Главная » Просмотр файлов » А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды

А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 12

Файл №1119119 А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды) 12 страницаА.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119) страница 122019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Эти тензоры представляются матрицами а-)а;(, -(~н!!, причем пм соответствуют симметричные квадратичные формы (6.14), (6.19), а значит, и центральные поверхности второго по- рядка 2Фи — — й пХсХ~ = сопз1, 2Ф, = е,;Х'Х1 = сопя(, (6. 34) где Х(Х') — произвольного масштаба вектор, отложенный вдоль волокна $ в точке х. Поскольку йии = (э )', то поверхность 2 Фе —— =сопз1 — эллипсоид; поверхность 2 Ф, =сопз1 — центральная поверхность и, значит, это эллипсоид нли однополостный и двухполостс гый гиперболоид.

Главные оси этих поверхностей совпадают, главные значения тензоров д и е отличаются на константу. Действительно, главное направление определяется вектором Х, колинсарпым градиенту к поверхности. Для 2 Фи — — сопз1 имсем дгаб Ф, е е,.'ш д'„Х'е;= йкХ = у„боХ1э;, откуда для компонент вектора Х и коэффициента д, получаем однородную систему уравнений' (дп — й'„бн) Х1 = О (с = 1, 2, 3). Для поверхности 2Ф, = сопз1 аналогично получаем йгаб Фе = епХ~е; = е„Х =- елбпХ1ес, ( „— „6,,)Х =О, (6.35) Это векторное уравнение определяет и единичную нормаль ч и раз- мер косой площадки с(~ч, в которую преобразуется площадка б~ц'.

Умножая (6.32) на ээ и используя (6.23) и (6.27), найдем выражение величины деформированной площадки с(;~.а через с(2": 70 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖБНИЯ 11вм. или на основании (6.18) (вп — (2Б„+ 1) дц) Х1 = О. Определители систем (6.35), (6.36) равны нулю: ( дп — н„б„! = — О, ! д'и — (2Е„+ 1) б„! = О, (6.36) (6.37) откуда находятся одинаковые значения параметров и = 2еа+ 1. (6.38) Значит, уравнения (6,35), (6.36) совпадают и определяют одни и те жс главные векторы Х.

Развертывая определитель )д;; — п„бн) но степеням 9„, из (6.37) получим вековое уравнение: — 9„+ 7„д„-7„д„+ 7„= 0. (6.39) Оно имеет три действительных корня Ати я„п„причем 7а1 = в~1бо = Дм Ыаа -!- Ыаа =-' Йт+ Ыа+ Ка 2 ' ' ' 2 (6.40) а р*=а„К1 =-„')", аЛ', аБИ а р' — Р = 2ец$%1 = 2 а), В;Ца. (6.41) Величины дь е,, связанные соотношениями (6.38) В,. = — (в',.— 1), (1= 1, 2, 3), 1 (6.42) = Ытй'а ЙЫа .т. Хай| 1аа = ~ ап ~ =- а,а.аа — -- а, Три главных вектора Хь Х,, Ха с единичными векторами в,а (1=1, 2, 3), определяемыми тремя системами уравнений (6.35) при д,=д,, п„=да, д,=да, взаимно ортогональны, и потому путем преобразования поворота системы координат квадратичные формы (6.14), (6.19) можно преобразовать к главным осям тензоров д,.е.

Обозначая ааа (1=1, 2, 3) — координаты волокна КЯт) в главном ортонормированном репере вм, получим канонические представления форм (6.14), (6.19): 71 Деформация окрестности тонки силосной среды называются глазными компонентами тензоров д и ь, и опи, конечно, пе зависят от выбора системы координат к' пространства наблюдателя, т. е. инвариантны относительно ортогональных преобразований базиса ео Из (6,39), (6.40) следует, что 7зь 7,м 7зз, и соответственно ч1 = езз езз езз = ес+ аз+ аз, 1 7сз = — (! — е е .) = езез + езез †' езе, 2 (6.43) 7а = [е„[ = ер,ез, дгп = РЛ' =- РздУз, (6.46) где Рз, р — плотности частицы х в моменты 1, и 1, в лагранжсвых координатах принимает внд РУ'6' =Рз. Физический смысл компонент тензора деформации е выясняется из соотношений (6.7), (6.13) и (6,19).

Относительным удлинением любого начального волокна называется величина (6.47) также являются инвариантами таких преобразований базиса еь Объем начального прямоугольного координатного параллеле- пипеда, построенного на векторах (Е)ь ($)з, ($)з, равен с(Уз = (й)а [($)а (в)у[ =- аЯа$теа [еаеу[ = $'Яз = с(х'дхЖхз. (6.44) Объем этого же параллелепипеда, после деформации (т. е.

в мо- мент 1) ставшего косоугольным, образуется векторами(о)а = зава, <и=!, 2, 3) и, следовательно, равен с(У = (Р)а [(Р)а (Р)у[ =' с(Узза [разу[, изи, на основании (6.21), (6,23) — с(~ о [1'К. Г!о свойству аффинного преобразования это равенство верно не только для деформации координатного параллелепипеда, но и для ,побого мало~о объема, состоящего на всем интервале времени 1 — 1з из одних и тех жс физических частиц. Масса частиц в объеме, изменяющемся со временем по закону (6.45), при фиксированных лагранжевых координатах х остается неизменной, и потому закон сохранения массы КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 1га ы, (6.48) Обозначим направляющие косинусы вектора-волокна е через — (3=1,2,3) ~$1 и перепишем (6.19) в виде,' Р— 1 ( 2, 1У1! ~„1Ц~ Г (6,49) (6.50) учитывая, что 3 11!бп = Ч~' 1Н =1.

