А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Но при резонансе возможны очень большие напряже<имя в (П), и, значит, сечение плотины должно быть подобрано так, чтобы резонанс был исключен для любой возможной скорости ветра )гв. Но возможно, что резонанс возник из-за приближенности постановки задачи (независимого от колебаний плотины определения давления на ОА0а)? Опыт показывает, что в задаче о плотине это не так (ее деформации очень малы сравнительно с перемещениями воды в области 1). Однако в других задачах, например в задаче фляттера (колебаний крыла самолета в потоке воздуха), рассмотренное приближение недостаточно, н мы поясним необходимые изменения граничных условий (а), (в) на примере плотины. Граница ОА0с колеблется и ее уравнение 1(х,з, 1) заранее неизвестно, нормаль и в точке (х,з) на ней изменяется: на 1=0, — ягад Г ~ ягад 7! (г) При этом значении т условие непроницаемости жидкости в стенку записывается в виде ди от= — т, дг на 1(х, з, 1), (д) Рис.
13.2 где о — скорость жидкости, и — перемещение плотины. Нормальное давление на стенку (П) я на жидкость (1) равны и противоположны, трения воды по стенке нет (жидкость идеальная) и потому к условию (д) добавляется динамическое условие на 1'=- О, (Р<'))и = — (Р<чЬ = — р(х, з, 1)т. (е) Как видим, граничные условия на РГичиМ,<еде )=У стенке ОА стали смешанными, т. е — — — сад<э ОА=2;ии; СОХраНяя ОСтаЛЬНЫЕ Граничные условия (на ВВ<СО в П на д ОХ и 0в0<0я в 1) прежними, мы получим полную систему граничных условий для совместной задачи движения тел (1) и (П) и ее решение д существует, причем будет найдена Ф<л;г =Р неизвестная граница 1(х, з, 1) =О.
142 ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МСС !Гя. 111, Теперь перечислим основные механические граничные условия В задачах МСС в предположении, что граница области тела Х задана уравнением Ф(х,!) =0 и единичная нормаль т к ией известна (рис. !3.2): )1(х, 1) ев )1 = ~ иа Ф(х, М) = О. (13.1) ! егад Ф ~ Поверхность Ф=О представим состоя)ций из трех частей: Х=Х,.+ +~,+~Те Кинематическиг условия на г., в зависимости от свойств среды могут сводиться либо к заданию полного вектора скорости (или вектора перемещения 11), например иа неподвпжиой поверхности Ф(х) =0 — условие полного сцепления (прилипаиия): иа Ф(х) = О„п = О (или и = 0); (13.2) либо к заданию Нормальной составляющей вектора скорости пли перемещения, например иа Ф(х)= О, тп=-0 (13.3) В последнем случае (!3.3) называется условиел) непроницаемости.
Условие испроиипаемости па движущейся поверхности Ф(х, !) иаходится так: в момент 1+И частица среды с коордииагой х в момент ! будет иметь координату х+оЖ; если оиа была па поверхиости, т. е. Ф(х, !), то и остапется иа ией„т. е. Ф(х+осй, !+Ж! =0; следовательно, после вычитаиия и деления па Ж получим =о+ =-О, (13.4) дх д1 где о — вектор скорости среды. Но дФ = = игаб Ф дх (13.5) и потому иа осповаиии (13.1) получаем ! дФ [т) па =— в ОФ )ага))Ф! д1 (13.6) пФ является скоростью движения поверхиости Ф вдоль ее иор(ч) мали и потому условие (!3.4) или (13.6) означает, что иормалы)ая проекция скорости о среды совпадает с ВФ, зто условие совпа- )~), дает с (13.3), если Ф=Ф(х) =О.
Если задано движение каждой фиксированной точки х поверхиости Ф(х, !) =О, т. е. Задав вектор скорости аэ (х,!), то условие сцепления првмет вид а(х,)) = Постановка задач МСС и граничные условия 143 =иф(х, г) иа Ф(х, 1) =О, при этом, конечно, будет автоматически выполнено условие (13.6): на Ф = О, о = оф (или и = иф).
(13.7) Динамические условия на Хи в зависимости от свойств среды могут сводиться к заданию либо нормального напряжения (давления р1'1 на Ф=О) на Ф(х, г), р = ~41 (13.8) иа Ф = О, Т = Тф (х, г), (13.10) либо в задании теплового потока тт = уФ(х, т). на Ф=О, (13.11) Условие (13.10) возможно потому, что иа границе двух однотипных сред, разделенных поверхностью Ф=О, температуры бывают одинаковыми н условие (13.10) в этом случае означает непрерывность температуры на Ф=О.
Условие (13.!1), если только на поверхности Ф=О не образуется тепло; аналогично можно рассматривать как требование непрерывности теплового потока через поверхность, У зз р 1г1 св Рис. 13.3 (случай идеальной жидкости); либо к заданию полного вектора внешней силы (напряжения). Поскольку на любой площадке вектор внутреннего напряжения Р1"1=31тч ($9), то условие в напряжениях имеет вид (рис. 13.3): на,Ф = О, Р1ч1= — Ут. ж',Чт1т в — .ЧУ(тэ)э. =Р'>.
