Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 76

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

(ИЛ2.3) Воввращаясь к общему случаю, заметим, что частное решение системы (ИЛ2.2) есть и» = 1р». дифференциальные уравнения найдем ЗЛ+ 2р Д1(»,1 = „2 атл. После подстановки в Отсюда, переходя к техническим постоянным, т. е. выражая множитель в правой части через коэффициент Пуассона найдем Д 1+' Т 1 — т (И.12.4) Достаточно найти любое частное решение этого уравнения, после чего задача сводится к нахождению решения уравнений Ламе, удовлетворяющего соответствующим образом измененным Зти уравнения имеют тот же вид, что уравнения Ламе, роль объемных сил Р» играет градиент температуры.

Заметим, что уравнения (ИЛ2.2) непригодны в том случае, когда материал несжимаем; множитель при Т, обращается в бесконечность. Но для несжимаемого материала Л= и уравнения закона Гука нужно записывать следующим образом: оц = обц+ 2рец.

384 гл. 11. пРОстРАнственные ЗАдАчи теОРии упРугости — = аз/АТ, дт д1 ь а = —. 2 ср Здесь /г — коэффициент теплопроводности, с — теплоемкость, р— плотность. Продифференцируем (1112.4) по 1 и внесем в правую часть вместо дТ/д1 выраясение этой производной через ЬТ из уравнения теплопроводпости. Получим /А — = — и и/АТ. д1 1+У д1 1 — У граничным условиям.

Если распределение температур стационарно, то, как правило, частное решение для функции $ находится достаточно просто, путем подбора. Вообще же уравнению (11.12.4) удовлетворяет потенциал непрерывного распределения 1+У массы плотностью — — — иТ. Это замечание можно исполь4я 1 — у зовать в тех случаях, когда нагревается какая-то часть упругого тела, при этом существует граница между нагретой и ненагретой частями. Так, например, используя формулу (11.9.4) для потенциала однородного эллипсоида, можно без труда решить задачу о температурных напряжениях в теле, содержащем в себе мгновенно нагреваемую область, имеющую форму эллипсоида.

Теперь перемещения будут определяться по формулам (И.9.5) с точностью до множителя, который читатель легко восстановит. Комбинируя формулы (11.9.5), мы найдем компоненты деформации, а следовательно,— напряжения. Производные от потенциала тяготения представляют собою силы тяготения, ко~орые убывают по мере удаления от начала координат как 1/г', следовательно, напряжения убывают как 1/г', т. е. так же как перемещения и напряжения от центра расширения.

Поэтому формулы и;=ф, дают полное решение для неограниченной среды. В т 8.14 было разьяснено, что центр расширения моделирует напряжения, возникающие при выпадении новой фазы. Очевидно, что изменение объема может быть вызвано не только изменениями температуры, но и фазовыми превращениями, поэтому формулы (11.9.5) могут быть применены к тому случаю, когда частица вьшавшей фазы имеет форму эллипсоида; эти выражения пригодны как для точек, принадлежащих внутренности включения (при и = О), так и для точек матрицы (ит'-О). Заметим, что внутри включения перемещения представляют собою линейные функции координат и, следовательно, напряжения постоянны. При этих рассуждениях предполагалось, что упругие свойства включения и матрицы одинаковы.

Можно построить решение и для того случая, когда упругие постоянные различны (Зшелби) . Возвращаясь к температурным задачам, вспомним, что распространение тепла описывается уравнением теплопроводности 385 $ 2!.!х темпеРАТРРньге нАпРяжения Этому уравнению можно удовлетворить, приняв ааа ) Т!11. 1+о (11 12.5) 11е останавливаясь на элементарном решении этого уравнения 1 при граничных условиях а„= — — г" = 0 при г = а и г= Ь, т.

е. на внутренней и на наружной поверхностях трубы, заметим, что для армированных пластиков, как правило, а!) ив. Из решения следует, что при охлаждении трубы в ней возникают растягивающие радиальные напряжения, которые могут привести к разРь2ву по цилиндрической поверхности. Такие повреждения наблюдаются в процессе изготовления труб с горячей полимеризацией, при охлаждении после полимеризации возникает кольцевая трещина.

2» Ю. Н. Разотиов Если величины !х!! постоянны, то распределение температуры, линейно зависящее от координат, не вызывает напряжений в теле. Действительно, уравнения совместности содержат только вторые производные от компонент деформации, следовательно, они будут удовлетворены тождественно, если еп = е,'* представляют собою линейные функции от х,. Конечно, при этом предполагается, что поверхность тела не закреплена, в противном случае может оказаться, что перемещения, соответствующие данной системе деформации и определенные по формулам Чезаро (3 7.3), окажутся недопустимыми вследствие граничных условий; тогда в местах закрепления возникнут реактивные силы, которые вызовут напряжения в теле, В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна.

