Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Ортотропное тело Уравнении равновесия плоской задачи при отсутствии объемных снл Оаь з = 0 будут тождественно удовлетворяться, если принять Оаз = 7аь"(авРла (10.6.1) пли О„= РЛ„О„= Р „, Ом = — Ель (10.6.2) Функция Г называется функцией напряжений. Выражая компоненты деформации через напряжения, а следовательно, через функцию г' и подставляя эти выражения в единственное теперь условие совместности нз системы (7.3.5) е„ла+ 億— 2е„„= О, (10.6.3) мы получим единственное дифференциальное уравнение для функ- Э 10.6.
ФУНКЦИЯ НАПРЯ1КЕНИИ. ОРТОТРОПНОЕ ТЕЛО 343 еэз = Е [(1 + Л) пзз — то~1[, (10.6.4) [(1 — Л) О11 — Тпзэ), В обозначениях (8.3.6) — 1 1[- Л 1 у тзз тз1 2 (1+ х) 1 Часто употребляются также следующие обозначения: 1 — Л вЂ” 1 1+Л вЂ” 1 Т вЂ” 1 — 1 1+х : =- с,„— = с,, — = с„— -- с„: = с,, (10.6.5) Е ' Е ' Е ' Е Разрешим соотношения (10.6.4) относительно е„м Получим Е О1Т =-, з [(1 + Л) е,г+ Те„), 1 — Л вЂ” т Е О„=-,, [(1 — Л) еээ + теы) 1 — Л вЂ” т Е о = — е 1+х (10.6.6) Ограничения на параметры анизотропии очевидны. Должно быть 1 — Л' — т')О, х) — 1.
(10.6.7) Заменим теперь в (10.6.4) а„э с помощью (10.6.2) и подставим в (10.6.3). Получим (1+Л)РИИ+ 2(1+ х у)Енэт+(1 Л)Еийм = О. (10 6 8) Решение этого уравнения ищем в виде Р =1(х, + 11ех,). Подставляя это выражение в (10.6.8), находим, что уравнение будет удовлетворено при любой четырежды дифференцируемой функции ции г'. Вся изложенная выше теория, связанная с применением функций комплексной переменной, может быть построена (и строится обычно) на этой основе. Как оказывается, общая теория становится более простой тогда, когда материал анизотропен, изложенная выше теория для изотропного материала представляет собою вырожденный случай.
Рассмотрение произвольной анизотропии не представляет каких бы то ни было принципиальных трудностей, вся техническая трудность состоит в необходимости решения алгебраического уравнения четвертой степени, корни которого, вообще говоря, комплексны. Для приложений нам будет достаточно ограничиться плоской задачей для ортотропного материала.
Будем записывать уравнения закона Рука по отношению к осям упругой симметрии материала следующим образом: 344 Гл. 10. ИлоскАя 3АдАчА теОРии упРуГОсти )(г), если о1 удовлетворяет следующему уравнению: (1 — Л)ез' — 2(1+ х — у) ю'+(1+Л) = О. Решение этого биквадратного уравнения 1+я — т /(1+я — т) т+Л Е1 У вЂ” )( (10.6.9) Для древесины, стеклопластиков, углепластиков и боропластиков, т.
е. практически для всех применяемых в практике ортотропных материалов, значения ез', даваемые формулой (10.6.9), действительны и, очевидно, положительны. Обозначим эти корни ~р т/$+Л и ~д (р)о). Заметим, что рД= 1~ —. Поскольку функция Р должна быть действительной, то общее решение уравнения (10.6.8) может быть записано следующим образом: Р(х„) = Р(г,)+ Р(г,)+ Н(г,)+ Й(г,,), (10.6 10) г, = х, + [рх„г, = х, + л]х,. Полагая 2Р'=~, 2Н'=Ь, по формулам (10.6.2) найдем 2О„= — р'[Г'(г,)+~'(г,)] — д'[Ь'(г,)+ Ь'(г,)], 2О„= ~' (г, ) + ~ ' (г,) + Ь' (г,) + Ь' (г,), 2о„= — 1р(/'(г,) — ~'(г,)] — 1д [Ь'(г,) — Ь'(гг)1 или о„= — р' Ве (' (г,) — д' Ве Ь' (гг), О„= Ве )'(г,)+ Ве Ь'(г,), О„= — р1ш~'(г,)- о11пЬ'(г,). (10.6.11)' Для изотропного тела Л= О, к =т и формула (10.6.9)' дает равные корни, следовательно, р = у = 1 и представление функции напряжений в виде (10.6.10) перестает быть справедливым.