(13.9) Смешанные условия на Х,р состоят в задании на Ф=О двух (или одной) составляющих вектора о иодной (или двух) составляющей вектора Р1"1, а всего трех скалярных условий, т. е. частично— задания условий (13.7), частично — (13.9). Если а, Ь, с — три ортогональных вектора на поверхности, то три условия должны быть такими, чтобы одно относилось к направлению а, другое— к (з, третье — к с, т. е. не было бы двух, относящихся к одному и тому же вектору; иначе задача МСС, как правило, оказывается некорректной. Основные температурные граничные условия состоят либо в задании на части поверхности Хт (Х =Хт+Х ) температуры 144 Физические зАкОны и постАноакА Адкч мсс гг». Пг (13.12) л т на Ф=О, ~в=с~ — ~, 'А, 1ОО ~' (13.13) где Т вЂ” температура тела на поверхности (К'), с — постоянная, зависящая от свойств тела.
Для абсолютно черного тела с 5 9 10-з кГ'см ( к сме сек ~ см сек /' (13.14) длЯ «сеРых» тел а=ась, пРичем е длЯ Разных тел имеет зпачеииЯ от 0,96 для окисленных шероховатых черных металлов до 0,3— блестяще полированных. Поскольку уравнения движения среды содержат ускорение, а уравнение тенлопроводности — скорость изменения температуры, динамические задачи МСС требуют кроме граничных условий постановки еще и начальных условий, В перемещениях и=х(х,() — х этн условия, как и в теоретической механике, имеют вид ( = О, и = р (х), †„ = Ф (х), (13.15) где сс, ф — заданные векторы (обычно ~р=О).
Начальное условие для температуры: г' = О, Т = т,(х), (13.16) где т(х) — заданная функция координат х. если же тепло образуется (нап~(имер, за счет трения двух тел на аоверхности Ф=О), то .правая часть (13.11) будет состоять из теплообразования дФ и ~патока тепла от .внешнего тела. Поток дФ часто считается пропорциональным разности температуры тела Т на Ф=О и температуры внешнего тела ТФ, ЧФ = й(Т вЂ” ТФ) где Й называется коэффициентом теплоотдачи.
Если твердое тело с границей Ф=О сильно иагрето, то и пустоту (приближенно — в воздух) оно отдает лучистое тепло; в условии (13.11) в этом случае дФ может быть взято согласно закону Стефана — Больцмана глйвй ьч КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ. АЭРОГИДРОДИНАМИКА И ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Простейшими в механике сплошной среды телами являются идеальные и классические (ньютоновские) жидкости, идеально упругие твердые тела.
Эти тела (идеалнзированные схемы, модели реальных тел) обладают фундаментальными свойствами реальных жидких и твердых тел, причем свойства, во многих случаях являющиеся второстепенными, не учитываются. Опыт показывает, что поведение многих реальных жидкостей, газов и твердых тел в определенных, весьма близких к реальным, условиях достаточно точно описывается уравнениями механики сплошной среды, построенными для указанных идеальных тел (моделей), Методическое значение моделей состоит еще и в том, что из сопоставления с опытом получается возможность изучения отклонений свойств реальных тел от свойств моделей .и, значит, возможность уточнения теории. Жидкостями в механике сплошной среды называются тела, сопротивление которых сдвигу прп любой деформации стремится к нулю, если скорости деформации равны нулю в течение достаточно большого промежутка времени ((-~-оо).
Твердыми телами в механике сплошной среды называются тела, сопротивление сдвигу которых при постоянных во времени значениях компонент тензора деформации остается отличным от нуля и конечным в течение сколь угодно большого интервала времени ((-эоо). Бесконечный интервал времени в опытах не реализуется и фактически речь идет об интервалах, значительно превосходящих времена релаксации. Для некоторых тел эти времена ничтожны, для других — очень велики. Напряженное состояние малой частицы любой среды в любой момент Г характеризуется тензором напряжения 5, который в главных осях напряжений всегда имеет диагональную матрицу: и 0 0 О и, О 0 () и Экстремальные касательные напряжения, действующие в этой частице в ~момент 1 по плоскостям, делящим пополам углы между плоскостями главных напряжений, равны 1г .
1г, КЛЛССИЧЕСК11Е СРЕДЫ а,— а, ах — ах 2 * 2 тз1 = 01 — ах тхз 2 По определению, рассматриваемая частица будет частицей жидко- сти, если при е=сопз( и 1- оа, тм=тзз=ты=О, т. е. 1-зоо, ах=а =а =' — Р, или частицей твердого тела, если прн в=сонэ( 1 таз ~ачх ~~ т'» ~ О т. е., вообще говоря, при 1 — Рва, а1ФазчьазФа1. 5 14, ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗЫ Идеальная жидкость (газ) — это среда, в которой рассеяние отсутствует (Яг*=О) и сдвиговые 'сопротивления которой при любой деформации и скорости деформации в любой момент времени равны нулю, т. е. для любого 8 (14.1) а, = а, = а, = — р. т. е.
он направлен по нормали к площадке н имеет величину — Р. Следовательно, давление р по всем площадкам, в данный момент проходящим через данную точку среды, одинаково. Обычно предполагается, что р)0, т. е. это всегда действительно давление. Однако реальные жидкости могут выдерживать н некоторые всесторонние растягивающие напряжения (Р<0) и в понятие идеальной жидкости мы не будем включать обязательного требования Р хО. В эйлеровых ортогональных декартовых координатах х1 (1= 1, 2, 3) тензор напряжений в идеальной жидкости согласно (14.2) имеет простейшее выражение У= — Рй, (14.3') где Π— метрический тензор, имеющий в декартовых ортогональных координатах к1 компоненты бсь так что ан — — — Рб„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
