Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Уравнение (12.11.1) примет внд .0ЛЛ2а + Тю и = О. Если пластина шарнирно оперта по контуру, то граничным условиям и = 0 и 6 = О на контуре, как в примере (а) З 12.7, мы можем удовлетворить, приняв тла . ааа и = ~~ а „з(п — 'зш а Подставляя зто выражение в дифференциальное уравнение, мы придем к серии равенств а Ь а отсюда Минимальное значение, получаемое для Т при целых п и т, будет критическим сжимающим усилием для пластины, аналогичным силе Эйлера для стержня. Очевидно, что минимум будет достигаться при и = 1. Положив а/Ь = В, найдем Тар= — 2( — + — ) =- — 2 Й(ш, р).
(12.11.2) При фиксированном В минимизируем й(т, В) по л2. Получим — — — =О, В 2 отсюда следует, что минимум достигается при т = В; если В— 3 ис12. ВАРиАционный метОд для задАч устОйчиВОсти 417 целое число, то действительно, полагая и = р, получаем л А1 Твр — — 4 —. По атой формуле определяется критическое усилие для квадратной пластины и пластины, которую можно разбить на целое число квадратов. Коли 6 — нецелое число, то в формулу (12.11.2) подставляются вместо т ближайшие к р сверху и снизу целые числа.
В качестве критической принимается меньшая из получающихся сил. Формула (1211.2) дает одинаковый результат прн т и т+1, если к(лт, р)= л(па+1, р). Отсюда легко находим р= ат(т+1)= 12, У6, 112, ... Таким образом, если р1н(1, 2), то при р< 12 =1,414 нужно принимать т = 1, при р ) 12 следует вносить в формулу (12.11.2) значение т= 2.
График зависимости коэффициента '/,й. от параметра т был показан на рис. 4.8.1, он состоит из пересекающихся дуг кривых, соответствующих разным значениям т. В точках пересечения коэффициент й принимает максимальные значения; считая т индексом левой кривой, легко находим к =4+ шах = + в,,(т+1). Уже при Р ж (4, 5) можно считать й = 4 независимо от р, ошибка составит при этом не более 1,25о/о. з 1212.
Вариационный метод решения задач устойчивости Пренебрежение членами к1 „ю а по сравнению с ни а в (12.10.1) означает, что прогибы пластины считаются малыми и не влияют существенно на деформацию срединной поверхности. Однако вз этого не следует, что их можно отбросить в выражении функционала (12.10.2). Действительно, предположим, что уравнения (12.5.7) выполнены заранее и проинтегрируем в (1210.2) члены вида '1аТ„ани а. Будем считать также, что поперечные нагрузки на поверхности и краевые моменты на кромках пластины отсутствуют, как это было принято выше. Функционал (12.10.2) примет вид 3 7иак1,ик1 З + Мааа1,иа + а Ф (Маа)~ 11х111ха 27 Ю Н Работвав ГЛ. 1Х СТЕРЖПИ.
ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 418 или, если считать, что выполнены уравнения связи (12.5,3), Т = ~~ 2 Тааид,аида — О (ю аа)~ с(хддхо. (12.12.1) 1 Это — однородный квадратичный функционал, для которого в изотропном случае уравнение (12.11Л) служит уравнением Эйлера. Вместо того чтобы искать критическую нагрузку путем интегрирования этого уравнения, можно применить прямой метод, а именно, аппроксимировать прогиб при помощи линейного агрегата и = ~ад~рд(ха) из функций, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, т. е.
использовать процедуру Ритца. Функционал при этом обратится в однородную квадратичную функцию от а, и условие бо = О приведет к системе линейных однородных уравнений вида — = О. ау дад (12Л2.2) Эта однородная система имеет нетривиальное решение лишь при определенных значениях параметра нагрузки, обращающих в нуль детерминант системы. Предположим, что силы Таз изменяются пропорционально, о о о так что Таа= — Х'Таю где Таз — фиксированная величина.
Вудем искать критическое значение параметра й. Положим 1 р о — ) Тоаюаю ад)хдд(хо =- Т (ад), ~ гд (идаа) гдхдддхо = (Г(ад) Б Я Т(а,) и О (ад) — известные квадратичные формы. Тогда Х = — ХТ(ад)+ П(ад). Уравнения (12Л2.2) запишутся теперь следующим образом: (12.12.3) Приравнивая нулю определитель этой системы, мы получим для параметра Л алгебраическое уравнение, степень которого равна числу членов в представлении прогиба ид; таким образом, если й = 1, 2, ..., п, мы получаем и значений Х и п «критических» нагрузок.
Но мы видели, что в действительности число критических нагрузок и соответственно форм потери устойчивости бесконечно велико. Поэтому естественно поставить вопрос о том, в каком Отношении находятся приближенные значения А, найденные описанным методом, и точные величины критических з гззз. изгив цилиндгичвскон оволочки 419 нагрузок. Соответствующую оценку легко дать для первой, т. е.
наименыпей критической нагрузки. Заметим, что уравнение (12Л2.3) можно получить с помощью следующего формального приема. Положим Х = О, найдем из этого условия Х = —. У (ад) Т(а) (12Л2.4) Будем теперь искать минимум Л как функции от ад. Получим следующую систему уравнений: дЛ 1 Г дУ дТД вЂ” = —,~т — и — ~ = О. зад Та ( зад Зад! Если ТФО, эта система эквивалентна системе (12Л2.3); таким образом, задача о нахождении критических значений параметра Л сводится к нахождению экстремальных значений Х как функции от а„, заданной выражением (12.12.4).
