Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Варьируя перемещение и и преобразуя резуль- тат интегрированием по частям, с учетом (12.3.2) придем к сле- дующему дифференциальному уравнению: ГЛ. 12. СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 394 Наименьшая критическая сила, соответствующая и = 1, была названа эйлеровой силой. Вся задача об определении критической силы оказалась линейной в том смысле, что она свелась к интегрированию линейного дифференциального уравнения (12.3.3).
Однако для определения критических сил оказалось необходимо решать трансцендентное уравнение. Рассмотрим теперь другую задачу, нелинейный характер которой совершенно очевиден. Предположим, что концы балки неподвижно закреплены так, что ю(0) =ю(о)=0. Балка несет поперечную нагрузку д(з)= д,з1п(ЛИ). Добавляя к функционалу о работу внешних сил ) ~е о)г и выбрасывая работу силы Р на о перемещениях й, получим вместо (12.3.3) Е1и'ч — РР" = д з1вно. (12.3.5) Уравнение (12.3.2) сохранится, но величина Р в этом уравнении представляет собой неизвестную, подлежащую определению продольную силу.
Очевидно, что знак минус в (12.3.2) следует заменить на плюс, сила Р будет растягивающей. Положим и= = аэ1п(язЛ); тогда, подставляя в (12,3.5), найдем ~ До а —— Интегрируя (12.3.2) от э=0 до э=1 (с заменой — Р на Р) и подставляя найденное выражение для Р, получим следующее уравнение: Р (1 Р ~о 4до~РЕР которое всегда может быть решено графически нли численно. Если нагрузка д(г) представляет собой более сложную функцию, она раскладывается в ряд Фурье и уравпенне для Р!Ро оказывается существенно более сложным; в общем случае левая часть его представляет собою бесконечный ряд.
В случае исчезающей изгибпой жесткости отсюда получается решение для упругой струны оо а = —,'. я 1 % $2Л, ИЗГИБ ПЛАСТИН 395 з 12.4. Изгиб пластин. Основные предположения технической теории Пластиной называется тело, ограниченное двумя плоскостями з = ~й и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси з. В плоскости э=О, называемой срединной плоскостью, выбираются произвольным образом координаты х» (гз= 1,2).
Предполагается, что размеры пластины в плане значительно больше, чем толщина 2Ь (рис. 12.41). Так же, как в $2.1, где речь шла о стержнях, будем принимать за наименьший поперечный размер наименьшее расстояние между касательными к контуру пластины. Под контуром пластины понимается контур сечения цилиндрической поверхностью плоскости э=0. Так же, как теория изгиба балок, теория пластин может быть построена при помощи любого из вариационных принципов. Если при выводе уравнения изгиба мы отправлялись от вариационного принципа Лагранжа, то здесь мы примем за основу вариационный принцип Рейснера (не в си- г7 зз лу каких-то его преимуществ, а для иллюстрации метода).
Дело в том, что в физически нелинейной теории пластин, изготов- Рвс. 12.4,1 ленных из нелинейно-упругого или пластического материала, реализация вычислений на основе принципа Лагранжа приводит к очень большим трудностям, тогда как принцип Рейснера позволяет получить приближенное решение задачи относительно просто. Основное кинематическое ограничение, принимаемое в технической теории пластин, называется обычно гипотезой прямых нормалей.
Оно вполне аналогично гипотезе плоских сечений теории изгиба (и также мало имеет оснований называться «гипотезой»). Предполагается, что прямолинейные элементы, нормальные к срединной плоскости пластины до деформации, остаются после деформации прямыми, нормальными к деформированной срединной поверхности и длины этих элементов не меняются. Обозначим через р радиус-вектор точки срединной плоскости р = хаеа.
Тогда радиус-вектор любой материальной точки плоскости М может быть представлен в виде г=р+зт, Где У = е, Хе,— единичный вектор, направленный по оси з. После деформации точка М перейдет в положение М с радиусом-вектором г' = р' + зт'. 396 Гл.
12. Стегжни, плАстинь1 и ОБОлОчки Обозначим через и, ш перемещения точки срединной плоскости Х, которая имела до деформации радиус-вектор р. Новый ра- диус-вектор этой точки р' = р+ иаеа+ шч. Согласно гипотезе прямых нормалей вектор т представляет со- бою единичный вектор нормали к деформированной срединной поверхности, заданной радиусом-вектором р. Поэтому Р1ХРз т' = !р1Х рзГ Производные вектора р' выразятся следующим образом: Р рл — — е + из,зе1 + и, зез + ш 1т, Р р з е2 + и1 зез + из,зез + шлм Векторное произведение, входящее в формулу (12.41), (12.4.1) е е, ч рзХр з = 1+ и, и ш 1 ж — едш — е ш 2+ т. (12.4.2) изз 2+изз из Г' = Р + зава 2Ш,ава + тз. Сравнивая выражеяие для г' с исходным выражением для радиуса-вектора г точки М, найдем, что компоненты перемещения этой точки м иа = На — 2Ш а.
Теперь по обычным формулам геометрически линейной теории вычисляются компоненты тензора деформации М м м еав = еав зш,аа, еза .= езз = О. (12.4.3) В формуле (12.4.2) опущены члены, содержащие более высокие степени производных от перемещений. Следует заметить, что при этом отбрасываются, например, такие произведения как и,,шл, малые по сравнению с и,, Но произведения и квадраты величин ш, и шл не появляются и их отбрасывать не приходится. Это замечание сделано в связи с тем, что производные от прогибов пластины ш могут значительно превышать произ» водные от перемещений и„так, что ш шз может быть того же порядка малости, что и„з.