Например, цилиндр, изготовЛенный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Еои и ав будут уже не постоянными, а функциями координат х„; поэтому даже равномерное температурное поле вызовет напряжения.

Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в з 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим: ГЛАВА 12 СТКРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 5 12Л. Приближенная теория изгиба балок Элементарная теория, изложенная в гл.

3 и 4, основывалась на гипотезах, введенных адйос и обоснованных лишь некоторыми соображениями качественного характера. Здесь мы получим те же уравнения, отправляясь от общих законов теории упругости. Наиболее надежный путь построения приближенных теорий, который будет использован в настоящей главе, состоит в том, что за основу принимаются вариационные уравнения теории упругости в одной из форм, приведенных в з 8.7. После этого делаются некоторые предположения о характере распределения перемещений или напряжений (или того и другого независимо). Дифференциальные уравнения приближенной теории-получаются как уравнения Эйлера вариационной задачи для функций от переменных, число которых меныпе трех. Как уже было сказано выше, балкой называется призматическое тело, длина которого много больше поперечных размеров.

Выберем оси координат следующим образом. Поместим начало координат в центре тяжести одного из поперечных сечений, расположим оси х, и х, в плоскости поперечного сечения, тогда х, будет осью призмы. Направления осей х1 и х~ всегда можно выбрать так, чтобы было ) х,х,г)Р = О. Оси х, и лм удовлетворяющие этому условию, называются главными центральными осями инерции поперечного сечения. В частности, если одна из осей есть ось симметрии сечения, оси будут главными. Предположим, что балка несет поперечную нагрузку в плоскости лз, л„действующую в направлении оси хь Обозначим интенсивность этой нагрузки р(л,). Функция р(х,) может принадлежать классу обобщенных функций, т. е.

включать в себя дельта-функции (сосредоточенные силы) и производные от дельта-функций (сосредоточенные моменты). Сделанное предположение о том, что нагрузка лежит целиком в плоскости хм хо не наруйает общности. Действительно, любая нагрузка может быть разложена на составляющие в плоскостях ль х, и х„х,; для 5 !зл. НРивлиженнАя теоРия изГиБА БАлок 387 второй плоскости приводимые ниже соображения повторяются буквально, и принцип суперпозиции позволяет рассматривать две независимые задачи по отдельности. Предположим также, что к торцам балки в центрах сечений приложены равные силы Р, растягивающие или сжимающие балку. Заметим, что нагрузка р(х,) не обязательно должна лежать в плоскости х,х„она может действовать в параллельной плоскости.

Величины прогибов и нормальных напряжений при изгибе от этого не меняются, как будет видно из приводимого ниже вывода. Однако касательные напряжения зависят от положения плоскости действия сил, они могут потребовать для своего уравновешивания приложения к торцам балки крутящих моментов. Если ось х, есть ось симметрии сечения, то, очевидно, крутящий момент не потребуется, если нагрузка лежит в плоскости хм х„ нагрузка в любой параллельной плоскости будет вызывать кручение. Однако, если ось х, есть главная центральная ось сечения, но не ось симметрии, и нагрузка лежит в плоскости х„х„ изгиб, как правило, будет сопровождаться кручением; чтобы кручения не было, ось х2 должна проходить не через центр сечения, а через некоторую точку, называемую центром изгиба. Элементарная теория, позволяющая найти центр изгиба для тонкостенных стержней открытого профиля, была изложена в з 3.7, распространение ее на стержни произвольного сечения служит предметом теории изгиба Сен-Венана, которая в этой книге излагаться не будет.

Естественно предположить, что изгиб балки будет происходить в плоскости х,х,, т. е. что первоначально прямая ось балки станет лежащей в этой плоскости плоской кривой. В дальнейшем, как и в гл. 3, мы будем полагать х, = у, х, = х. Пусть точка У оси балки с координатой з до деформации перешла в положение Ж', получив перемещение и (з) в направлении оси з и Р(з) у'1 в направлении оси у. Координау Ф гы точки У' будут (О, Б, г + и>). На рис. 12ЛЛ изображены эти Ф Р ° Р ось балки и кусочек изогнутой оси, которой принадлежит точ- Рнс. 12ЛЛ ка Ж'. Сделаем теперь основное упрощающее весь дальнейший анализ предположение, называемое гипотезой плоских сечений.

Как пам кажется, слово «гипотеза» в данном случае не вполне уместно. Мы вовсе не предполагаем справедливость этой гипотезы, а строим воображаемый объект, который ведет себя заведомо не так, как реальная балка, у которой сечение вовсе не остается плоским. Но поведение этого воображаемого искусственно по25в ГЛ. !Х СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 388 строенного объекта мало отличается от поведения реальной балки при определенных условиях. Итак, мы рассматриваем такие деформации балки, когда плоские сечения, перпендикулярные оси балки, остаются плоскими, перпендикулярными оси и после деформации. На рис.

Характеристики

Список файлов книги