А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Эти тензоры представляются матрицами а-)а;(, -(~н!!, причем пм соответствуют симметричные квадратичные формы (6.14), (6.19), а значит, и центральные поверхности второго по- рядка 2Фи — — й пХсХ~ = сопз1, 2Ф, = е,;Х'Х1 = сопя(, (6. 34) где Х(Х') — произвольного масштаба вектор, отложенный вдоль волокна $ в точке х. Поскольку йии = (э )', то поверхность 2 Фе —— =сопз1 — эллипсоид; поверхность 2 Ф, =сопз1 — центральная поверхность и, значит, это эллипсоид нли однополостный и двухполостс гый гиперболоид.
Главные оси этих поверхностей совпадают, главные значения тензоров д и е отличаются на константу. Действительно, главное направление определяется вектором Х, колинсарпым градиенту к поверхности. Для 2 Фи — — сопз1 имсем дгаб Ф, е е,.'ш д'„Х'е;= йкХ = у„боХ1э;, откуда для компонент вектора Х и коэффициента д, получаем однородную систему уравнений' (дп — й'„бн) Х1 = О (с = 1, 2, 3). Для поверхности 2Ф, = сопз1 аналогично получаем йгаб Фе = епХ~е; = е„Х =- елбпХ1ес, ( „— „6,,)Х =О, (6.35) Это векторное уравнение определяет и единичную нормаль ч и раз- мер косой площадки с(~ч, в которую преобразуется площадка б~ц'.
Умножая (6.32) на ээ и используя (6.23) и (6.27), найдем выражение величины деформированной площадки с(;~.а через с(2": 70 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖБНИЯ 11вм. или на основании (6.18) (вп — (2Б„+ 1) дц) Х1 = О. Определители систем (6.35), (6.36) равны нулю: ( дп — н„б„! = — О, ! д'и — (2Е„+ 1) б„! = О, (6.36) (6.37) откуда находятся одинаковые значения параметров и = 2еа+ 1. (6.38) Значит, уравнения (6,35), (6.36) совпадают и определяют одни и те жс главные векторы Х.
Развертывая определитель )д;; — п„бн) но степеням 9„, из (6.37) получим вековое уравнение: — 9„+ 7„д„-7„д„+ 7„= 0. (6.39) Оно имеет три действительных корня Ати я„п„причем 7а1 = в~1бо = Дм Ыаа -!- Ыаа =-' Йт+ Ыа+ Ка 2 ' ' ' 2 (6.40) а р*=а„К1 =-„')", аЛ', аБИ а р' — Р = 2ец$%1 = 2 а), В;Ца. (6.41) Величины дь е,, связанные соотношениями (6.38) В,. = — (в',.— 1), (1= 1, 2, 3), 1 (6.42) = Ытй'а ЙЫа .т. Хай| 1аа = ~ ап ~ =- а,а.аа — -- а, Три главных вектора Хь Х,, Ха с единичными векторами в,а (1=1, 2, 3), определяемыми тремя системами уравнений (6.35) при д,=д,, п„=да, д,=да, взаимно ортогональны, и потому путем преобразования поворота системы координат квадратичные формы (6.14), (6.19) можно преобразовать к главным осям тензоров д,.е.
Обозначая ааа (1=1, 2, 3) — координаты волокна КЯт) в главном ортонормированном репере вм, получим канонические представления форм (6.14), (6.19): 71 Деформация окрестности тонки силосной среды называются глазными компонентами тензоров д и ь, и опи, конечно, пе зависят от выбора системы координат к' пространства наблюдателя, т. е. инвариантны относительно ортогональных преобразований базиса ео Из (6,39), (6.40) следует, что 7зь 7,м 7зз, и соответственно ч1 = езз езз езз = ес+ аз+ аз, 1 7сз = — (! — е е .) = езез + езез †' езе, 2 (6.43) 7а = [е„[ = ер,ез, дгп = РЛ' =- РздУз, (6.46) где Рз, р — плотности частицы х в моменты 1, и 1, в лагранжсвых координатах принимает внд РУ'6' =Рз. Физический смысл компонент тензора деформации е выясняется из соотношений (6.7), (6.13) и (6,19).
Относительным удлинением любого начального волокна называется величина (6.47) также являются инвариантами таких преобразований базиса еь Объем начального прямоугольного координатного параллеле- пипеда, построенного на векторах (Е)ь ($)з, ($)з, равен с(Уз = (й)а [($)а (в)у[ =- аЯа$теа [еаеу[ = $'Яз = с(х'дхЖхз. (6.44) Объем этого же параллелепипеда, после деформации (т. е.
в мо- мент 1) ставшего косоугольным, образуется векторами(о)а = зава, <и=!, 2, 3) и, следовательно, равен с(У = (Р)а [(Р)а (Р)у[ =' с(Узза [разу[, изи, на основании (6.21), (6,23) — с(~ о [1'К. Г!о свойству аффинного преобразования это равенство верно не только для деформации координатного параллелепипеда, но и для ,побого мало~о объема, состоящего на всем интервале времени 1 — 1з из одних и тех жс физических частиц. Масса частиц в объеме, изменяющемся со временем по закону (6.45), при фиксированных лагранжевых координатах х остается неизменной, и потому закон сохранения массы КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 1га ы, (6.48) Обозначим направляющие косинусы вектора-волокна е через — (3=1,2,3) ~$1 и перепишем (6.19) в виде,' Р— 1 ( 2, 1У1! ~„1Ц~ Г (6,49) (6.50) учитывая, что 3 11!бп = Ч~' 1Н =1.
