А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тензор поворота со антнсимметричен, причем сои — — сохе=созе=О н потому он может быть выражен через вектор со, называемый ротором вектора и илн вектором поворота окрестности точки х се = го( и = со,ес (7.14) Компоненты вектора со связаны с компонентами тензора со соотношениями бди диа Х 2 ~дх дх (7 15) Следовательно, компоненты тензора малой деформации с одинаковыми индексами суть относительные удлинения координатных. волокон, а удвоенные компоненты малой деформации со смешанными индексами суть уменьшения прямых углов между. парами координатных волокон, называемые сдвигами.
Координатный вектор-волокно Я) =$яея в результате малой деформации станет вектор-волокном (р)я, направляющие косинусы которого согласно (6.59) определяются формулами: кинемАтикА и ВнутРенние нАпРяжения !ГР. М. На основании разложения (7.13) вектор относительного псрсмешения б (7.7) представим в виде суммы 62 ф2 (7.16) причем (7.17) называется псремещением, связанным с чистой деформацией, а 6" =- ВТ,Де2 =- (о4 (7.18) Е, Е, Ее !ВТЕ1 = ы ша Ы 21 ~2 ~З (7.19) Чтобы пояснить наименования векторов 6' и В'рассмотрим окрестность какой-нибудь фиксированной физической точки, в которой ееь ы«д в момент т суть константы, а с изменением времспн— функции времени и Переобозначнм вектор ~- х, Ь-««и так, что вместо (7.16) получим и=и' +и2, причем и' = е,.;(У)хге2, и' =-62, ие=ап(Г)хтг,, и' жб2, Вычисляя деформации е,'~, е2; по формулам Коши, найдем 1 2 ;; =- тг(1), ~2 =.
О. (7.20) (7.21) Так как и=и'+и' — полное перемещение, причем е;; = О, то действительно векторы 62 и 6Р соответственно определяют чистую (полную) деформацию и движение без деформации, т. е. поворот всей физической окрестности рассматриваемой точки как абсолютно твердого тела.
Тепзору е в соответствие ставится квадратичная форма 2Ф(Х)=Е,,Х, Х; и повсрхность Коши 2Ф=сопз1, причем вектор Х выбирается в называстся персмешепнем, связанным с поворотом ы всей окрестности точки М как целого. Равенство Ь векторному произведению (22В! Проверяется непосредственно на основании (7.!5) н опрс- деления Малие и деекоиечио маеие деформации любом масштабе по волокну й (Х=4, е;=сопя(); из (7.17) ясно, что ).бз =- цгас) Ф, т. е.
направление относительного перемешсния, связанное с чистой деформацией, совпадает с направлением нормали к поверхности Коши (рис. 7.2). Три главных ортогопальных нап1завления тензора а находятся из условия аХ=огабФ, причем три главных удлинения еь ем ез являются корнями кубического уравнения (равенства пулю определителя системы) — е'+ /г е' — 7зе+ 7з — — О, где инварианты имеют выражения Тз = а, —,- ез -,'- ез =- еы + е„-'; езз = еп б;„: 1 2 7з = езез ч езаз езег = (7~ — со ем) 2 (7.22) 7з = езезез = )еп ~. Заметим, что холл сдвиги в главных осях деформаций отсутствуют, дсо вектор со =- , т.
е. мгновенная угловая скорость не равна ско- дГ рости поворота в момент 7 главного репера (трехгранника главных осей), так как главные оси деформации с течением времени изменяют свою ориентацию относительно частицы. Рис, 7,2 Рас. 7,3 Отношение объема )7 частицы к ее начальному объему $"о раино )7й' = )Р~ дн ( . Но с точностью до бз 84 кинемАтикА и ВнутРенние ИАИРяжения = 1+ 27„(7.23) к =10';;1= и поэтому относительное объемное расширение частицы будет равно 1~ — Ув 0= ' = У Д вЂ” 1= 7д= з„+ е„+езв — — д)(чи, (7.24) т. е. равно сумме ен компонент с одинаковыми индексами. Закон сохранения массы р(1+6) =рз дает выражение плотности р через 0 и начальную плотность рз: р — . — (1 — 0)рв 1,'+ 0 (7.25) В частности, если можно пренебречь изменением плотности, то условие объемной песжнмаемости вещества имеет вид В = — г —, — =б(чи = О, ди,, див див двв дхв (7.26) разложение теизора малой деформации на девиатор и шаровой тензор.
Девиатором деформаций называется тензор с компонентами зн, 1 е,.;"= ен — еб„, е = — В, (7.27) причем ебп называется шаровым тензором, так как его поверхность есть сфера еб;; ХдХ; = — з(Х, + Хв + Хз) = сопз1. Первый инвариант девиатора деформаций 7~, = ам б;; =О, второй — 27вв = э' = зп ан = Е1~ + ез + ез, (7.28) где е„ев, ез — главные компоненты девиатора деформаций. Относительное перемещение б' (7.17) в главных осях деформаций имеет выражение (з главном репере е;в) б'= ад 5,екв Рассматривая октаэдрическую площадку (рис. 7.3) (отсекающую равные отрезки по главным осям) н волокно $, равно наклоненное 1+ 2здд 2е„ 2езд 2едв 2едз 1 -'г. 2евв 2евз 2ем 1+ 2авз 85 Малые и бесконечно малые деформации к главным осям, так что $, = ф(/(/3, найдем его относительное )длинение бес 1 е1= = — (е,+е +ее)=а=6/3. ех з Сдвиг конца волокна С (лннейный сдвиг октаздрической площад- ки) равен х)/(6')х — ах ех, относительный сдвиг получается деле- нием на ~Д. Удвоенный относительный сдвиг октаздричсской пло- щадки называется октаздрическим сдвигом у,: ух== — '1 (6) — в ах=21 — (е1, ех-гез) — е 2 х/ ех х 2 ч 1 21 2 ~ 2 !$! 3 На основании (7.28) получаем Т, =- ~/ а~ + ех —,' ез = = = —, 'ь а„ец, )сз ' ' з т'з (7.
