необходимо уже решать динамическую задачу теории упругости о стационарных колебаниях тела (П) при граничных условиях (б), где Р<ч> на ОА0в задано в виде (в); решение также будет периодическим по 1, причем возможен резонанс колебаний плотины (П) и воды (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
