А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Эта система может быть криволипейиой, неподвижной в пространстве наблюдателя или движущейся и деформирующейся лаграпжевой, может быть вообще как угодно движущейся п дсформпрующейся во времеви. По если пе задать метрического тспзора и базиса координатной системы, а также вектора Р"', то пз (10.1) нельзя получить дифферсицпальпых урависпий движения. Для определенности рассмотрим уравнение двпжеипя среды и базисе э; лаграпжсвой системы координат (х') с метрическим теизором йы и символами Кристофсля Гн. Вектор силы Р л (ю в исм имеет выражение [ю Р =Ут =5'Ъэ;, т,= тэо г (10.2) Основы акспомагяки МСС изложеиы в й 4, причем устаиовлспо, что иропзвольиая часть среды, заключенная в объеме У и ограиичеииая поверхностью Х в любое мгновение 1 находится в динамическом равновесии в смысле Даламбера: сумма всех массовых сил (включая силы иисрцип) и сил, действ)1ощих па поверхиости ', равна пулю.
Если плотность среды р, массовая сила Р и ускореипс каждой частицы ю в момент г известиы, то объемная сила, действующая па массу в обьеме Л~, равна р(Р— ю)дУ; эта сила, проиитегрироваипая по объему 1г, в сумме с проиитсгрированной по поверхности Х силой Рсмс(", действующей па площадку ггпу с нормалью т иа Х, равна нулю. Зпачпт, при составлении уравнения двпигения среду в объеме У можаи считать «заморожеииойлч т. е. считать ее абсолютио твердым телом, па вилтре1пплй едииачиый объем которого действует объемная сила р(Р— ю), а иа поверхности — распределсииый вектор силы с плотностью Роп иа едипицу площади. Поэтому в векторной форме уравнение двиэхения массьл спобого объема У с соответствующей поверхиостыо Е имеет вид е тд1 Уравнения движения По теореме Грина — Остроградского ) 5ет, Ж= ~зт75Ю, (10.3) п потому из (10.1) получаем для любого объема У, взятого внутри области движения среды, ~ [р (Р— в) + Ч,5'1 е(е' = О, р (10.4) и, следовательно, получаем дифференциальное уравнение движе- ния в векторной форме р(и — Р) .= ~;5е = — +5" Г,';.
дх~ (10.6) Отметим справедливую в любой криволинейной системе координат формулу Вейла (д= ~д;,~, д= ~дп)...,): на основании которой коварпантная производная вектора 5' (и любого вектора) записывается в виде , 5; ~ д ((,г у) у 1 д ($гд я~)... (10.7) 1' я дха р д ' дд' Таким образом, уравнение движения имеет внд р(и — Р) = = (~/ и 5 )=Ч 5Я'=бт5, (10.8) сохраняюгцийся в л|обой криволинейной системе координат, если определитель д, производная ~р и вектор 5'н взяты в этой системе. Выражение, стояптее в правой части уравнения (10,8) пе зависит от системы координат п представляет вектор, называемый дивергенцией тепзора напряжений 5.
Специфика лагранжевой криволинейной системы координат (х') состоит в том, |то прн 1=(а опа является декартовой, т. е. прн (=йь и„=бп, д= ~д;;~ = 1 и закон сохранения массы имеет внд р 1~ Ы = Рв (и 6, 7). В этой системе координат уравнение движения в вскториои форме принимает вид ра(ю — Р) =, (й' к 5 ), 120 ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МСС [Гл. ЫК а в репере еи в котором — — д'х длх1 и=х=— Е1, д~"' дп Р= Х'е, 5~л 5тл улл дх 5ел 11 дх" (10А0) уравнения движения имеют вид р (хУ Х ) ((/д 5,,1А',) дхл' (10.
11) дх' 1 ди1 х = и, А'; -= — ', =. 6,' т —,, дхЗ . дхт ' х=х+и, (10.12) В зйлеровом пространстве в декартовых координатах (х') метрический тензор оавен би, символы Кристофеля равны йулю, тензор напряжений 5 определяется вектором истинных напряжений ол=оие;; заменяя в. (10.8) д-л1, 51- О', х"'лх'" и ускорение в до(х, 1) иа ', получим д1 хдо — 1 х до до — х да1 р( — — Р) =-- р( — + о' —.— Р) = —., (10.13) 'А У ~ д1 дх1 ) дх1 ' ттх1 дхт (10.14) Если уравнения (10.8) и (10.13) написаны для одной и той же мате- риальной точки в различных системах координат, то вектор п1К5 имеет одинаковые значения, т.