(6.51) 3=! Пусть волокно я совпадает с координатным (е)а = еаеа, так что !а= 1, (а = 1" = 0; обозначим его удлинение еа и найдем из (6.50) Р /$ = 1 ~ 2еаа = аааа~ после чего из (6.48) еа = 3!/ Киа 1 = )' 1 + 2ааа 1 (о = 1, 2, 3) 1! ! Ь! ' !13! (6.53) Косинус угла 0„ между ними равен: 3 Ы !3! !!Ь! (6.54) Эти векторы-волокна после деформации согласно (6.13) преобра- зуются в векторы-волокна р,=А$3, с компонентами р,' = АЯ!3 Р! = А!е! !' !! (6.52) Следовательно, диагональные элементы матриц тепзоров а, а однозначно определяют относительные удлинения координатных волокон (й)а. Рассмотрим теперь два волокна Е! и Е3 с направляющими ко- синусами Лефоряаяия окрестности точки сплошной среди й б! и направляющими косинусами с А = =; (е = =, 1 = 1, 2, 3. р! ; р2 !Рс! !ре! ' Е!о нз (6.48) (р,~, !ре~ выражаются через относительные удлинения этих волокон еь ее формулами !р,(=(1+е)Яс), (р,! =(1+ ее)!5е!, и потому с учетом (6.49) получим А'Я А~ 11( и ч (1+ е,) (6.55) причем 1', получается нз (6.55) заменой индекса 1 на 2.

Косинус угла Оге ь1ежду деформированными волокнами рь ре будет равен с 0„=~,йе=~~),, нлн, на основании соотношения (6.15), (6.18) и (6,54), А!1! = — ео + 1 р рГе~ — = (ее1 =„' ! р ! ! $ ! (1+ ее) яа.(~1," сок ам+2еа„!ас !е соа 0ге— (1+е~) (1+ее) (1+е ) (1+е ) Выберем теперь в качестве "начальных волокон $,, Ц координатные ($)а = пиеа н Д)а=азер, ДлЯ них соайар=О и отличны от нУли только 1'„= 1 и ф = 1; из (6.56) получаем соа йа)3— 2е 2е а (6.5?) (1+ есс) (1+ с(д (г аааеза Итак, компоненты тензора деформации е а со смешанными индексами пропорциональны косинусам углов между волокнами (р)а, (Р)р, которые до деформации были ортогональными координатными.

В теории деформаций представляют интерес еще углы поворота различных волокон. Единичный вектор р/(р! равен 74 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 1га М, где 1' — направляю1цис косинусы волокна й до деформации (е= Д|1ге,). Следовательно, направляющие косинусы этого волокна после деформации равны А' 11 1+еа' (6.58) Дсфоймация среды называется малой порядка 8~1, если для любых ~',1 в л1обой точке х в момент 1 ! е;;! <т) н величиной пг можно пренебречь сравнительно с г1.

В таком слу- чае нз (6.52), (6.57) находим У а Еаа = Еа, 2еаа = СОЗ Оаа '=- З!П ( — Оааг) =', Оаа ° 12 г' 2 Таким образом, при малых деформациях компонента еаа равна относительному удлинению координатного волокна (5)„, а удвоенная компонента 2еаа равна уменьшению прямого угла между (а)а и (в)». Теперь все элементы деформации окрестности любой начальной физической точки х в момент 1 выражены через аффипор А и метрический тензор д илн тенэор деформации е. Для дальнейшего необходимо получить выражения тспзоров А, д, е либо через текущий радиус вектор х(х, 1), либо через вектор перемещения и(х, 1) =х — х, так как этн фущ<ции при движении среды являются искомыми н для них будут составляться разрешающие уравнения. Для сокращения письма частные производные какой-нибудь функции е(х, 1) по координатам х' будем обозначать — ЕБД1, ~ЕН, дг д'г (6.60) дх~ ' дх'дхт Векторы х н и=х — х в этом параграфе мы рассматриваем только в декартовых ортогональных координатах (в неподвижном В частности, для координатного волокна (Е)а -= чае имеем 1а = 1, 1а = О и потому л' (6.59) 1+е„(г Лссдор!!ацак окрсстности точки со.чоачиоа' средь! д) репере е;) н потому можем пе различать ко- и коптравариаптных пх составляющих; т.

е. х! =: х', и! =- и'. (6.61) по индексам (с, 1, й, т, и=1, 2, 3), повторяющимся как сверху, так н снизу сохраняем правило суммирования и обозначаем греческпчсп буквамн (а, 6, у=!, 2, 3) индексы, по которым суммирование пс производится. 1(оппоненты аффипора А согласно (6.7) имеют выражения А! =х,ч=б с+и рп (6.62) 1(оч!попепты метрического тепзора д согласно (6.15) 2е„,=- д,! — бс, = и, ! —,'-ичт! —,'-и„ди д. (6.64) Определитель А матрицы аффинора А имеет выражение Х!,! Х32 Х!3 А= (6.65) Х2 ! Х22 Х2,3 ХЗ,! ХЗ,2 ХЗ.З и представляет собой кубический и ногочлсн относительно произ- водных хь „ тогда ка к Л"= (д„! = (х сх д~ мпогочлен шестой степени.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее