А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для одной и той же косой площадки, т. е. при условии (9.14) вектор уч"> (9.15) равен векторам Р< ! (8.8) н Р< ) (8.37), т" м! = — Р'> =Ф!">, т. е. Если какой-нибудь другой тензор г обладает свойствами, аналогичными свойству 5, т. е. на одной и той же площадке внутри среды (А=у=п) в трех рассматриваемых системах координат, характеризует вектор г!ю = г'А! = г< ">, который, например, в системе координат в' имеет выражение я<А>=г%, е|=е™ц~, где ги не зависят от направления ), то для компонент тензора г будут спра- Р<А! =А1'х =-961 д =5'у =5лу,э;=онп, в!=а'пи (9.17) где о'=оь Эти соотношения (9.!7) н являются основой для преобразования координатных векторов Я', 5', о1) н компонент одного и того же тензора напряжспий 5 при переходе от одной координатной системы к другой. Е З) Нопреененип и деформации в проиввопвне~х координатов 109 ведливы соотношения (9Л7) при заменеЮ вЂ” г, Ям — ~з'~, се' — ~г', и т.
д. и при соответствующих обозначениях компонент г в реперах з; и еь Для того, чтобы найти выражение вектора ае и компонент ао через 5', 5н и К Яо, направим нормаль п=т =), по координатному вектору е" = [ер е„1 = еа репера (е,), т. е. положим (й)а = а = е = еа; получим а д~ра дфа и,- = (п)ае, =б,", т, =(п)аз = —; Х =(п)аа дх' и, обозначая А~ (х, 1), С,"(а) А",= дч, дх' (9.18) получим из (9.17), (9.16) о = А~" 5' = С," ф, и затем из (8.8), (9.18), (8.37) а" е = А,"5д~ =С' Япд, (9.19) Однако а а з;=-А;е„, а,=С~в, и потому а"' = А7 А,' 5п = С," С,' Я", (9.20) причем А; '(х, 1), 50(х, 1) можно согласно (9.7) выразить в виде функций от (х, Г), а С[(д), Ям(д) согласно (9.1) — в виде функции (х). Формулы (9.20) дают искомое выражение.
Для того чтобы найти выражение Яп через а;; и 5'~, а также 50 через ам и Я'~, вводятся обратные относительно А; и С,'млтрицы (9.21) определяемые этими уравнениями..Умножая (9.20) на Ре Щ' и учитывая (9.21), получим Я' = агв Р, Р" = 5а Ар А,' Ра Р', (9.22) Такую же формулу получим для 5 ", заменяя в (9.22) Я-в-5, 5- ~, Р-о.
В, А-о С. КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ «Га АП Заметим, что закон движения частицы (9.7) определяет еще базис дх/дх', определяемый аффинором В=дх/дх, обратным А 8 6), который мы теперь обозначим а,: дх дФ А — А дхА дФА е,= = = В;е,, хп = — =; (9.23) дхс дхс дхк дх' соответствующий ему метрический тензор 6н н контравариантныс базис ахи тензор 6'~, а также символы Кристофсля / определяются соотношениями: а~а = бн 6 =е,, е =ТРАВМ А А 2 ~, дхт дх~ 6и6„, = бх, (9.24) дон ') Вектор Нх и его квадрат Рга! ~1х Хин е (9.26) Рассматривая во всех реперах (е;, эь д;, е;) одну и ту же физическую плошадку с единичной нормалью и=У=А=~:, т.
е. перенеся к ией параллельно (без вращения) вес этн реперы, мы получим условия (9.!7), к которым присоединится еще одно: Фп = Х'н. = Хпх е. 4 4 Т' Совместим теперь н=п=ъ=л с единичным вектором нормали к плоШадке, образованной векторами еа, Ст, т. с. положим .а 1/~- ' (9.27) тогда да х,=не,. = 1/ ~. ха е. п,=хе,= )/О " пх = Вт(х = — е, йх', а'х' = 6и т(х'пх', (9.25) как уже отмечалось, опредсля|от то начальное (/=та) вектор.волокно Гх, которое в момент 1>/а перешло в точку х н совпадает с заданным в'пространстве наблюдателя вектор-волокном й. Тензор напряжении 5 мы можем представитьа конечно, и в базисе еь обозначив его компоненты чсрез Х', Хн, вектор напряжения на площадке с единичной нормалью х — через ун 1, так что з з) нанрявквняв и дв!Ро нации в нро вольных к Рдинагах и потому из (9,27) получим о!!(аее)в ~!' Отсюда, умножая на за, учитывая (9.24)' — г!аье е б «~В» Ьы!, ь (9.28) найдем, подобно (9.22), Хаа = ОЛ1 ььР ! юГГ ! (9.29) У"= а В','=.~'В 6 .
Обозначая обратные аффиноры для А'С Кзнакомв 'свеРхУ, т.е. В1 А! 1)( ~'. К~! А' = 6), (9.30) ! ! ! ! найдем из (9.29), подобно (9.20), ом = ~;!!-я,'~!. (9. 31) Тензор деформации возникает г!з определения относительного удлинения начального физического волокна ах=ь, котоРое деформируется в ь(х=р, — )Нх) ( дк! и связан с разностью ь(хо †(ха которая в силУ закона движения не зависит от выбора систем координат.
Олин и тот же начальный 3десь Рр' имеет компоненты, получаеМые из последнего УРавнения (9.30) умножением на 6,!А„' иг 0 1! б;,А' 6™". (9.32) ! и Таким образом, равенство (920) может быть продолжено с помощью (9.31). Тензор деформаций з до снх !!ОР был прелставлен только ком' понентами еп, которые выражаются формулами (6.64) чеРез вектор перемещения н=х — х, причем ь!спользованы лекаРТОВЫ компоненты и!(х, !), или, что то же, и! (х, дх' 112 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ Егх. ц, — дх,.
дх,. д х $= ТЕх= — Дх'= — Дхг= — ЕЧ~= дх' дх' дд' дх" = е,х(х = Е,Их'=-РА . а4т=Р,С; ТЕТЕ'. дч' (9.34) Аналогично — дх дх р = Ых= —.х(х' = —, х(х'= дх' дх' дх ТЕТЕт з (Ехт е ф~х, д Дф д,~К (9.35) СОСтаВЛяя раЗНОСтЬ ЫХх — ЕЕХх = р' — Вх, ПОЛУЧИМ р' — $' = 2ац х(х'х(хЕ = — 2ВИ Их'сЕх' = — 2т1ц дфг(дЕ, (936) где обозначены компоненты тснзора деформации е в различных системах координат: 2ец —— дц — бц, 2ВИ = — бц+ Оц, (9.37) 2т1ц = — Чц -ч О„„СГ С,". Все эти компоненты обращаются в нуль при Е=ЕМ так как согласно начальному условию Е=ЕМ х=х и потому дц=бц=бц„а на основании (9.18) С,"С,' = дцц Перемещением точки х в момент Е называется вектор О=х(х, Е) — х= — й(х(х, Е), Е), определенный в эйлеровом пространстве.
Его можно представить через декартовые компоненты, которые обозначаем — и'(х, Е), и компоненты Сл(д, Е) в репере д;: (Е = (Р д,. = (Е, ф = и' е,. = — и, и'(х, Е) = — и'(х(х, Е), Е). вектор-волокно ТЕх можно представить через его компоненты в лю- бой нз трех рассмотренных выше се(стем координат х*', х' и д', тах как все онн связаны с законом движения (9.7) и преобразованием Е9.1): КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 1г.. ы.
114 Имеем тогда д.,~,.(7- = 7,(и"д„,) =- 7,.()н (9.45) ч"'р~ч = 7~(ц!ч') =ч;и. Внося (9.43) в (9.41), получим искомые выражения компонент тензора деформаций е в любых криволинейных координатах (д') через компоненты вектора перемешения Т/ в этих же координатах: 2т(н —— дЩ + д;(У, + Ч,0 ~7,(7"', (9.46) 17 (7.7Ф" =т7Р ЧУ Чи.= Чп. Если какой-нибудь контравариантный вектор, например, век- тоР иапРЯжепиЯ ле'"' опРеделеп в РепеРе о, выРажением Я'л=ь1 'Ол (9.15), то ковариаитной производной его по аналогии с (9.42) называется выражение (9.47) Внося сюда 11" =(;1 д„, получим (9.48) гдс обозначена ковариантная производная контравариаитпого тсн- зора (~ ": пл (9.49) Закон движения (9.7) при 1=сопз1 можно рассматривать, как одно из преобразований типа (9.1), причем компоненты о', а" тепзора 5 в ортогональном рспсрс е, в точке х преобразуются в 5', 5и в репере эь иакющем характеристики д,ь Г»;.
Заменяя д' на х', о; па эь ди на ди, у на Г и считая 11', [/; компонентами вектора (7 в репере э, й = и (х, 1) э,. = и,. (х, 1) а', (9.50) получим выражение компонент т);, тензора деформаций е в виде (9.46) и выражения коварнаптных производных компонент 5', 5Н тепзора напряжений 5 в репере э; по криволинейным координатам х'. дхл' р,.5 == —, + 5"Г А =- э„т7;5"", (9.51) У з) Напряаееяия и дефорллаяии в проазеохеямх координатах 115 о» д5~" оп~.елд о ~Г Вектор скорости частицы о чагцс задается в эйлеровом пространстве; в декартовых координатах х' в базисе е; его компоненты обозначаются о'(х, 1), нли, по то н'е о;(х, 1), н компоненты оп тспзора скоростей деформаций Ф (ч 6, з 7) имеют выражения дол, до, дхд дх' (9.52) а вектор ускорения (9.53) имеет выражение — до .