е. имеем: Д1ЧЗ= д". =Ч,51. дх' (10.15) В ортогопальных декартовых проекциях уравнение (10.13) дает три уравнения движения: ( до' до1 Х до1д р(' — + о1 — ) = —. + рХ1. д1 дхт ) дхт (10.16) причем и(х,1) — вектор перемещения. Эти уравнения связывают между собой закон движения х=х(х, 1) и тензор напряжений, выраженный его компонентами 511=511, так как силы Х1(х, 1) считаются заданными, а определитель и выражается через х: 12! Уривяени в движения Компоненты ускорения в репере д; даны формулой (9.58), компо- ненты Р обозначим Р'=Рд', компоненты вектора напряжения Я согласно (9.!5) определяются выражением Я' =Я яд; произ- водная 7~А = чес! чл~ (!0.18) 17.а =-,!.
+ а"у";. + а"'у,".. Умножая (10.17) на д', получим уравнения рир р! д1, ь!р рг ) = р дп+РРг (10.19) где рч(д,!) — контравариантныс компоненты вектора скорости и (х, !) = Г(д, !) = )пд;. Следствием уравнения движения является теорема о кинетической энергии, называемая иногда законом сохранения механической энергии. Умпожим, например, дифференциальное уравнение движения частицы (10.17) на элементарное перемещение би=об! и проинтегрируем результат по объему !г среды, ограниченному поверхностью Х и состоящему из одних и тех же частиц в различные моменты времени ~ (р (Р— ш) об! + (уф) об!1 Л' = О. (10 20) Величина рРоб(=рРбй представляет работу массовых внешних сил в единице объема. Преобразуем остальные слагаемые соотношения (10.20): риби =- р ой = — рб(ое), ш 2 (ЧФ) о = 1!; (Ж') — Ф!7Р, (10.21) т7р = !7; (У,,Ф) =- э!д,$'! В произвольных криволинейных координатах д', связанных с х' заданными соотношениями (9.! ) и, значит, неподвижных в эйлеровом пространстве, уравнение движения получается из (!0.8) заменой э; — оь д;;нам, д-+д=)дц(, !'и" — «-ф, 8'-в-Ф, в результате чего получим р(' ! ( — Р) = — (~'д д") =-1 1~ 1~ .
(10.17) дд~н 122 ФИЗНЧГьСКИЕ ЗАКС!!Ы И ПОСТАНОВКА ЗЛДАЧ МСС 1ГЬ. гм, гь! ььььо = Я з ьз т7!1 1 = Я Ь ьь!ь1 ! = Я ту!1 1, Последнее выражение упрощается, учитывая симметрию тепзора напряжений Яь!. 2 1, 1 Так как компоненты (ьь! тензора скорости деформации к'! Рц= — ФьУ, .
У!У!) 1 (10.22) симметричны, а компоненты тепзора вихря Фц -— — — Фп = — (!рьян'! — ььт,$ь,) 1 (10.23) аптисимметрпчны, то 1,1ПФьь=— О, Скаляр, одинаковый во всех системах координат (см. 5 9): Я =Рг1т7.У = ТТ, = о!!о, — 52! — ""' ! ! ь! и' (10.24) представляет мощность (работу в единицу времени) напряжений в единице объема среды. Следовательно, на основании теоремы Остроградского — Грина имеем *) (т7ЯоЬЫ)г=- ~ ~ь(оЯ')ЬЫМ вЂ” ~й1(г(1'= р = ( ф!),обй(~ — ~ )~Ь1 )У, причем Яь1.ь= Р", (9.17) — вектор внешнего напряжения на поверхности 2; и потому Оь2ьиЬГ=Р!'!Ьи есть работа внешней силы, приложенной па едннпце площади поверхности, на перемещении Ьи. Из (10.20) теперь получаем ' — ьььзььь ь1льььь - (ьььььь -.
