Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(10ЛЛ2) Кривая в плоскости х„х, задается уравнением х„=х,(г) или в комплексной форме г = г(г), или г = г (г). За параметр г всегда можно выбрать длину дуги этой кривой, отсчитываемую от произвольной точки. Пусть кривая г =г(з) есть след пересечения с плоскостью х„х, цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси х,. Компоненты усилия на атой поверхности равны Т =а„гпг или 7 118 = оо 1гхг о!21)хо 7, 1гг = о,.
1гх, — ом охо г 12.1. ОснОВныв уРАВнения плОскОЙ злдАчп 327 Образуем комплексную комбинацию Т, + 1Т,. Полагая с(хс = 1 = — (ссг + ссг), ссхз = — — (ссг — ссг), получим 2 2 21 (Т, + 1Т,) свз =(а„+ а„) с(г+ (а„— а„— 2а„) с(г или по формулам (10Л.10), (10.1.11) 1(Т, +1Т,)йз =(ср'+ ~р')с(г+(гсра + ф')с(г. Выражение, стоящее в правой части, есть полный дифференциал функции двух комплексных переменных: ср+ гор'+зр; таким образом, 1 ) (Т, + 1Т2) с(з = с(~ + гср'+ зр.
(10ЛЛЗ) Полученные формулы применимы не только к состоянию плоской деформации, но также к плоскому напряженному состоянию, которое характеризуется условиями авв = 0~ ава = О. Такое состояние с иавестным приближением реализуется в пластине толщиной 2Ь, нагруженной силами, лежащими в ее средней плоскости, которую мы примем за плоскость хо х,. Тогда граничные плоскости будут плоскостями х, =~Ь. Если понимать под напряжениями их средние значения по толщине пластины, а именно величины то напряжения <а, ) иа уравнений равновесия выпадут.
Действительно, выпишем первое уравнение равновесия а„, + а~в, 2+ а~в, з = 0 и проинтегрируем его по х, от — Ь до +Ь. При интегрировании третьего члена получим +л 1+л азз,з свхз =. азз 1-л -л но граничные плоскости пластины по условию свободны от касательных напряжений. Таким образом, мы получаем только два Уравнения равновесия, такие же, как в задаче о плоской деформации аав,в О (10ЛЛ4) При написании уравнений (10.1.14) угловые скобки, символизиРующие осреднение по толщине, опущены. 328 ГЛ. $0. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В уравнениях закона Гука мы положим агг = О, поэтому Лд+ 2рге„= 0 (6 = е„+ е„+ е„).
Отсюда находим О= — (е +е )= — О. 2и 2в Л-)-2В ы гг Л+2в Теперь оставшиеся уравнения закона Гука можно переписать следующим образом: оаа = Л Обаз + 2реаю Л* = — ' 2 ' (10.1.1О) Вся дальнейшая теория развивается так же, как в з 10Л для плоской деформации; разница состоит в том, что постоннная Л заменена постоянной Л* и величина и выражается следующим образом: й 10.2. Сила и момент, действующие на контур Коли усилие Т„ задано на замкнутом граничном контуре односвязной или многосвязной области, то по формуле (10Л.13) можно определить главный вектор В, + И, усилий, приложенных к контуру. Действительно, В, + гВ, = ~ (Т, + гТ,) де, ~(В, + И,) = [ф+гр'+ гр! . (10.2.1) отсюда С помощью (10Л.13) представим это выражение следующим образом: М = — Ке~ г Ы(ф+ гф + ф).
Прямые скобки с индексом Г внизу обозначают приращение заключенного в скобки выражения при обходе контура по часовой стрелке. Из формулы (10.2Л) следует, что если область многосзязна и главный вектор сил, приложенных к одному из граничных контуров, отличен от нуля, то функции ф нли ф или и та и другая должны быть неоднозначными. Тело, сечение которого представляет собой односвязную область, должно быть в равновесии под действием внешних сил, поэтому, если во внутренних точках не приложены сосредоточенные силы, В, + РВ, = 0 и функции ф, ф однозначны. Вычислим теперь главный момент приложенных к контуру Г сил по формуле М =- ~ (х, Т, — х,Т,) гЬ = — Ке ~ г (Т, + (Тг) г ггг.
