А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Возводя (6.65) в квадрат, получим со- отношение Аз — ( х ! ! ° ( х! ! ~ = !!Хса,сха!,с! = йс (6.66) которос и используется в дальнейшем. Контравариантные компоненты метрического тепзора дс! и базис 3! находятся через определитель д и базис з! по формулам а-!. д !Н э. эту д!як ! с! дкы Уравнения совместности деформаций.
Шесть компонент тснзоРа деформаций е;, или метрического тспзора дсч=бст+2е;; в окрестности любой фиксированной физической точки х среды могут как угодно независимо изменяться с течением времени, т. с. зада- (6.67) д,! — — хкхд = А",А; .=- бс! + и!и+ ис,! -~- и„диа,; (6.63) н, следовательно, компоненты тензора деформаций 76 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ сг .ы. ние шести произвольных функций времени еп(х, 1) возможно и деформация окрестности точки при этом будет аффинной. Но если бы мы задали для всех точек среды хотя бы в какой-нибудь момент времени 1 компоненты ен или ди как произвольные непрерывно дифференцируемые функции координат, т.
е. произвольно задали бы поле тензора деформации, то деформации оказались бы несовместными, т. е, между соседними частями образовались бы щели или различные физическне объемы заняли бы одну и ту же область пространства. Такая возможность исключена благодаря свойству закона движения х=х(х, 1) =х+п(х, 1), а именно непрерывной взаимно однозначной зависимости между х и х для любо|о 1 и существованию производных. Компоненты тензора еи (или дн) получаются путем дифференцирования вектора х(х, '1), т.
е. шесть скалярных функций еи выражены через три иь Значит между ен должны существовать соотношения, полная система которых представляет уравнения совместности деформаций. По существу оии должны быть следствием независимости порядка дифференцирования вектора х типа э;; = э, ь так как нн = э;эь а векторы э; выражаются через один векторьэг=хн. Производные векторов репера э; по координатам могут быть также разложены по векторам базис э; нли э': — = эгл = Гп э, ш Гн,еээ, дн - А (6.68) дхт где вследствие симметрии эь; = эеэ = хул) Г,',= Г,',= Г„зй', 1 П.8 Гпл ГПЕАР А (6.69) так называемые символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода; они сим- метричны по первым двум нижним индексам и могут быть опреде- лены по заданному метрическому тензору дн(х, 1).
В самом деле, дифференцируя равенство дн — — э; эь имеем д„,, = Г;,, + Ггеп, (6.70) аналогично д„,;=Г„,+Г„ь д..з = Г..,. + Гм;, откуда 1 Гп А= (йээ~ амз — д'АА) = емл+ емд — енл (6 71) Гнл и Г,"~ не являются тензорами, что следует нз (6.68). Леформакин окрестности точки оплошной среды Математически уравнения совместности деформаций получаются как условия пнтегрнруемости системы дифференциальных уравнений (6.68) относительно эь если заданы функции Гс~~(х).
Дифференцируя (6.68) по х', имеем дев / дГ;; ! дхтдхс [, дхс (6.72) Из (6.72) видно, что 1 дг~п )эгн = 1 — + Го Гл~ / дх ° ГИ1 где значок Я означает альтернирование выражения, взятого в скобках, по индексам 1, 1, т. е. дГ,", „~Гс, Йуи = — + ГпГнг — —. — Гсс Гнь дхс дхт (6.74) С помощью формул (6.70), (6.74) введем и лены = — лс;и йые = ( ' — Гп Гнс е дх~ ' стр1' (6.75) Отсюда очевидно, что справедливы формулы азин == гичк = 'хны = асан (6.75') КныжО пРи 1=!. Поэтому можно доказать, что среди всех величин лезин имеется только шесть независимых.
Для этого следует обратить внимание на порядок расположения четырех индексов выражения )сятн и учесть, что оно согласно (6.75) равно альтернации выражеиия, стоящего в скобках (6.75), по первым двум индексам. Поэтому тождественно не равны нулю согласно (6.75') только компоненты Л „ро, в которых ни два первых (нт, тс), ни два последних (р, д) не равны между собой. Но среди четырех индексов, принимающих каждый значения (1, 2, 3), два равны между собой. Следователь- Обозначим равную нулю прн э, = хэ разность эьн — эсн следующим образом: — — ~ Д~дэ,„. (6.73) дхддх~ дх~дхт 78 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 1г., Аь ио, только следующие две группы последовательио расположенных иидексов арра и арру, где аФ(1чеучьа принимают значения (1, 2, 3) и могут дать исзависимыс и иетождествеиио равные нулю выражения (6,75).
Псрвая группа дает комбинации 1221, 2332, 3113, 1331, 3223, 21!2, причем либо три первых, либо три последних приводят к Независимым компонентам, например Л!ззз, Йзззз, Йз!!з', вторая группа арру из шести возможных числовых комбинаций 1223, 2331, 3112, 1332, 3221, 21!3 имеет либо первые, либо последние три независимые, дазощие например компоненты зг!ззз, !Аззз!, гГзоз.