Таким образом, случай изотропии — вырожденный, требующий особого исследования. Это исследование было выполнено другим методом в $ 10.1, поэтому мы только наметим основную идею вы.- вода тех же формул, отправляясь от бигармонического уравнения, Так как е„=и, О ем и, „перемещения и„найдутся, если подставить (10.6.1) в первые две формулы (10.6.4) и проинтегрировать. В результате получаем и, = — [р' (1+ Л) + т] Ве ~ (г,) — [д' (1 + Л) + т] Ве Ь (г,), из — — — [(1 — Л) + трз]1ш~(г1) + — [(1 — Л) + таз] 1шЬ(г,). (10.6.12) д 10.2.
Функция нхпРНЕ1ений, ОРтотРОпное тело 345 которому удовлетворяет функция напряжений: ЛЛг = г1111+ 2г1112 + г гнг = О. ( 10.6.13) Сделаем в этом уравнении замену переменных з=х,+гх,, 2 =- = х, — гх,. В новых переменных бигармоническое уравнение запишется следующим образом: д~х О дг дг Это уравнение интегрируется непосредственно четыре раза подряд по всем аргументам, при этом учитывается, что ЛГ = д х" =4==-о11+ аы(10.1.4) есть действительная величина и сама дг дг функция напряжений также действительна.
В результате получается известная формула Гурса, дающая представление бигармонической функции через две произвольные функции комплексной переменной г = Ц(2) + 2~ (й)+ Ь(з) + 11(х) . (10 6 14) Теперь формулы (10.1 10) — (10.1.12) получаются путем дифференцирования и образования соответствующих комбинаций из вторых производных функции Г с надлежащими переобозначениями, перемещение находится путем последующего интегрирования, как и для анизотропного тела. Возвращаясь к анизотропному телу, сформулируем постановку первой и второй основных задач. Первая задача. На контуре заданы усилия Т,(з) и Тг(з) ° Внесем в выражения Т,=о„п,+о„п„Т,=О„Н,+о,п, величины направляющих косинусов нормали к контуру ох дх п = — ' п 1 =дг~ 2= а также выражения о 2 через функцию напряжений по формулам (10.6.2) .
Получим Их дх дх дх т = — г, — ' — г,,— '= — — (г,). 2 ,12 д ,1 Таким образом, функция напряжений Г должна удовлетворять следующим двум контурным условиям: Г, = 1 т,г) $ = 1„Г,, = — ') тг(12 = — 1,. 346 ГЛ. 10. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Обращаясь к выражению (10.6.10) для функции напряжений, перепишем эти граничные условия для функций )(г,) и Й(гг) (рЦ(г,) — ~(х,)1+ (д(Ь(гг) — Ж(хг)] = 21,(з), (10.6.15) )(г,)+ ~ (х,)+ Ь(х,)+ Б(йг) = — 2)г(з). Вторая задача. Величины перемещений, определяемые формулами (10.6Л2), принимают на границе заданное значение иг б! иг яг в 10.7. Трещина в ортотропной упругой плоскости Упругая ортотропная плоскость растягивается напряжением огг = ог на бесконечности, на отрезке ( — а, а) оси х, сделан разрез. Положим Аг 7'(г )= гз — а / (г ) = Ау г1 — аг, чГ з Для точек действительной оси г~ = хь Имеем при (х,( ) а Ах Ке1' = 1ш)'=О, ~/ хз — а при (х~( ( а Ах Ке| =О, 1шу =— ~/ а — х1~ Функция а(гг) определяется подобным же образом: )г (г ) = В ~/ гз з— а По формулам (10.6.11) находим, что на поверхности разреза хг = О, )х1(( а х 1,, — — О, о, =О, о, =-т= — (рА+дВ) аз — хз 1 Приравнивая нулю величину т, получаем рА+дВ=О, (10.7Л) При г,-ьог и гг- со 1'- А, й'-~-В.