~Р кьььь. ьььььь 2 Учитывая, что для фиксированной в объеме )ь массы рд)!=рог()ль, а область изменениЯ РооьУь=гьйьо пРи движении сРеды остаетсЯ неизменной, знак вариации (дифференциала по времени) в первом интеграле можно вынести , и) 123 Уравнения движении 1 р6(ои)Л' =- ( — 1 6( ')АМ вЂ” — 6 ( 1 овйМи =- 6 ( — 'Л'". ~ 1 ! ~ в ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ в о ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ и ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ с ~ 2 2 хи 'зп У' Обозна им кинетическую энергию среды в области й (т.
е, массы Мв) через д " ~ — оо'Л ,1 2 т (10.26) и работу внешних сил за время й через 6'А = ) рР о 61 ~Л ' -,'- ( Ргз й6( сП. (10.28) Из соотношения (10.25) имеем теорему: сумма приращения кинетической энергии и работы напряжений фиксированной массы среды за время М равна работе внешних спл на соответствующих перемещениях 6К вЂ”; 6'))т =- 6'А.
(10.29) Штрихи у выражений 6'В', 6'А означают, что эти выражения не являются дифференциалами какпх-то функций, хотя области интегрирования выражений (10.27), (10.28) в лаграпжевых координатах являются настоянными, например, 6'В' =- ~ — 566еи НМи = — ~ — '' 5п бе,, с(1'в. м. то Только в том случае, если существует потенциал напряжений Ф, зависящий только от деформаций е;„так что — 6т.=- — бе;;, Ва =. р —, дГ двц '~ дв,у ' величина 6')Р' будет дифференциалом по времени от %'(1), называемой потенциальной энергией тела: 6'(й'= И', В'=- ) Фс(М„= 1 рФЛ'.
(10,32) мв (10.31) работу спенэора напряжений за время 6( с учетом того, что оич бс = дв; = — — 6с = 6». через дг 6 )Р )'Р 61 с()г .. )'дгт)г 6( с11г . 1' У бе н)г (10.27) р р 124 ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МСС ~гл. ГП. Если при этом и внешние силы (Р, Рел) имеют потенциал, так что б'А=ЬА, из (10,29) получается интеграл энергии: К+В" — А = сопз1 (10.33) Иак увидим позднее, потенциал Ф(еи) и интеграл энергии (10.33) могут существовать при некоторых процессах движения идеально хпругих твердых тел и идеальных сжимаемых жидкостей и газов. $11.
УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И БАЛАНСА ЭНТРОПИИ ОПЖ = баи. (11,1) Предположение о том, что тензор деформаций еи всегда относится к внешннн Параметрам состояния, вообще говоря, ошибочно. Эгот тензор в каждый предшествующий момент (А<1'<1 был различен и, значит, были различными граничные условия, определяющие средние по ансамблю, т. е. макроскопические функции состояния. Например, внутренняя энергия и энтропия единицы объема, определяемые (5 2, 3) через функцию Гамильтона системы Н и функцию 1 распределения системы Як по ансамблю ри =- (Н) = — ~ Н~дрЩ г (11.2) рз =- — й (1п у) ~ — й ~ 1п ~ йр гй(, зависят от потенциала взаимодействия частиц К Потенциал (У не может быть задан независимо от еп и удовлетворяет некоторым уравнениям физики при граничных условиях, включающих истинную границу системы 5АЧ т. е, значения еи.
Следовательно, гамиль- Физическая частица постоянной массы рйр=гпк рассматривается как замкнутая система 5;- из постоянного числа М частиц. В течение макроскопическп малого времени Ж эта система в пространстве совершает переносное движение с поступательной скоростью о и вращением 2ы=го1о,,которые с точностью до малых порядка г(1 постоянны и потому могут быть исключены из рассмотрения внутреннего состояния системы. Выбор формы поверхности частицы в момент Го безразличен; это может быть кубик с ребром, равным единице, ставший в момент 1 косоугольным параллелепипедом, деформации которого за время лт, понимаемые как изменения положений граяиц объема системы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
