Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 65
Текст из файла (страница 65)
У тонкостенных стержней, действительно, касательные напряжения могут иметь тот же порядок величин, что и нормальные. В сплошных стержнях касательные напряжения малы, для металлических балок они, как правило, несущественны, поэтому и теория касательных напряжений в таких балках лишена практического значения. Нужно признать, что в течение ряда десятилетий элементарная теория, приводящая к формуле (9.16.1), излагалась скорее по традиции. Реальная область ее применения для металлических конструкций относится к расчету составных балок, подобных тем, которые изображены на рис. 9.16.2.
Касательное усилие в плоскости разъема концентрируется в крепежных элементах — болтах или заклепках — или передается через сварной шов. Расчет деревянных балок, представлявший важность во времена Журавского, утратил свою ак- $2.!2. ЕАсАтельные нАНРяжения пРи изГиБе стеРхтней 321 туальность. Однако проблема определения касательных напряжений при изгибе возникла вновь в последние годы в связи с применением новых композитных материалов, теории которых будет посвящена гл. 20. Поэтому мы изложим здесь схему построения точной теории изгиба, ограничиваясь наиболее важным для приложений случаем, когда сечение балки прямоугольно.
Если балка длиной 1 заделана одним концом и нагружена на другом конце силой, лежащей в плоскости симметрии, мы предположим, что нормальное напряжение изгиба определяется так же, как в элементарной теории, а именно, ( 3) 2 НЗЗ= 1 1 При этом координата х, отсчитывается от заделки. Предположим также, что все компоненты напряжения, кроме о „равны пулю. При этом первые два уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, тогда как третье становится следующим: Рх тх,„+ — ' = О.
1. Здесь, как и ранее принято, с,„= т . Этому уравнению можно удовлетворить, приняв Г1 р 2 т2 ~Р,1 + 1Ь ~2/' 21 Легко проверить, что член, пропорциональный Р, в выражении для т, представляет собою элементарное рептение. Подставив (9.16.3) в уравнения Бельтрами — Митчела (3 8.5), получим Р лр,2=0, лерг= — —. 1+т 11 (9 16.3) Отсюда следует Рх 1 1Р 21 (9.16.4) Для прямоугольника х, = ~Ь, х, = ~Ь граничные условия будут следующими: при х,=~Ь т,=2~2=0, при х,=х=й тт= =2рз =О.
Таким образом, на контуре прямоугольника 2р= сопзФ или 2р = О. Решение уравнения (9.16.4) ищется совершенно таким же способом, как для задачи кручения в з 9.9. Частное решение уравнения (9.16.4), обращающееся в нуль при х= ~Ь, есть 1 Теперь полагаем ~р = 2ро+ та„где д22 — гармоническая функция, удовлетворяющая условиям: 1р, = 0 при х, = ~Ь, 1ро+ тр, = 0 при 21 Ю. Н. Работвов 622 Гл. 9. АнтиплоскАя деФоРИАция, КРучение, изгив л,= ~Ь. Не приводя выкладок, почти буквально повторяющих выкладки з 9.9, запишем окончательный результат р 299(вз /*,' *,~ с, ( ~)ьсЬ(ья 9/ь) ьвзг1 з1п — ' т+у 1 яз ~12 ( ьз Ь ) Ы9 РЗ сЬ(аль/Ь) Ь (9.16.5) Теперь распределение напряжения на отрезке х, =0 будет неравномерным, в центре сечения напряжения уменыпаются по сравнению с величиной, даваемой элементарной формулой (9 16.2). Наиболыпее значение напряжений достигается прн л, = ~Ь, разница по сравнению с элементарным рептением увеличивается с уменьшением ЫЬ, для квадрата она составляет 12,69/9, при ЫЬ= 1/4 эта разница достигает почти 100/9.
Как оказывается, для анизотропных композитных материалов поправка к элементарной теории, даваемая формулой, аналогичной (9 16.5), может быть весьма существенна. ГЛАВА 40 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ $10Л. Основные уравнения плоской задачи Состоянием плоской деформации называется такое состояние упругого тела, когда а) перемещение вдоль одной из осей, например х„ равно нулю и.=О; (10.1Л) б) компоненты перемещения и, и и„а также компоненты тензора напряжений зависят только от х, и х, и =и (хз), ос=се(хз), а, р=1, 2. (10.1.2) Отсюда немедленно следует, что для изотропного тела а„=он = = О. Действительно, деформация еоп например, равна 1 е = — (иьз+ изи) = О, так как и,не зависит от х„ а и, = О.
Для того чтобы в теле осуществить плоскую деформацию, нужно, чтобы граничные условия не зависели от координаты х,. Представим себе длинный цилиндр с осью, параллельной оси х„ на боковой поверхности цилиндра и, =О, так как нормаль к поверхности перпендикулярна оси х,. Если в каждой точке боковой поверхности приложены усилия Т, и Т„лежащие в плоскости поперечного сечения, граничное условие для напряжений имеет вид (10.1.3) оазиз = Та. При этом уже нет необходимости рассматривать всю боковую поверхность, условие (10Л.З) можно считать выполненным на контуре Г любого поперечного сечения цилиндра плоскостью х„ х„например в плоскости х, = О.