29) дГ аи дГ а дГ„, ГдГ а, дх дх ' дх дх из которых следует шесть условий Сен-Венана: (7.30) + де ее, дхх 2 дх, дхх дхх де ен дезе с дезх ден ) "( дх, дхх дх, ' дхе ' дхз (7.31) (в каждой из выписанных формул следует сделать круговую перестановку индексов (1, 2, 3). Естественно, что если в (7,31) внести т. е. пропорционален корню из второго пнварнапта девиатора деформации. Велпчинаа-= )'семен называется лсодулеги девиагора деформации. Условия совместности Сен-Венана для малых деформаций получаются нз (6.76), (6.71). Символы Кристофеля (учнтывая йчз=бн+2ао) будут малыми порядка 6, а их произведения — порядка 6х и потому вторая группа слагаемых в (6.76) должна быть опушена. В результате получаем шесть уравнений: 86 кииеа!лтикА и ВиутРенние 11АпРяжепия «Гл.
1!, выражения ец по формулам Коши (?.8), получатся тождества н потому иногда (7.31) называют тождествами Сен-Венана. Все полученные выше для малых деформаций среды формулы пРи Указанной Раисе замене х- х, и- О, ен — Оц спРавсдчивы длЯ мгновенных деформаций се в эйлеровом пространстве, но имеют соответствующую трактовку. заменяя и на О(х, [), ь;; на Он, х иа х, из (7.14) и (7.15) находим ьй(х, 1) = го1 о =- 0[ е[, гдо дои х 1[а= ~ т ~ (а,р, 1')= — (1,2,3), 2 ~ дха дх У* (7.32) /1 О11 + Озз 1 ОЗЗ вЂ” ОЦ 6[1 = [11Ч О 1 /, = — (/1 — Ои Ом), (7.33) /З = !О„~. Объему у'о в (7.24) теперь соответствует объем частицы в момент / (ро — плотность в этом момент), объему )2 — объем в момент [+Й (р — плотность).
Следовательно, [/О= — — и потому др Р из (7.24) имеем — — — = [11чо = — + — "+ ', (7.34) дв 1 др . — до, доз доз М р и[ дх[ дхз дхз причем ьз называется вектором вихря: он является вектором мгновенной угловой скорости вращения частицы среды как твердой. х 2 Тензор Оц (7.9) представляет тензор скоро/ стей деформаций частицы, т. е.,компоненты Ои, Озь Озз суть мгновенные скорости отно/д / сительпых удлинений координатных воло- [[т / коп, взятых по осям хь а удвоенные смсшая/~, тчп ные компоненты 2О,З, 2оеь 2ом — скорости сдвигов (скольжения) координатных пло- /~'2 -д щадок. (Их механический сь[ысл понятен из рнс.
7.4.) Инварнантам (7.22) соответствуют Рис. 7М инварианты те~зора скоростей деформаций 87 Малые и бесконечно малые де4ормании причем — — субстанциональная производная: др дГ др др , др 'т о дг д1 ' дх( Из (7.34) находим 6=-1п 'е р (7.35) Следовательно, мы получили условие сохранения массы настины в эйлеровом пространстве, выражающееся одним из уравнений — — — (ро,) == О, " + с)1чо = О. (7.36) дс ' дх; ' см с)1ч о — — О. (?.37) Условия совместности компонент тензора скоростей деформаций оц получаются из (7.31) заменой ец па оо и х на х. Движение среды называется безаихр~евым, или потенциальнылк если й=го1 о=О.
При этом из условий — — — =О (1,1=1, 2, 3) ' дхг дх~ следует существование потенциала скоростей ср(х, 1) (7.38) о, == —, о = пгас( ср. др дхс (7.39) Гели к тому же среда несжимаема, то пз (7.37) следует йч дгас) ср = — схср =- О, (7.4О) де он де е ч е дх1 дхе длз Ь называется оператором Лапласа; потенциал скоростей ср являет- ся гармонической функцией. Зто условие сохранения совпадает с полученным ранее в первой главе из статистических соображений и, значит, вектор скорости о сплошной среды можно трактовать как среднее по ансамблю значение скоростей молекул. Условие объемной несжимаемости среды имеет вид — = О, или др дГ игл.
ы, КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ Этим свойством обладает, например, движение идеальной несжимаемой жидкости в потенциальном поле сил, если в какой- нибудь момент го1 о = О. Движение любой сплошной среды, рассматриваемое в эйлеровом пространстве, обладает некоторыми свойствами, вытекающими нз определений линий токов, вихрей и закона сохранения массы. (хак уже отмечалось в $4, линией тока в момент 1 называется траектория вектора скорости о(х, г), проходящая через какую-нибудь точку хо, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
