Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Описание этой техники выходит за рамки нашего курса. й 12.7. Прямоугольная ортотропная пластина Рассмотрим прямоугольную пластину из ортотропного материала с осями упругой симметрии, параллельными сторонам пластины. Потенциал перемещений, соответствующий уравнениям (10.6.4) для плоского напряженного состояния, будет следующим: Ф(оаз) =- —,((1 — Л) Огг+ (1+ Л) Озз — 2тозгозз+(1+к) (Огз +О 2)1. (12.7 1) Точное решение з виде рядов получается в двух случаях, з именно: а. Пластина оперта пп контуру х~ = О,х1 — — а, хз — — О, хз = б. Из условия ш(х, 0) = 0 следует шп,(х„ О) = О, поэтому условие равенства нулю момента Мтз(хь О) = О, вследствие ((2.7.2) приводится к условию ш,зз(хь 0) = О. Будем искать прогиб в виде чч тях , ппх ,т а „з(в г 2(в а Ь (12.7.4) По формулам (12.5.3) получим з игл, =- — — Н1 — Л) М вЂ” ТЛХ22), 2ЕАз 11 ит,зз — — — — ((1 + Л) М,з — УМгг), 3 з ит,гз — — — — (1+ н) ЛХ, 2 Раз 2 или после обращения М„= — Р ((1 + Л) ит тю+ титзз), ЛХ22 = Х) ((1 — Л) ит и+ уголтть 4 — л' — ч' (12.7.2) 12 л) ит 12 4+н 2БАЗ Здесь Х) =,, Для изотропного материала Л = О, н = Р з(2 — л' — ') ' и формулы (12.7.2) переходят в (12.5.6).
Внося выражения для моментов (12.7.2) в уравнение равновесия (12.5.8), получим 4 — Л вЂ” т т 2 22 Ч (1+ л) ш,гггг + 2 (У + ) ит 2222 + (1 — Л) й,зззз =— (12.7.3) 5 18.8. пгямоугольные изотРОпные пластины 407 найдем, что каждая ив функций у, удовлетворяет следующему дифферен- циальному уравнению: (1 Л)уГт 2(т+ т )(~~) у +(1+ ) ~гхоз) (12.7.6~ Решение однородного уравнения (12.7.6) ищем в виде У„=ехр ( —" баг). Для величины Р получается характеристическое уравнение: (1 — Л) 6 — 2 (т+ ) $Р+(1+ Л) =О.
(12.7.7) 1+я Это биквадратное уравнение, корни могут быть либо действительными, либо иомплексными. В первом случае действительные корни жрг и жрг, поэтому У =А сЬ6 — а+А аЬ6 а+А сЬ6 — г+А ай 6 в, Во втором случае эти корни попарно сопряженные, а именно, рьг,г,г = = -Ь р ж!д, а следовательно, тяа тях тяа ~ Х =сЬр — г А сова — э+А 81пд г -(- а (, " а г а ) тях тяаг тяа 'г + 8Ь р — г ~А сов а г + А4 агп д — г) а а 4 а ) Может случиться, что биквадратное уравнение имеет два двойных корня ~6.
Для иэотропного материала, например, р = 1. Случай иаотропного материала будет специально рассмотрен в следующем параграфе. В ааключение рассмотрим задачу о кручении ортотропной прямоугольной пластины. Полагая, как и в пункте (в) 2 12.6, пг = — Ах,х„находим, что уравнение (12.7.3) тождественно удовлетворяется; по формуле (12.7.2) получаем Лг 2 Здесь Р— одна из четырех сосредоточенных сил, приложенных в углах пластины, как показано на рис. 12.6.2. з 12.8.
Прямоугольные пластины из изотропного материала Если материал изотропен, т. е. ге=т, Л=О, то дифференциальный оператор в уравнении (12.7.3) превращается в двукратно повторенный оператор Лапласа и мы получаем опять уравнение (12.6.1) . Применяя к задаче о пластине, две противоположные стороны которой оперты, изложенный в 2 12.7 метод, найдем, ГЛ. 1Х СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 408 что характеристическое уравнение приводитсн к виду р' — 2р'+ 1 = О. Оно имеет двойные корни р = ~1, поэтому тлх тлх Ут = (А, + А,х,) СЬ вЂ” ' + (А, + А х,) ЕЬ вЂ” '.