Действительно, полагая порядок и з, равным е и ш шз, имеющим тот же порядок е, находим, что порядок ш „ равен уз н порядок и„ зш, равен е"' « е. В дальнейшем при построении геометрически нелинейной теории мы встретимся с такими обстоятельствами, однако, приближенное равенство (12.4.2) с вытекающими из него следствиями сохранит силу.
Теперь мы можем записать г 12.5, линейнАя теОРия плхстин 397 Здесь е„з представляют собою компоненты деформации срединной плоскости: 2е з = и з+ из . Формулы (12.4.3) достаточны для построения общей теории. Составляя функционал Лагранжа и приравнивая нулю его вариацию, мы получим некоторые дифференциальные уравнения для и„и и с соответствующими граничными условиями, т.
е. построим техническую теорию изгиба пластин, заранее предполагающую выполнение известных кинематических ограничений. Но мы будем пользоваться вариационным принципом Рейснера и зададимся следующим законом распределения напрялгений по толщине: 1 Зг оаа =,— „Таз+ —,з Маа, (12.4.4) Нза = Нзз = (). Рла 12,4.2 Симметричные тензоры Т„з и М з называются тензорами усилий и моментов соответственно.
Действительно, 1.5 тл оаагзг = Таа, ~ оааг ьзг = Маг. -и -'ь Это значит, что на единицу длины сечения пластины плоскостью, параллельной осям х„ и г, действует нормальная сила Т , ка- сательная сила Т з, изгибающий момент М„„и крутящий мо- мент М„з (рис.
12.4.2). $12.5. Линейнаи теория пластин (12.5 1) Заметим, что для тела, подчиняющегося закону Рука, соотношения (12.4.3) и (12.4.4) зквивалентны; принимая линейную зависимость деформаций от координаты г, мы автоматически получаем линейную зависимость напрялгений от координаты г. Для физически нелинейного тела соотношения (12.4.3) и (12.4.4) взаимно противоречивы, однако при построении приближенной теории это противоречие сознательно допускается.
В линейной теории упругости потенциал деформации выражается следующим образом (2 8.2): 1 Ф (НП) = — Пзз„,нз1о„,. Для изотропного упругого тела, находящегося в условиях плоского напряженного состояния, получим 1 з Ф = — (о„+ о,', — 2тнззозз + (1+ т) (озг + озз)]. (12.5.2) ГЛ. 12. СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 398 Составим фунвционал Рейснера, выполнив интегрирование по координате ю Получим по формуле (8.7.4) 1 3 гаа = ~ " Таэеаэ+Маэиг,ссэ + — гн(Таз) + Ф(Маэ) + 2Ь 2Ьг + дага Огхг с1хг + ) Тадядиа11э ) Мадядиг,оде ) Л игс1э. 1 дФ 3 дФ Еаз = — —,, иг ад —— —,— (12.5.3) 2Ь дТад' 'а 2Ьг дМ нли в случае изотропного тела 1 1' е.1 =2еь (Ты — тт ), ею=2еь (Тж — ЮТ,), 1+т ег= — Т 1 ЕЬ 11 с (12.5.4) 3 3 и1,11 (М11 ™ г) Ш,гг (М ™ ) 2ЕЬг 2ЕЬ иг,гг =- — — М„. 3(1+э) 2ЕЬг (12.5.5) В теории пластин формулы (12.5.5) часто записываются разрешенными относительно М„г, а именно, М„= — Р (ига + тю,гг) с Мгг В (иг,гг+ тиг,сс) с (1 2.5.6) Мс = — В (1 — т) ге с .
Здесь величина 2ЕЬг 3 (1 .') называется цилиндрической жесткостью пластины. Заметим, что при изгибе пластины по цилиндрической поверхности, когда Здесь в первом интеграле интегрирование ведется в области Я, занимаемой пластиной в плоскости х„х,, тогда как контур ограничивает область Я в этой плоскости; единичный вектор и представляет собою вектор нормали к контуру 7 в плоскости з = 0 и сге — элемент дуги этого контура. В формуле (12.5.3) фигурируют усилия и моменты, задаваемые на контуре 7.
Пока что мы не уточняем виды необходимых граничных условий, поэтому контурные интегралы оставляем в их общей форме; по ходу вывода мы установим, что именно должно быть задано на контуре пластины. Через д обозначена нагрузка на единицу площади, действующая в направлении оси з, через Л* — действующие в этом направлении усилия на контуре. Варьируя Т„» и М„г, получаем 399 5 !2Л, ЛИНБИНАЯ ТБОРИЯ ПЛАСТИН ю = 5л'(х,), из (12.5.6) следует 2ЕЬЗ з (г — ') Обычная теория изгиба балок, примененная к полоске единичной ширины, дала бы следующее соотношение: 2ЕЬ~ М = — ю". з Разница объясняется тем, что при изгибе балки происходит свободная поперечная деформация, сокращение поперечного размера в растянутой области и увеличение его в сжатой области.
В широкой пластине такая деформация контура сечения ее плоскостью г, х, невозможна, стеснение поперечной деформации эквивалентно увеличению модуля упругости, величина Е заменяется на величину Е/(1 — тк). При т =0,3 эффект стеснения поперечной деформации увеличивает жесткость на 9,9575. Варьируя перемещение и„, мы получим, следуя тому хэе пути, что в з 8.7, такие уравнения равновесия и граничные условия: таэпз = та нли иа = иа, ха ~ 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