(6.51) 3=! Пусть волокно я совпадает с координатным (е)а = еаеа, так что !а= 1, (а = 1" = 0; обозначим его удлинение еа и найдем из (6.50) Р /$ = 1 ~ 2еаа = аааа~ после чего из (6.48) еа = 3!/ Киа 1 = )' 1 + 2ааа 1 (о = 1, 2, 3) 1! ! Ь! ' !13! (6.53) Косинус угла 0„ между ними равен: 3 Ы !3! !!Ь! (6.54) Эти векторы-волокна после деформации согласно (6.13) преобра- зуются в векторы-волокна р,=А$3, с компонентами р,' = АЯ!3 Р! = А!е! !' !! (6.52) Следовательно, диагональные элементы матриц тепзоров а, а однозначно определяют относительные удлинения координатных волокон (й)а. Рассмотрим теперь два волокна Е! и Е3 с направляющими ко- синусами Лефоряаяия окрестности точки сплошной среди й б! и направляющими косинусами с А = =; (е = =, 1 = 1, 2, 3. р! ; р2 !Рс! !ре! ' Е!о нз (6.48) (р,~, !ре~ выражаются через относительные удлинения этих волокон еь ее формулами !р,(=(1+е)Яс), (р,! =(1+ ее)!5е!, и потому с учетом (6.49) получим А'Я А~ 11( и ч (1+ е,) (6.55) причем 1', получается нз (6.55) заменой индекса 1 на 2.
Косинус угла Оге ь1ежду деформированными волокнами рь ре будет равен с 0„=~,йе=~~),, нлн, на основании соотношения (6.15), (6.18) и (6,54), А!1! = — ео + 1 р рГе~ — = (ее1 =„' ! р ! ! $ ! (1+ ее) яа.(~1," сок ам+2еа„!ас !е соа 0ге— (1+е~) (1+ее) (1+е ) (1+е ) Выберем теперь в качестве "начальных волокон $,, Ц координатные ($)а = пиеа н Д)а=азер, ДлЯ них соайар=О и отличны от нУли только 1'„= 1 и ф = 1; из (6.56) получаем соа йа)3— 2е 2е а (6.5?) (1+ есс) (1+ с(д (г аааеза Итак, компоненты тензора деформации е а со смешанными индексами пропорциональны косинусам углов между волокнами (р)а, (Р)р, которые до деформации были ортогональными координатными.
В теории деформаций представляют интерес еще углы поворота различных волокон. Единичный вектор р/(р! равен 74 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 1га М, где 1' — направляю1цис косинусы волокна й до деформации (е= Д|1ге,). Следовательно, направляющие косинусы этого волокна после деформации равны А' 11 1+еа' (6.58) Дсфоймация среды называется малой порядка 8~1, если для любых ~',1 в л1обой точке х в момент 1 ! е;;! <т) н величиной пг можно пренебречь сравнительно с г1.
В таком слу- чае нз (6.52), (6.57) находим У а Еаа = Еа, 2еаа = СОЗ Оаа '=- З!П ( — Оааг) =', Оаа ° 12 г' 2 Таким образом, при малых деформациях компонента еаа равна относительному удлинению координатного волокна (5)„, а удвоенная компонента 2еаа равна уменьшению прямого угла между (а)а и (в)». Теперь все элементы деформации окрестности любой начальной физической точки х в момент 1 выражены через аффипор А и метрический тензор д илн тенэор деформации е. Для дальнейшего необходимо получить выражения тспзоров А, д, е либо через текущий радиус вектор х(х, 1), либо через вектор перемещения и(х, 1) =х — х, так как этн фущ<ции при движении среды являются искомыми н для них будут составляться разрешающие уравнения. Для сокращения письма частные производные какой-нибудь функции е(х, 1) по координатам х' будем обозначать — ЕБД1, ~ЕН, дг д'г (6.60) дх~ ' дх'дхт Векторы х н и=х — х в этом параграфе мы рассматриваем только в декартовых ортогональных координатах (в неподвижном В частности, для координатного волокна (Е)а -= чае имеем 1а = 1, 1а = О и потому л' (6.59) 1+е„(г Лссдор!!ацак окрсстности точки со.чоачиоа' средь! д) репере е;) н потому можем пе различать ко- и коптравариаптных пх составляющих; т.
е. х! =: х', и! =- и'. (6.61) по индексам (с, 1, й, т, и=1, 2, 3), повторяющимся как сверху, так н снизу сохраняем правило суммирования и обозначаем греческпчсп буквамн (а, 6, у=!, 2, 3) индексы, по которым суммирование пс производится. 1(оппоненты аффипора А согласно (6.7) имеют выражения А! =х,ч=б с+и рп (6.62) 1(оч!попепты метрического тепзора д согласно (6.15) 2е„,=- д,! — бс, = и, ! —,'-ичт! —,'-и„ди д. (6.64) Определитель А матрицы аффинора А имеет выражение Х!,! Х32 Х!3 А= (6.65) Х2 ! Х22 Х2,3 ХЗ,! ХЗ,2 ХЗ.З и представляет собой кубический и ногочлсн относительно произ- водных хь „ тогда ка к Л"= (д„! = (х сх д~ мпогочлен шестой степени.