Условия совместности деформаций, являющиеся тождествами, если метрический тепзор й или тензор деформации В выражены через вектор х(х, !) или вектор и(х, !), имеют вид дз дх" дг„дт дГ Вдт ! т )~да = дхР— 1 РаГВ ~А — + Гва? арап = О, дха ачьйчеу=да и принимают значения 1, 2, 3. й 7. МАЛЫЕ И бЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ Деформацию сплошной среды в эйлеровом пространстве х за бесконечно малое время й! в любой фиксированный момент Г=тз можно рассматривать с точки зрения Лагранжа, если поле вектора скорости о(х, !) задано и если в момент времени К=!А+с(г определить перемещение и'(х, !') = о(х,(')йт (7.1) и координаты частиц х' = х + и'(х, з').
(7.2) В пределах интервала д! (при данном г) х!, хз, хз будет лагранжевой ортогональной системой координат в репере еь Тензор бесконечно малых деформаций среды за время йг мы обозначим о!!йз = В,', ' причем ои называется тензором скоростей деформа!(ий среды в эйлеровом пространстве. в 7! Малые и бесконечно малые деформации Тензор деформаций е;; находится по формулам (6.64) путем замены х-ых', х- х, ен- е;ь и- и', 2е;, = 2о,; (х, 1) йг' = и;л + и»д + и ли„д, (7.3) причем нелинейные слагаемые в (7.3) суть бесконечно малые высшего порядка.
Метрический теизор и,', находится из (6.63) и равен й,'. = 6и + 2е,.'! (7. 4) т. е. при й! — »О он равен бп. Внося в (7.3) выражения и' нз (7.1), деля на й! и отбрасывая бесконечно малые величины, получим выражения компонент тепзора скоростей деформаций в эйлеровом пространстве (7.5) С другой стороны, мы можем рассматривать малые относительные персмсшения точек среды, т. с. такис, что в любой момент времени 1) !а (1о — начальный момент) перемещение точек и(х» !) =х — х будет обладать свойством (7.6) для всех й ) и в любой точке х. В этом случае можно исключить переносное движение среды (связывая систему координат х с какими-нибудь физическими волокнами и плоскостью в точке х=0); из (7.6) получим, что в подвижной системе сам вектор перемещения и будет малым порядка 6 сравнительно с размерами области, занятой средой.
Разница между этим н рассмотренным выше спу- да, до, чаем состоит в том, что в случае (7.1) — = — й( является дх! де~ бесконечно малой величиной. й(ы рассмотрим случай малых поряд- И ка 6 перемещений, затем автоматически распространим все результаты на бесконечно малые деформации. Неточность всех формул теории малых деформаций будет порядка 6 сравнительно с единицей. Соответ- ствующне формулы в случае бесконечно малых деформаций будут точнымп.
Вектор относительного перемещения 6 точки У относительно М в момент 1, очевидно, равен (рнс. 7.1) Рис. 7.1 80 1ГА. ПЬ кинемАтикА и ВнутРенние нАпРяжения Ь=р — $= х(х-,'-$,1) — х(х,1) — $= $ — Е, дх или согласно (6.6), (6.7) 6 = — $; — $ = ~ба + — ) Це, — $,е; — — — $1ео дх! (7.7) дх1 ' ' ~, дх1 ~' ' Пренебрегая малыми порядка 6' сравнительно с 8, из (6.63), (6.64) получим для компонент метрического тензора д;; н тензора деформаций Вн выражения (7.9) (1 + еа) = 1 + 2еаа~ еа = асса Ыи — — бм+ 2есп еи = ен =.—.~ — + — 1) (~', 1=1, 2, 3). (7.8) 1 / дгч диу~ 2'~ дх1 дх~ ) Соотношения (7.8) представляют формулы Кои2и, выражающие тензор малой деформации через вектор перемещения и.
Соответствующие выражения компонент тензора скоростей деформации ои в эйлеровом пространстве, как видим, получаются из (7.8) простой заменой и на о и х на х н приводят к формулам Стокса: 1 У ~30;, дс/ ои = он = — — +— 2 (~ дх1 ' дх~ )' Малые и бесконечно малые деформации являются аддитивными в том смысле, что если дано два поля перемещения и'(х, 1) и и2(х, 1) с соответствующими деформациямн еп, Вп, вычисляе- 1 2 мыми по формулам Коши (7.8), то полю перемещения и=и'+и' соответствуют деформации есь равные сумме соответствующих деформаций: и (х, 1) = и'(х, 1) + и2 (х, 1), еи = е1+ ези. (7.10) Аналогичное верно для двух полей скоростей о'(х, 1), о2(х, 1) в эйлеровом пространстве прн любых деформациях на основании формул Стокса (7.9): о(х, 1) = от(х, 1) )- от(х, 8), он — — о~; + ой. (7.11) На основании формул (6.52) и (6.57), как уже отмечалось в $ 6, можно установить кинематнческий смысл компонент тензора малых деформаций.
Из формулы (6.52) находим с рассматриваемой точностью 81 Милые и бесконечно малые деформации Косинус угла 9аа между координатными волокнами а и (1, равный нулю до деформации, после деформации согласно формуле (6.57) равен соз 8яз = 2еяа (1 еая езз) = 2еаз» т. е. 8аа = З1П ( ' — 9аа) =' 2аар. =(1 — е )6; А' дис а- — ч-1 е ая ня я а (р)я = !(р)а!алисе = $„~6;„-!- — „' ~ея (а = 1, 2,3). (7.12) Разложение тензора относительного перемещения на тензор чистой деформации и тензор поворота Вводя тензор со, на основании (7.8) можно рассмотреть тождество ди 1 / диа диа»» — = з»з + сон», соак = сова = ~ — — —, (7.13) причем щ называется тензором поворота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
