Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Нормальная нагрузка на границе полупространства Здесь будет рассмотрено общее решение первой основной аадачи для упругого полупространства, вторую задачу, как мале реальную, мы рассматривать не будем. Решение задачи Неймана для полупространства,как известно, дается следующей формулой:.
(11.7Л) Здесь г' = (х, — $,) '+ (х, — ч») '+ г', пЯ = п$, Й6». Функция ч7(х„г), определяемая формулой (11.7Л), где интеграл берется по всей плоскости г = О, удовлетворяет уравнению Лапласа и нормальная производная ее (дф!дг),=, = — т(х„). Интеграл (11.7.1) называется потенциалом простого слоя плотности т(х„). Функция ф — гармоническая, так как г — гармоническая функция коор- 1 г динат х„, г, а интегрирование ведется по переменным $ . Вычислим теперь производную д~/дг: 817 дг =-У вЂ”."=- —,'.,]; "- 8 8 Рис. Н.7Л На рис. 11.7Л показан угол а. Заметим, что сова«(ЫГ' — телесный угол, под которым виден из точки 7)Х элемент поверхности 115; обозначим этот телесный угол до».
Разобьем границу полу- пространства на две части: Я, — круг радиусом р с центром в точке А — основании перпендикуляра, опущенного из точки М на граничную плоскость, и Я,— внешность этого круга. Представим теперь выражение для производной дф/дг в виде суммы двух интегралов — = — — ] т Йо — — ] тйо. д1~ 1 Р дг 2л,] 81 гл, 1ь пгостглнстввкнын задачи твогии гпгггости Применим к первому интегралу теорему о среднем и будем приближать г к нулю, при атом тсЬ-э-та2л, ~ тйв-+-О. зг зг Следовательно, ( — ) — — т. Итак, формула (11.7.1) действительно дает решение задачи Неймана для полупространства.
Теперь мы можем написать решение первой основной задачи для упругого полупространства, а именно, ('ч Ю (11.7.2) т — тР Ъ+2Р Р 2лр г 4лр (Х+ и) (11.7.3) В отличие от плоской задачи, рассмотренной в з 10.9, здесь перемещение обращается в бесконечность только в точке приложения силы. При стремлении г к бесконечности, перемещение на поверхности стремится к нулю.
С помощью (11.6.6) легко убедиться, что перемещение стремится к нулю по мере удаления от точки приложения силы по любому направлению. 5 11.8. Контактная задача. Жесткий плоский штамп, круглый в плане Рассмотренный ниже пример представляет собою трехмерный аналог плоской контактной задачи, решенной в з 10.9. В отличие от плоского случая мы не сумеем представить в замкнутой форме, подобной (10.9.6), рептение для штампа произвольного профиля.
Для плоского штампа результат может быть получен разными способами; излагаемый ниже метод принадлежит Ростовцеву и, кажется, приводит к цели наиболее коротким путем. Положим хг + а, = Рг и РассмотРим фУнкцию ф(р, г) =1п(г+ (а+ У(г+ (а)'+ р'); производная ее по г зр у (г+ы) +р В частности, если к поверхности приложена сосредоточенная Р сила Р, то Р = —. 4лрг ' Нормальные перемещения точки границы выражаются следующим образом: 878 5 11.8. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА есть гармоническая функция. Действительно, выражение (з+ га)'+ р' отличается от величины г' = г'+ р' только тем, что к координате з добавлено постоянное слагаемое, а функция 1/г есть гармоническая. Отсюда следует, что зр(р, з) есть гармоническая функция координат х, з; действительные и мнимые части функций зд и дгд/дз также будут гармоническими.
При з=О ~я/2 (р < а), (И.8Л) (агсзгп (а/р) (р ) а), 1 — (р<а), дг О (р) а). Положим теперь Р'= с1шг~. Вследствие (И.8Л) на граничной поверхности при р< а выпол- няются условия 2(1 — т) а дз гl' з з 2р' г а — р тогда как при р ) а д)г 'гзз — = — = О. дг 2р Интегрируя давление по площади круга, найдем силу, вдавливающую штамп. Удобнее представить результат в виде, разрезпенном относительно й, (И.8.2) 4р а' Давление, выраженное через силу, будет при этом Р 2ва )/ аз (И.8.3) Если принятьс = (, то функция г' даст решение задачи о плоском штампе, имеющем в плане форму круга радиуса а, который вдавливается симметрично на глубину гд в поверхность упругого тела. При этом величина вдавливания 1д считается г заданной.
Давление под штампом при этом определяется следующей формулой: 2)гга л(1 — з) )/ з з' Рис. 11,8Л 374 гл. 11, простРАнственные 3АдАчи теОРии упРугости Как видно, давление обращается в бесконечность на контуре штампа, характер особенности при этом совершенно тот же, что в плоской задаче. Эта особенность отражается также и на карди~ дх тине перемещений, при р = а — Π— ' = — = О, при Р др др но (И.8 1), угловой коэффициент касательной к меридиану деформированной поверхности пропорционален производной д . а а — агсз(п — =— У р — а При р = а+ О эта величина обращается в бесконечность, разрез участка, примыкающего к краю штампа, имеет вид, показанный на рис.
И.8.1. 5 И.9. Потенциал однородного эллипсоида Содержание этого параграфа связано с приемом, который применяется для решения смешанных задач теории упругости для полуплоскости. Рассмотрим потенциал П непрерывного распределения масс в некотором объеме, предполагая объем и распределение масс симметричными относительно плоскости г = О. Этот потенциал будет необходимым образом четной функцией з, следовательно, производная дП/дз обращается в нуль при з = О вне заполненного массой объема.
Будем теперь сплющивать объем и, переходя к пределу, получим потенциал простого слоя, нанесенного на некоторую область Я, ~е Я. В области Я, величина потенциала будет некоторой функцией координат х„. Теперь, если принять построенный таким образом потенциал за функцию д', мы получим решение некоторой контактной задачи. Действительно, в области Я = Я вЂ” Я, дР/оз = О, следовательно, эта часть граничной плоскости свободна от напряжений. В области Я, Р есть некоторая функция координат, определяющая форму штампа.
Напомним определение и некоторые свойства потенциала. Пусть в объеме Р задана некоторая функция р(х~), которую мы будем называть плотностью. Обозначим через Р+ множество точек, заключенных в объеме т', и через Р множество точек, находящихся вне этого объема. Потенциалом называется функция (И.9 1) Здесь г'=(х,— $,)'+(х,— 5,)'+(х,— $,)'. Функция 1/(х~) и ее производные (/1 непрерывны на границе объема Г"+, но вторые производные претерпевают разрыв. В теории потенциала доказывается следующее свойство: ЛГ/= О, х; ш Р, Л1/ = — 4яр, х, ш $'+.
(И.9.2) 6 п.з. поти»щиАл одногодного эллипсоида 375 Фактическое нахождение потенциала путем прямого вычисления интеграла (И.9.1) обычно встречает существенные трудности, поэтому часто подбирают функцию У, удовлетворяющую уравнениям (И.9.2). Классическим примером такого подбора служит формула для потенциала однородного эллипсоида, принадлежащая Дирихле. Пусть уравнение эллипсоида будет з ~,—" ,— 1=0 1» и плотность р = сопз». Составим кубическое уравнение относительно Х: 2 — — 1= /(х„Х) = О. аз+А (И.9.3) Это уравнение имеет три действительных корня.
На самом деле при Х вЂ” ~ 7 = — 1, при Х = — а» 7 =~ сс. График функции 7(Х) пересекает ось Х три раза, независимо от значений х». Обозначим через Х» наибольший корень уравнения (И.9.3) и определим функцию Г7(х») следующим образом: а,. +»» ' ' 'н [и (а'. + т))»» (И.9.4) при этом и = О, если х»»и Р»', и =Хо если х» ш У-, О У д — — — 2нра,а,азхд ) —, „. (И.9.5) аьз+»» [Б (а~+»»)1~ ~ Член, содержащий множителем производную д(»/дхн исчезает, так как другой множитель при этом члене есть 7(х», и); при и=1» он равен нулю в силу (11.9.3), при и=О равна пулю производная.