Отсюда следует, что наименьшее критическое значение параметра Х оценивается следующим образом: (12Л2.5) Здесь а,— произвольный набор чисел. Таким образом, верхняя оценка для наименьшей критической силы дается формулой (12.12.5) . $ 12.13.
Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки Оболочкой называется тело, ограниченное двумя эквидистантными поверхностями. Чтобы сделать определение более точным, выберем некоторую поверхность Я. В каждой точке М этой поверхности проведем нормаль и отложим по одну и по другую стоРону поверхности отрезки, равные Ь, так что М,М = М,М = Ь. Совокупность точек М, образует одну сторону оболочки, совокупность точек М, — 'другую сторону, 2Ь вЂ” толщина оболочки, Я— ее срединная поверхность. Оболочка считается тонкостенной, если Ь ктг, где Л вЂ” наименьший из главных радиусов кривизны сРединной поверхности.
Техническая теория оболочек основывается на точно такой же гипотезе прямых нормалей, что н техническая теория пластин. Предполагается, что линейный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается нормальным к деформированной срединной поверхности. Если отнести поверхность к ортогональной системе криволинейных координат н выбрать локальные оси ха в касательной плоскости к срединной поверхности, направив ось з по нормали, то для 27а 420 ГЛ. Ы.
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ деформации е„, можно сохранить формулы (12.4.3), записав их в следующем виде: ева = е„а — зк.з. (12 13.1) Величины к с теперь следует назвать параметрами изменения кривизны; вопрос о том, как выразить в общем случае деформации е„с и параметры изменения кривизны х с через перемещения точек срединной поверхности или каким уравнениям совместности они удовлетворяют, изучается в общей теории оболочек, которая здесь рассматриваться не будет. Следует заметить, что формула (12 13.1) не является точным следствием гипотезы прямых нормалей.
Это ясно из рис. 1213 1, абсолютное удлинение элемента тп есть и отрезок пп =хада, но длина этого элеэ' мента есть не с(г, а дз(1+с/А), как видно из чертежа. Поэтому относительное удлинение будет хс е= 1-5 с/Л' Аналогичным образом нужно было бы исправить и общие формулы (12.13 1), но ошибка, которая получается, если преРис. 12.13.1 небречь этой поправкой, имеет порядок й/Л по сравнению с единицей. Доказано (в результате достаточно сложных вычислений, выходящих за рамки нашего курса), что сама гипотеза прямых нормалей вносит погрешность порядка П/В по сравнению с точным решением задачи теории упругости, поэтому удержание членов такого порядка в приближенной теории лишено смысла. Введем в рассмотрение усилия Т„с и моменты М с, предположив, что распределение напряжений по толщине по-прежнему линейно, т. е.
дается формулами (12.4.4). При вычислении функционала Рейснера, строго говоря, при интегрировании по толщине необходимо учитывать кривизну, т. е. производить интегрирование по площади элемента, изображенного на рис. 12.13 1. Если пренебречь этим обстоятельством, то, как легко показать, ошибка будет опять иметь порядок )1/й.
Таким образом, с точностью до членов указанного порядка малости функционал Рейснера для оболочки имеет в основном структуру функционала (12.5.13) с той разницей, что вместо величин и1„с в нем будут фигурировать параметры изменения кривизны х м Простейшим примером, на котором можно проиллюстрировать некоторые общие особенности поведения оболочек служит круговая цилиндрическая оболочка. Предполоисим, что цилиндрическая оболочка со средним радиусом й, толщиной стенки 2й и длиной / нагружена внутренним давлением д(х).
Сделаем вна- З юлз. иэгив цилиндгичвскои оволочки 421 чапе предположение о том, что длина Х много больше радиуса Х и что давление д(х) меняется по длине оболочки достаточно медленно. Вырежем из оболочки кольцо длиной дх, разрежем его пополам и рассмотрим равновесие изображенного на рис. 12 13.2 полукольца. Из уравнения немедленно получаем Т,=дХ. Таким образом, предполагаемое напряженное состояние в оболочке Т, = О, Т, = д(х) Х, М, = ЛХ, = О.
(12.13.2) Принятая система обозначений в данном случае упрощена по сравнению с обычной, касательные усилия и крутящие моменты отсутствуют вследствие симметрии оболочки и действующей нагрузки, для обозначения сил и моментов достаточно теперь одного индекса 1 для продольного направления и 2 для поперечного. Напряженное состояние, даваемое формулами (12.13.2), называется безмоментным состоянием, изгибающие моменты равны нулю, в оболочке действуют только усилия Т .
В действительности безмомент- Рис. 1233.2 ное состояние в оболочке реализовано быть не может. В самом деле, усилие Т~ растягивает кольцо, 7. относительное удлинение в окружном направлении ев = — = дЕ 2ЕЬ вЂ” следовательно, срединная поверхность оболочки получает 2ЕЬ~ радиальное перемещение и = еХ = —. дЛ~ 2ЕЬ' (12.13.3) Если кривизна в окружном направлении была 1/Х до нагружения, она станет равной 1/(Х+ ю) = 1/Х вЂ” и~/Х', таким образом, изменение кривизны в окружном направлении есть ю/Х'. По формуле (12.13Л) и и е, =е — — з=е (1 — — !. Е* '~ Е)' Отсюда видно, что неучет изменения кривизны в окружном направлении влечет за собою ошибку, порядок которой не превышает величины й/Х, поэтому в дальнейшем мы будем полагать и* = О.