„до дГ ' дх' (9.54) Поскольку для базиса е; в декартовых координатах метричсскнй тснзор дгл — ье;е;=бп, у»;- О, координатный вектор напряженна Я'- о', то из (9.47) — (9,49) имеем — ля до"' до " — „„, до'"Я т. с. ковариантные и частные производныс совпадают. Из условия сохранения квадратичной формы тензора 1~, 2Фл =о;рлхЧлл= 1л;;Й7лей7л, где К; — компоненты 1х в крпволпнсйпых координатах (4л), имеем дхкп дха до„, дл'я, до„дхп де' дат дет д4 дс' дел после подстановки сюда о„,= Гд;е„п прсобразова:ппй с использо- ванием (9.5), (9.16) получим до(х О Л'(Ч, О дР , '; д1л ат дт ал да~ ' 2(гп = тл;1'; —; 17,)лз = 2о пС; С,";; (9.56) (9.56) получается из (9,52) заменой гастпых производных по декартовым координатам ковариантпыми производными. Репер д; неподвижен в точке х=сопз1 пространства наблюдателя, так как х=лр(д), по вектор скоростп о=1' в силу законадвижсния х=~~(х, 1) меняется по й Для частицы х=сопв( 115 сгх.
ы, КИНЕМАТИКА П ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ о (х, 1) = о'ес =1' (с), ~) с)с (д) = Рс (д, 1) с1с(э), (9. 57) с с о= 1с= —.с)' = дспс, дяс с)с 1сс Следовательно, дс ( с7 ) + (~ 1'сск ) с1 или окончательно получаем выражение ускорения в точке х=сопз( В криволннейных координатах (с)'): И 1) =( — „+(с'7Г')9 (9.58) дх с — — дх'— о =- — = о'(х, 1) ес = ес = дС ' ' дС = )с = Ра (х, 1) эс (х„1) = — (сс (х, 1) эс(х, т); — дсх дис — д'хс— пс = — = — ес =- ес = дл дС дГс = псс(х, 1) э,. (х, 1) = псс (х, 1) эс (х, 1); дС дхс дС дхс Найдесм выражение ускорения через скорости $'с, (сс; отличие от предыдущего состоит в том, что базис с)с был неподвижным в пространстве наблюдатели, базис же эс — подвижный.
1-1аходим (9.59) дС 'А дхс / дС ' дхс дС ' дхс и, следовательно, имеем выражение — / дрс . „,» — д'хс = ( — -;- ~:Ч„Р ~ эс = —. дС ' дгс дрс, с дсхссс — -с дсхссс дхссс — )Ас17 1л — э эс — ' д~» дС " дС» дп дх» (9.60) которое совпадает с (9.58) простой заменой с)с на э, и у»; на Гсс, Пусть теперь э=7((х, 1) — вектор скорости, ю(х, 1) — вектор ускоронпя имеют компоненты (сс, юс в базисе эс лагранжевых координат (х) э' 91 Напряжении и деформации в произвольных координатах Найдем теперь производную по времени от тензора деформации е, выраженного компонентами деформации ец: Получим для фиксированной частицы х =- сопз1 в репере з,: дец(х, !) — д$' — дк 2 " ' =э, —.+а; — =— д! ' дхз дх! = э,.э'д!)', + ззз'Ч7н = д!)'! + д!$'!; или в репере е;: дец (х, !) дх Й!, дх до 2 д! дх! дхэ дх! дх! (9.62) (9.62') Рассматривая здесь о представленным в репере е; как функцию (х, г) на основании закона движения х=ьр(х, г), х=Ф(х, Г), т.
е полагая о=о'л(х, ()епь получим де~! (х, !) дх до д», дх до дх д! дх' дх» дхд ' дх! дхн дх! где ппгн имеет выражение (9.52), а «з„!, — компоненты вихря. Вследствие симметрии пах=ох„, и аптисимметрии оз и= †! по- лучим (9.63) Следовательно, для одной и той же частицы скорость тензора де- формации е равна тснзору скоростей деформаций (г. дец л т ==о АеА;. д! Но согласно (9.! 1) правая часть этого равенства представляет преобразование декартовых компонент о,„н тензора )г к компонентам в лагранжевых координатах; обозначая эти компоненты из (9.63), (9,62) получаем (9.64) ГЛАВА ИЛ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МСС $ 1О, УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ) р(Р— ю)с(1'-,- ) Р г( =0 (10.1) в любой системс коордипат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