Непрерывность производных»»'л на границе областей»»+ и»» устанавливается, как и для функции У. Пэм по- Если точка х» принадлен»иг поверхности эллипсоида, то уравнение (11.9.3) имеет корень 1=0, причем этот корень будет наибольшим. Действительно, попытавшись построить примерный график функции 1(Х), мы убеждаемся, что два корня уравнения (И.9.3) всегда отрицательны. Ото»ода следует, что Г7 есть непрерывная функция координат.
Вычислим теперь производную дГ7/дх, = (7,. Получим 37б ГЛ. 1!. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ надобятся также вторые производные Пд . Дифференцируя (11.9.4), находим П ь„,= — 2яра,а а, СО б а2+ 1д [П (аа+ 1д))дда хд, 1 ди ад+ и [П (аа + и))~~~ дат ~ (11.9.б)1 Свернув по индексам й и т,получим дддд' = — 2пра,а аз Ю 1 д1Х аз + т, [П (аа + А))21 у хд,и 1 ад, + и [ [П (аа+ и))112 хь Умнонсим на — и просуммируем по индексу й.
Получим аь+ и 2 2 Отсюда следует 1 1 — —, г — диА=О, аид ад+и Интеграл в атом выражении вычисляется; непосредственной проверкой легко убедиться в том, что подынтегральное выражение есть производная по Х от функции 2 [П (а,. + Х)) П2, позтому алрадаааа 1 1 да=, *' '1--.А — 1,). (дддлД [П (22+ и))д1 ~ 2 Если х,~ )д+, то и= О и из (11.9.7) следует дд П = — 4яр, х, ди )дд. Если х, дн У, то и = Х, где Л вЂ” один из корней уравнения (11.9.3). Заменим в нем А через и и продифферепцируем по х„. Получим 377 0 11.10.
ШТАМП В ФОРМЕ ПАРАВОЛОИДА следовательно, правая часть (И.9.7) обращается в нуль и мы имеем 1зУ= О, х,~ И . $ И.10. Штамп в форме параболоида Из формулы (И.9.4) следует, что для внутренних точек эллипсоида потенциал представляет собою квадратичную функцию координат ха Будем теперь сплющивать эллипсоид в направлении оси х, =з, т. е.
будем устремлять к нулю полуось а„одновременно увеличивая плотность р. В пределе мы получим простой слой, распределенный по площади эллипса с полуосями а, = а и а, = Ь. Плотность этого слон Х1 ХЗ т = 2зр = 2ра ~зз 1 — — ' — — '. ' ~/ ° Ьз (ИЛОЛ) Потенциал этого простого дом по формуле (И.9.4) обозначениям координат и слоя получается предельным перехо(здесь мы возвращаемся к обычным полуосей эллипса а, Ь и с) 1(Л. (И.10.2) )~(а + Л) (Ь + Л)Л 1 Г = праЬс~ и Теперь в соответствии с результатами з И.7 мы находим .Г дУ '1 .Г = — т = — 2рс 011 1 — —,— —,.
/=. з~ а' ь' Принимая во второй из формул (И.6.8) Р=У, Озз= — д, на- ходим: Д = — (Озз)*=з =- 4)зРс ~( 1 — —, — —, ° У а Ь Давление д распределено по площади эллипса с полуосями а и Ь, результирующая сила Р найдется интегрированием по площади: Р = — ) Озз И = 2)з ) т 1(Р. Р У Но интеграл от т по площади эллипса равен интегралу от р по Таким образом, действительно формула (И.9.4) представляет выражение для потенциала однородного эллипсоида, получить ее путем прямого интегрирования из формулы (И.9Л) было бы весьма затруднительно. 378 Гл. «ь пРОстРАнственные зАдАчи теОРии упРугости объему исходного эллипсоида, именно с соблюдением этого усло- вия производился предельный переход. Таким образом, тг!у= — р Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
