Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Выписанное граничное условие можно проинтегрировать но дуге. В результате получим а+ а Р = (аО ' '+ С, х ~ Г, (9.7.3) тогда как функция Р— гармоническая, АР =О. Таким образом, задача о кручении оказалась сведенной к задаче Дирихле. Формулы для т, н т, можно переписать следующим образом: дд' да (9.7.4) Здесь ха + ха Р = Р— (аб —. а 2 Поскольку Р— гармоническая функция, функция д', называемая 294 Гл.
э. АнтиллоскАя деФОРМАция, кРучение. изгив функцией напряжений, удовлетворяет уравнению Пуассона Ьг" = — 2~ай, (9.7.5) тогда как граничное условие (9.7.3) заменяется следующим простым условием: г" = С„х„~ Г„. (9.7.6) В этой записи учтена возможность того, что область поперечного сечения многосвязна и граница ее состоит из ряда контуров Г„. Если сечение односвязно, то постоянную С на единственном контуре Г можно выбрать по произволу, например, положить С=О. Для многосвязных областей далее будет установлено правило, позволяющее назначить постоянные С,. Заметим, что формулам (9.7.4) можно придать симметричный вид, а именно, (9.7.7) Здесь тензор 7„э определен в пункте (и) а 7Л.
Встретившийся здесь прием введения функции напряжений с помощью (9.7.4) или (9.7.7) носит совершенно общий характер. При построении теории сложного сдвига и кручения можно было принять за отправной пункт не кинематическую гипотезу $9.6, а уравнение равновесия (9.1.2) вместе с предположением о равенстве нулю всех остальных компонент напряжения. Представляя т, и т, как производные от функции г', мы удовлетворим уравнению равновесия. Из (8.5.8) следует, что при равенстве нулю остальных напряжений как т„так и т, — гармонические функции. Отсюда следует Ьг' = сопз1. Вычисляя теперь перемещения, мы убеждаемся, что это как раз та константа, которая фигурирует в (9.7.5). Нам осталось показать, что решение задачи в любой из трех эквивалентных формулировок действительно относится к кручению призматического стержня парой сил, приложенной на торце.
Прежде всего необходимо проверить, что результирующая внутренних сил в сечении равна нулю, это значит, что (9.7.8) Запишем первое условие следующим образом: д~ дх,ЫЕ, = — О. э дзз Зтот интеграл преобразуется в контурный, следовательно, должно з зл, кгучвние некгуглых стегжнеи 295 быть На каждом из контуров, образующих границу площади сечения, Р = сопз1, следовательно, выносится из-под знака интеграла. Оставшийся интеграл за = ~ ~Ь = О. Аналогично доказывается выполнение второго условия (9.7.8).
Вычислим теперь момент внутренних сил в сечении М.= ~ (т,х, — т,хз) оЯ = — ~ (х„Р, + хзР,) гБ. 3 3 Перепишем это следующим образом: М = — ) [(х,Р)л+ (х,Р),) НЯ+ 2 ~РЙЯ. Первый интеграл преобразуется в контурный, а именно, — [ Р (х,п, + х,пз) Нг = — ~чз~ Сь ~ (х,п, + хзпз) гЬ. г гд Здесь сумма распространена на внутренние контуры, на внешнем контуре Г, можно зафиксировать значение С,=О. Интеграл ~ (х,п, + х,п,) гЬ = ) (хздх, — хатха) =. 2йю г„гь где й, — площадь, ограниченная контуром Г,. Итак, (9.7.9) Для односвязной области в этой формуле остается только интеграл Следует заметить, что, строго говоря, напряженное состояние (9.7.4) будет осуществлено лишь тогда, когда на торцах стержня приложены внешние нагрузки, определяемые этими формулами.
Однако мы ограничились составлением условия равенства нулю главного вектора и равенства заданной величине М главного момента усилий на торцах. Вследствие принципа Сен-Венана, разъясненного в з 2.1, практический способ приложения кру- 298 Гл. 9. АнтиплоскАя деФОРмАция, ИРучГник, изГиБ тящего момента сказывается лишь вблизи торцов.
Начиная с некоторого расстояния, порядок величины которого равен порядку поперечного размера, распределение напряжений будет соответствовать построенному решению. з 9.'8. Теорема о циркуляции касательного напряжения. Тонкостенные стержни замкнутого профиля Циркуляция вектора касательного напряжения по замкнутому контуру 7, целиком лежащему внутри области, занимаемой поперечным сечением, определяется следующим образом: Х = ~ (т,Их, + тздхз). т Подставляя сюда выражения для напряжений по формулам (9.7.1), получим Х = ~ [Ы~ — пб (х Ы~, — ~,Ы~ )].
Функция и(г) представляет собою перемещение в направлении оси х„при отсутствии дислокации Я 9.2) зто есть однозначная функция координат, следовательно, ~ ди = О. Таким образом, Х = ЦО ~ ( — х г)х, + хатха). Этот интеграл уже встречался нам в з 9.7, он представляет собою удвоенную площадь й, ограниченную контуром 7, поэтому Х = — 20~Ай. (9.8.1) Формула (9.8.1) и составляет содержание теоремы о циркуляции касательного напряжения. Если сечение односвязно, формулу (9.8.1) можно получить сразу, применив теорему Стокса, но в этом случае формула выражает тривиальный факт и не представляет интереса. Для многосвязной области, если контур 7 содержит в себе один или несколько граничных контуров, формальное применение теоремы Стокса не приведет к формуле (9.8 1), которая выражает некоторые дополнительные требования, а именно — требование однозначности перемещения.
Действи- 297 Ь 8.8 ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ тельно, можно представить себе функции и(х,), содержащие в себе члены вида (9.81), т. е. винтовые дислокации с особенностями, помещенными внутри отверстий. В атом случае перемещение не будет однозначным и формула (9.8.1) окажется неверной. Представим себе, например, трубу, изображенную на рис. 9.2.1.
Ее разрезали вдоль образующей, сдвинули края разреза на величину Ь и сварили, как было разъяснено в 9 9.2. В трубе возникнут касательные напряжения, существующие при отсутствии внешних сил. При обходе по замкнутому контуру перемещение получает приращение, равное Ь, и формула (9.81) перестает быть верной. Рассмотрим кручение стержня с многосвязным сечением при отсутствии дислокаций.
Положим С = 0 на наружном контуре. Если зафиксировать Рве, 9.8.2 Рис. 9.8.1 константы С, на внутренних контурах по произволу, решение уравнения (9.7.5) при граничных условиях (9.7.6) всегда можне построить, но этому решению, вообще говоря, будет соответствовать неоднозначное перемещение. Для того чтобы перемещение было однозначным, необходимо выбрать надлежащим обрааом константы С,. Составляя условия (9.8.1) для всех возможных контуров, не 'преобразующихся один в другой путем непрерывного деформировапия, мы получим необходимые уравнения для определения констант С,. Проиллюстрируем метод на примере задачи о кручении тонкостенного стержня замкнутого профиля, например такого, который изображен на рис.
9.8.1. Штрихами показана средняя линия профиля, образующая систему замкнутых многоугольников, занумерованных цифрами 1, 2, 2, 4, б. Внешнюю область мы будем обозначать индексом нуль. Участок профиля между многоугольником 1 и многоугольником 2, например, мы будем обозначать двойным индексом 12. Рассмотрим стенку гз, изображенную от- 298 гл. 2. АнтиплоскАя деФОРмАция, ЕРучение, изгив дельно на рис, 9.8.2, а.
Выберем локальную систему координат х, у так, как это показано на рисунке. Толщина профиля Ь есть величина переменная, но она меняется медленно. Ось стенки криволинейна, но радиус кривизны ее велик по сравнению с толщиной Ь. Поэтому мы заменим действительную стенку той, которая изображена на рис. 9.8.2, б, она ограничена параллельными прямыми, которые простираются бесконечно далеко. В этом случае функция напряжений не зависит от х, уравнение (9.7.5) становится следующим: лг, х 2 — = — 2)29 у (9.8.2) а граничное условие Р ~ — ) С„Г(- — ) С„.
Решение уравнения (9.8.2) будет следующим: С„+ С„С,— С„! Ь2 Р= — ""+ ' "у+до~~ — — е). 2 ь (, 4 Отсюда 1 'гу = О, тх = — (Сх — Сг) — 2(гну. Второй член, линейно зависящий от у и отражающий неравномерность распределения напряжений по толщине стенки, в технической теории отбрасывается и касательное напряжение считается постоянным 1 т„= т = — (С,— С„). ь (9.8.3) Величину Ь в формуле (9.8.3) следует считать переменной— функцией дуги профиля Ь= Ь(г).
Это изменение настолько медленно, что при выводе формулы (9.8.3) мы сочли воэможным с ним не считаться. Отброшенный член в выражении для т достигает максимума при у = Ь/2, величина его равняется при атом )29Ь. В дальнейшем мы покажем, что действительно рдЬ Е вЂ” ' 2 и сделанное упрощение на самом деле оправдано. Для дальнейшего нам понадобится выбрать определенное правило энаков.
Расставим предположительно стрелки, укааывающие направление касательного напряжения, как это сделано на 299 $2.8. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ рис. 9.8.1. Совместим ось х с цредположительиым направлением т. Теперь ось у будет указывать па ту область, индекс которой в формуле (9.8.3) нужно поставить на первое место (индекс 8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