з 10.2. СИЛА И МОМЕНТ, ДЕИСТВУ1ОЩИК НА КОНТУР 329 Выполним интегрирование по частям, заметив при этом„что Ке 21р = Ке 21р, позтому соответствующие члены, появляющиеся при интегрировании, взаимно уничтожаются. В результате получим следующую формулу: М = Ке [) 2Р дг — г 1йР— 221Р' (г))г. (10.2.2) Если область Я, представляющая сечение тела плоскостью г, =О, многосвязная, мы обозначим, как и прежде, наружный контур Г„внутренние Г„.
В частности, контур Г, может быть стянут к бесконечно удаленной точке, тогда область Я представляет собой бесконечную плоскость с отверстиями, ограниченными кон.- турами Г„. Пусть Вм и Вм — составляющие главного вектора Усилий, пРиложенных к контУРУ Гь ФУннЦии 1Р и 1Р, голомоРфные в области сечения Я, должны обладать такими особенностями в области Я„ограниченной контуром Г, и не принадлежащей телу, чтобы при обходе контура Г„выполнялось условие (10,2.1).
В то же время напряжения и перемещения, а следовательно, правая часть (10Л.10), (10ЛЛ1) и (10Л.9) должны оставаться однозначными. Примем 1р = А 1п (г — г,) + 1ро 2Р = В 1п (г — г„) + 1Р,. 2И1(Ах+В)=0, (10.2.3) тогда нан из условия (10.2Л) следует 1(В„+ 1ВМ) = — 2Я1(А — В) . (10.2.4) Находя А и В иа (10.2.3) и (10.2.4), получим 12+ гь 1р(г) = — 1п(г — гд)+ 1р„ к(В ь — юл 1) 2 1 1п(г — гь)+ Если неуравновешенные силы приложены и к друг11м контурам, то соответствующие логарифмические члены просто добавляются к выражениям (10.2.5).
Представим теперь себе, что контур Г1 стягивается в точку, тогда как главный вектор В, + 1В, остается неизменным. Формулы (10.2.5) сохраняют силу, лишь бы было г„жЯ„. В пределе, когда контур Г, стягивается к точке г„, мы получаем сосредоточенную силу в точке г,. Таким образом,-формулы (10.2.5) дают (10.2.5) Здесь 21 — произвольная точка, г„ж Ям 1р, и 1)ч — однозначные функции, голоморфные в Я. Поскольку проивводные от 1р и 1Р однозначны, требование однозначности напряжений удовлетворяется автоматически. Заметим,что [1п(г — г,))г = 2я1, [1п(г — 21))г = = — 2И1. Условие однозначности перемещения приводит к следующему равенству: гл. 1а плоскАя зАЛАПА теОРии упРугостп решение для сосредоточенной силы, приложенной внутри области.
Обратимся теперь к тому случаю, когда область Я представляет собою всю плоскость переменной г, содержащую либо отверстия Я», либо сосредоточенные силы в точках г». В этом общем случае Ж Х «р = ~~ А„1п(г — г») + «ра, «р= ~ В»1п(г — г») + «р . (10.2.6) »=-1 »=1 Здесь «р„ и «Р„ †аналитическ и однозначные в области Я функции. Вне круга радиусом В, заключающего в себе все контуры Г», «р =~«а»г~, «р ==~ Ь„г. (10.2.7) Потребуем, чтобы компоненты тензора напряжений остались на бесконечности ограниченными.