(12.8 1) Уравнение (12.7.6) содержит еще правую часть. Если нагрузка 4" зависит только от координаты хо то всегда можно представить прогиб в виде й = йО + й1. Здесь й,— решение однородного уравнения (12.6.1), построенное в виде ряда (12.7.5), где функции 1'„, даются выражениями (12.8.1), тогда как й, — частное решение уравнения изгиба, которое удовлетворяет граничным условиям на опертых сторонах пластины. В качестве такого частного решения можно взять решение задачи о цилиндрическом изгибе.
Так, например, если 4/= сопз$, то й =- — 1х1 — 2ах', + а х ). ч г 3 24Р 1 Чтобы удовлетворить граничным условиям при х,= ~5/2, разложим й, в ряд Фурье. Получим 4 4~4 1 тхх й, = — ° —. Б1п — ' (т = 1, 3, 5, ...). Л4Р хаа тэ а Поскольку поверхность прогиба симметрична относительно оси х, в выражении (12.8.1) следует принять А,=А1=0. Выражение для прогиба получается следующим: тлх тлх, тлх й = — 7 — + А1 СЬ вЂ” 2+ А4 х з)4 — 2 э1Н— (т=1,3,5, ...).
Симметрия поверхности изогнутой пластины относительно оси х, = а/2 заставляет удерживать в этом разложении только члены, тзэ соответствующие нечетным т. Положив — = а, получим следующие условия длт нахождения констант: + — Агт СЬ а,„+ атА4т БЬ ат = О, ахт а — А1 + 2А4т) СЬ ат + атА4т ЗЬ ат = 0 ( — '- а Найдя А, и А, из этих уравнений, получим следующий Я 12.9.
ВАРиационные принпипы В 3АДАчАх изГиБА 409 тьезультат: гп = —, (х, — 2ах + а х )— / г з з = 24Р' 1 1 49 ее чгч 1 ! нт 1)1сггг + 2 2ишхз сггг 2хз 2гггзхз1 С)1 — З вЂ” — ЗЗ)1 з З~згн — 1 (ль=1,3,5, ...). (12.8.2) Ряд в формуле (12.8.2) сходится чрезвычайно быстро, практически в нем достаточно удержать один первый член. Не останавливаясь на деталях, приведем значения прогиба и изгибающего момента в центре квадратной пластины (а = Ь) п1юзх = 4 08 10 Р Мюзт = 4,79 10 1)па (т =- 0 3) Зги числа понадобятся нам для оценки точности приближенных решений, которые будут получены далее. й 12.9. Прямое применение вариационных принципов к задачам изгнба пластин Как было выяснено в 1 12.5, задачи деформации срединной поверхности и задача изгиба решаются отдельно и независимо, Поэтому при приложении вариациокных методов мол<но составлять необходимые функционалы отдельно для плоского напряженного состояния Т г, ик и изгиба Мкг, ш.
Выпишем соответствующие функционалы для изгиба. а. Функционал Рейснера. Из формулы (12.5.13) следует Гхм ~ [зг ваш аб + з Ф (Маб) + цш) дхтйхз ) 6 йг ) К*шаг, Я (12.93) б, Функционал Лагранжа. Из общей формулы (86.5) вследствие кивематической гипотезы (12.4,3) следует Х =~( — Р(шз)+ дш) Нх Нх — ~6ь ш г(г — ~Кгшг(г. (12 92) з т т Здесь У(гкз) =' Игр ггггге Для изотроппого тела У = г(гР [гз + гз + 2тг г + [1 + т) [г~ ~+ ез )1), в. Функционал Касгильяно. Полагая распределение напряжений по толщине линейным, согласно (12.4.4), находим Ум=уФ(М„) й йх — "6~ йг — ~Кш*йг, (12.9.3) ,) йз при атом моменты должны удовлетворять уравнению равновесия (12.5.8) и статическим граничньгм условиям.