Уравнения теории упругости для перемещений и„или напряжений о з образуют замкнутую систему. После решения ее условие из = 0 (и, следовательно, ем = = 0) позволяет определить компоненту напряжения онч а именно, ом = чван Рассмотренная в з 8.12 задача о равновесии длинной трубы служит примером задачи о плоской деформации. Действительно, 21~ 324 ГЛ.
!О. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ На эти формулы можно смотреть как на формулы преобразования координат, поскольку они устанавливают взаимно однозначное соответствие между парами переменных х, и х, с одной стороны, х и й с другой. Любая функция двух переменных х, и х, может быть представлена как функция переменных з и х. Пусть 1(з, х) — такая функция. Если нужно проднфференцировать ее по х, или х„следует применить правило дифференцирования сложной функции. По этому правилу д! д1 д1 д7 .
/ д/ д1'! + =~ дх дх дх дхз (, дх дх! (10.1.4) Оператор Лапласа от функции ) преобразуется следующим образом: дз Л~ = 4=. (10.1.5) дх дх Выпишем теперь уравнения Ламе для плоской деформации, когда из = 0: 1!Ли!= — (А+р)9„р!Аи2= — (Х+р)ОА, О=и„, . Будем считать, что и, и и, представлены как функции от з и х, воспользуемся формулой (10.1.5) и ааменим два уравнения Ламе одним уравнением 4р — ~ = — (Х + р) (Ол + 29л), ш = и! + 1и . (10.1.6) дх дх В з 8,5 было показано, что 9 — гармоническая функция, следовательно, она может рассматриваться как действительная часть аналитической функции комплексной переменной О+И =Пз). Из соотношений Кон!и — Римана О ! =2(!2, 92 = — 2(!! следует О + 29 = Π— 22(!, = г'(2).
накладывая на состояние плоской деформации равномерное растяжение или сжатие в направлении оси х„можно сделать деформацию е„равной произвольной постоянной величине и соответственно сообщить результирующей нормальных напряжений в сечении любое заданное значение. В теории антиплоского напряженного состояния мы убедились, какие удобства связаны с представлением реп!ения через функцию комплексной переменной.
В теории плоской деформации применим аналогичный метод, но соотношения оказываются более сложными. Положим, как обычно, х = Х! + 2Х21 х = Х! — 2х $10.1, ОСНОВНЫЕ УРЛВНЕННЯ ПЛОСКОН ЗЛДЛЧИ 325 Здесь 7 (г) — функция, комплексно сопряженная с 1 (г). Уравнение (10.1.6) принимает вид дг 4р= = — (Л+ р) 1' (г).
дг дг Проинтегрируем обе части по переменной г, получим 4р —,, = — (Л+ р) ~(г)+ б'(г). (10.1.7) Здесь д (г) — произвольная функция комплексной переменной г. Интегрируем еще раз по переменной г и приходим к следующему результату: 4р1о = — (Л+ р)г7 (й)+ д(г)+Ж(г). (10.1.8) Вследствие (10.1.4) можно написать следующие очевидные тождества: дм дш . 7дм дм'1 и1л + йгг 1 —— — + — и — 1и = 1 ( — — =, дг дг ~ 1,г г,г ( дг д-) отсюда получается дм (и,л + иг,1) + 1 (и,л + и,л) = 2=.
дг Следовательно, 0 = и,, + и,, = 2 Ве дп1/дг. 'Таким образом, действительные части выражения (10.1.7) и функции 2ф(г) равны Ве [ — (Л+ 11)7 (г)+ д'(г)1 = Ве 2рУ(г) . Но функции ((г) и ~(г) отличаются только знаком при мнимой части, действительные части их одинаковы, поэтому из написанного равенства следует — (Л+ ф)(г)+ д'(г) = 2р)(г) с точностью до чисто мнимой постоянной. Отсюда Л+ Зр' и формула (10.1.8) принимает следующий вид: 4ри1 = — " гд' (г) + д (г) + Й (г). Эта формула получена Колосовым и Мусхелишвили иным путем, она представляет общее решение задачи о плоской деформации, выраженное через две произвольные аналитические функции комплексной переменной.
Обычно найденное решение записыва- ется в следующем виде: 2)л(и, + 1и ) = х1р(г) — г1р (г) — $ (г), (10.1.9) х= — =3 — 4У. л+ зР Л+е 326 ГЛ. 10. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Функции 1р и 1)1 отличаются от д н Й лишь постоянными множителями, а именно, Ь ч= ° 2к' 2 Такое представление удобно в том отношении, что формулы для напряжений оказываются не содержащими упругих констант. Из формул закона Гука о„= ЛО+ 2иис „о., = ЛО + 2ииь, следует о„+ о„= 2 (Л+ и) О, но 0 = Ве) (г) = Ве — я' = —, Ве 1Р'.
2 Л+Зр Л+ и Таким образом, о„+ о„= 4 Ве 1р'(г). (10Л.10) Рассмотрим теперь следующую комплексную комбинацию из компонент тензора напряжений: о„— о„— 21ои = 2д(и,, — и,, — ш,, — ш,,). Произведем перегруппировку членов в правой части дм дм д1х — и„л — 1и, л — — — — = — — — =, дх дг .дв д1х дм и,л — гиг,г — — — 1 — = — — =. дх дг Таким образом, о,г — о„— 2йг„= — 2= =2(гр" (г)+ 1у'(г)) (10ЛЛ1) дг и аналогично о„— о„+ 21огг =- — 2 — = 2(г1р" (г)+ 1)1'(г)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