Таким образом, при х,-ьоо оп-ь — р'А — дгВ, огг — А+ В. Если на бесконечности задано растягивающее напряжение огг = ог, то А+В= о, (10.7.2) Решая уравнения (10.7А) и (10.7.2), находим Р ч Р 7 (10.7.3) При этом на бесконечности оказывается приложенным также растягиваю- щее напряжение оп = ртог, чтобы снять его, на нолученное решение на- кладывается равномерное сжатие вдоль оси хь 6 тэл, тРещинА В ОРтптРОпнай УПРУГОЙ пласкасти 347 Вычислим теперь распределение напряжений ап и атт для точек действительной оси вне разреза. Получим х Г о =а 1, а =а рс т — 1 .
(10.7А) ж с . э' ы о х — а ),т х — а У Поскольку нас интересует напряженное состояние в непосредственной окрестности кончика трещины, введем локальную систему координат 2 = = х~ — а, т) = хт. При е << а иа (10.7.4) получаем Кг а =, а = рд —, кд — — а 1г яа. (10.7.5) 0 =агс1я —. При р « а получим т" П Ас Кт д / О , 0 Л Ва Кт 1, / 0 , 0 т )т' ю, = соз — э — тюп э у2~а тт'2лр р — Р~ 2 2) Отсюда по формуле (10.6.11) а =К вЂ” в(п 1 — э)п э р — с ~ )Г 2лр 2 )Г 2лр 2 ~ При $ = О, 0~ = От = и/2 (10.7.6) 3г~~ )/2ят) )l 2 )тр+ )/д (10.7.7) В сечении, проходящем через ось хт, кроме напряжения ам, действует нормальное сжимающее напряжение а (10.7.8) рассмотрим теперь задачу о распространении трещины при сдвиге, Заменяя в выражениях для 7 и л А на 1А, В на тВ, найдем, что граничное условие для а~т на поверхности трещины выполняется автоматически; условия атт= О, х~ ( — а, а) и оп —— тс, ты — ~.оэ приведут к следующей системе: А+В=О, рА+ иВ=те.
В результате вычислений убеждаемся, что на оси х~ касательное напряжение а1т имеет ту же особенность, что в изотропном случае, а именно, а = , Кг — — т )/ла. КП (10.7.9) Коэффициент Кт интенсивности напряжений атт определяется так же, как для изотропного материала, тогда как коэффициент интенсивности напряжений ап отличается от него множителем ро = 7(1 — Л)1(1+ Л). В ортогонально армированном материале опасными направлениями возможного разрушения будут направления осей х1 и хь поэтому мы рассмотрим поле напряжений около кончика трещины более детально.
Положим ~, = 5+трт), т".т= 5+тоц, р, =Э +р т)',р, =а +7'т~ О,=агс18 —, 348 ГЛ. 10. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 5 10.8. Решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье Применение интегральных преобразований позволяет свести задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения искомых функций. Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье; для областей другого вида оказываются удобными другие интегральные преобразования.
Напомним, что в $10.4 были изложены приемы, позволяющие получить относительно простое решение этой задачи; формулы (10.4.2) и (10.4.3) относились к случаю, когда на границе СИ=О, а формулы (10.4.7) и (10.4.6) — к случаю, когда равно нулю нормальное давление ам при х, =О. Таким образом, задача о полуплоскости может быть сведена к определению одной единственной функции 1р(г) по заданным значениям ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь теми примерами, которые были рассмотрены в э 10.4, перейдем к изложению метода интегральных преобразований. Напомним определение и основные свойства преобразования Фурье. Если ~(х) — интегрируемая функция, х1н( —, + ), то ее образом Фурье называется функция действительной переменной р Обратно, если образ Фурье некоторой функции г(р) известен, то сама функция восстанавливается по формуле ~(Х) = = 1 ~(Р) Š— 1Р"1)Р.
$'л / Рассмотрим теперь следующую задачу. Упругая среда заполняет полуплоскость — (х,< О, ось х, есть граница полуплоскости, Для удобства в этом параграфе мы вернемся к обычным обозначениям осей координат, полагая х, = х, х, = у. Пусть на границе задано О„(х, 0) = — д(х), О„(х, 0) = О. Совершенно аналогичным образом можно задать другие граничные условия, выкладки при этом изменятся лишь незначительно и совершенно очевидным образом. Поэтому мы ограничимся рассмотрением задачи с граничными условиями (10.81). 8 10.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