ГЛ. Иь СТЯГЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОНОЛОЧИИ 410 Приложение прямых методов варнационного исчисления к решению за. дач нагиба мы проиллюстрируем на примере вариационного принципа Рейснера. Положим м=Хадр М В=2РЬ',В .'Ф (12.9.4) Здесь ~рь — функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям, вг Ь вЂ” функции, удовлетворяющие статическим граничным условиям ь для момейтов. Подставляя в (12.9А], получим Х и — — Р (а „, Ь„Ь) .
Варьируя параметры ам Ь„Ь, получим систему уравнений а — =О, — =О. "а Ььа яд (12.9.5) ях . ях яхз в=Аз)п г згп — з, М =М =Вз(п — гз!п — з, а а гг зз а а ях ях М =Ссоз г соз — з, а а получим по формуле (12.9А) з а ! В С 1 4~ У„ы =" (АВ+ВС)+ ' ~ + )+ 1А. 2 4В 11-)- т 1 — т! Приравнивая нулю проиаводпые по А, В и С, получим следующую систему уравнений: В .(- С = ~ д, В = А — (1 + т), С = А (1 — т), а з а отсюда А =, С =4,16 10 з ~— , В=5,4.10 зда .
Такой результат мы получим, осли удержим в двойном ряде (12.7.4) лишь первый член. Ошибка при определении прогиба составляет 2,4ей, ошибка при определении наибольшего изгибающего момента несколько больше, она равна 12е)е. Выбрав выражения для прогиба и для моментов в виде проиаведений синусов, мы обеспечили точное выполнение соотношений (12.5.6), поэтому результат совпал с тем, который получился бы в результате удержания первого члена в двойном ряде, представляющем точное решение.
Поэтому, если бы вместо принципа Рейснера мы использовали принцип Лагранжа, то, приняв такое же выражение для м, мы нашли бы ту же величину А и путем Функция Р содержит квадратичную часть относительно ам Ь"6 и линейную часть, соответствующую нагрузке д и силам, приложенным к краям пластины. Поэтому уравнения (12.9.5) будут линейными. Бесконечная система (12.9.5) укорачивается; заменяя ее конечной системой, получим после решения приближенный реаультат. Если функции иь и згод образуют пола ные системы, при увеличении числа членов приближенное решение стремится к точному.
Для иллюстрации рассмотрим ту же самую задачу, которая была решена в предыдущем параграфе, а именно задачу об иагибе свободно опертой квадратной пластины равномерно распределенной поперечной нагруакой. Полагая Я 1230. БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ 411 дифференцирования по формулам (12.5.6) пришли бы к точно тем же выражениям для моментов. Решим теперь ту же задачу при несколько более грубых предположениях. Положим ю = Ах~(а — х~)хр(а — хр). ))(ля определения прогиба нам будет достаточно воспользоваться вариационным принципом Лагранжа.
Вычисляя интеграл (12.9.2), получим х' = — — АР ' + — а 1 з 8(1+ т) ЧА 2 30 36 Отсюда, дифференцируя по А и приравнивая результат нулю, получим А 0 0801 ч и — 5 008 10-з Ч Последний результат отличается от точного на 23'/е. Описанная процедура, состоящая в том, что вместо решения дифференциального уравнения ищется непосредственно стационарное значение некоторого функционала, а представление искомых функций — в виде (12.9.7), сводит задачу к нахождению значений козффнциентов аь и Ь З, з при которых квадратичная функция от них принимает стационарное значение, называется процедурой илн методом Ритца. Строго говоря, метод Ритца развит применительно к тому случаю, когда исходным функционалом служит функционал Лагранжа, позтому необходимо лишь представление прогиба в виде и= ~ верра. Следует заметить, что для истинного аначения прогиба функционал Лагранжа принимает максимальное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