Для этого нужно, чтобы в разложении (10.2.7) исчезли все члены, соответствующие положительным и ~ 2; таким образом, «р,„=- Гг + «р» (г), «рэ = Г'г + «р» (г). Здесь «р» и «Р» — функции, голоморфные на бесконечности. При г- из (10ЛЛО) и (10Л.12) следует о„+ о„=-2(Г+ Г), о„— а,", + 2«о»» = 2Г'. Отсюда Г = — 4 (о„+ о,») + 1С, Г' = — (а,» — а„+ 2«о„). (10.2.8) Что касается величины перемещения при г —, то по формуле (10Л.О) оно равно нулю лишь тогда, когда «к ,,"~~ (В«»+»В,») = О, Г = О, Г = О. »=-1 Это значит, что главный вектор приложенных к телу сил и напряжения на бесконечности равны нулю. Выясним теперь, в какой мере определены введенные функции «р и «р.
Если заданы напряжения, мы отправляемся от формул (10.1ЛО) — (10ЛЛ2). В них входят только производные от функций «р и «р, следовательно, сами функции определены с точностью до постоянных а+»р и а'+ гр' соответственно. Более того, от производной «р' входит только действительная часть, следовательно, сама функция «р определяется с точностью до слагаемого 17г+ «г+1Р. В формуле (10.2.8) опять-таки появляется мнимая константа «С, 331 5 10.3, КРАВВАЯ ДИСЛОКАЦИЯ соответствующая 1т. Таким образом, если задавать напряжения, то функции ~ и ф могут содержать пять произвольных констант т, и, р, а' и р'.
Теперь комплексное перемещение по формуле (10.1.9) определяется с точностью до слагаемого, соответствующего перемещению тела как твердого целого, 1(н — 1) (г + (я — а')+ 1(р — р'). Накладывая определенные связи, например, закрепляя элемент, мы подчиняем пять констант трем условиям, две постоянные по- прежнему остаются неопределенными и их можно зафиксировать произвольным образом. В дальнешпем, если не оговаривается противное, мы будем полагать а =- р = О, следовательно, ~р(0) = О. 5 10.3.
Краевая дислокация При рассмотрении винтовой дислокации (з 9.2) мы встречались с примером сингулярного решения уравнений теории упругости, соответствующего особенности во всех вонах прямой— оси л,. Аналогичным образом можно построить сингулярное решение уравнений теории упругости для плоского деформированного состояния, которому соответствует неоднозначное поле перемещений. Будем называть краевой дислокацией такую дислокацию, для которой вектор Бюргерса перпендикулярен оси дислокации. Это значит, что если принять ось л, за линию дислокации, перемещение при обходе контура, окружающего ось л„получает приращение, равное Ь. Мы предположим, что и, при этом остается однозначным, но это предположение Рис.
10.3.1 не нарушает общности, направление оси х, всегда можно выбрать совпадающим с направлением вектора Ь. Обрааование краевой дислокации можно представить себе так. В бесконечной упругой среде вырезан цилиндр, ось которого есть ось х,. Рассечем среду полуплоскостью, параллельной.оси х, и пересекающей поверхность цилиндра, как покааано на рис. 10.3.1, раздвинем края раареза на расстояние Ь вдоль оси х, и заполним образовавшуюся щель материалом. После того как дислокация создана, никаких следов от разреза не оказалось, материал снова стал сплошным и однородным.
Чтобы найти точное решение поставленной аадачи, мы должны еще удовлетворить граничным условиям на поверхности цилиндрической полости, Вместо этого мы поступим следующим образом. Будем стягивать контур основания цилиндра в точку л„= О. В пределе мы получим уже сплошное упругое пространство, в котором осуществлено некоторое напряженное состояние. Сле- 332 ГЛ.!0.ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ дует ожидать, что на оси х, напряжения обладают особенностью. Для получения необходимой неоднозначности и здесь, так же как при решении задачи о сосредоточенной силе или о внутреннем контуре, несущем неравномерную нагрузку, следует выбрать функции 1р(з) и 1(1(з) содержащими логарифмические члены, но теперь уравнения для коэффициентов при них изменятся, условие неоднозначности перемещений примет вид 2111Ь = 2Л1(ЯА + В), (10.3.1) а в уравнении (10.2.4) нужно принять силу, равной нулю, и мы получим 0 = 2Я1(А — В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
