Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Заметим, что из формул для перемещения и напряжений (9.2.1) и (9.2.2) нельзя сделать заключения о том, в каком именно месте был произведен разрыв и последующая сварка. Это— общее свойство дислокаций типа Вольтерра, к которому принадлежит винтовая дислокация. Вычислим теперь энергию винтовой дислокации, приходящуюся на единицу длины цилиндра. Для этого существует два пути. Первый путь состоит в том, что мы берем выражение для удельной энергии У = — (11+ 12) и интегрируем его по объему.
2Р 1 Второй, более простой, основан па применении теоремы Клапейрона. Представим себе, что труба разрезана с одной стороны полуплоскостью х,ОЕ2. Чтобы удержать поверхность разреза на месте, к двум его сторонам нужно приложить продольные касательные усилия Т = т = — —. Будем смотреть наусилие Ткак рз 1 2 2з з 1 $ З.Э. ТРЕЩИНА ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА 283 на внешнюю силу, приложение которой создано дислокацией, т.
е. вызвано относительным смещением поверхностей разреза на величину Ь. Тогда, по теореме Клапейрона и 3 с Величина энергии стремится к бесконечности при Л- и при с- О. Первое кажется естественным, второе же лишний раз подчеркивает, что для сплошного тела решение, соответствующее линейной дислокации, физически невозможно, оно непригодно для ядра дислокации и оценка энергии ядра должна производиться на основе каких-то других соображений, выходящих за рамки линейной теории упругости.
з 9.3. Трещина продольного сдвига Рассмотрим функцию комплексной переменной -! . в . 9) ш(г) = 3 Уг = г г~ — з1п — + 1соз — ь 2 2 /' Посмотрим, какому решению антиплоской задачи соответствует зта фуннция. Действительная часть ее с точностью до множителя, о котором мы пока не заботимся, есть перемещение Неш(г) = — )г г зш 2 При 9 = я Не ю(г) = Уг, при 0 = — и Ве ю(г) = Уг; таким образом, на отрицательной полуоси х, перемещение претерпевает Рвс. 9.33 Рис. 9.3.2 разрыв.
Нужно представить себе неограниченное упругое пространство, разрезанное по полуплоскости х, = О, х, ( О ',(рис. 9.3Л); края разреза получают перемещения в направлении оси х, в противоположные стороны, величина перемещения пропорциональна корню квадратному из расстояния от края трещины (рис. 9.3.2). Выясним теперь, каное при этом будет напряженное состояние и какие внешние силы нужно приложить к телу.
Производная 234 Гл, э. АнтиплоскАЯ деФОРМАция, кРучение, изГиБ функции ю(г) /. е . в~ ю' (г) = — = = (яш — + 1 соя — ~. 2 )/г 2 )/р(, 2 2! (9.3.2) При О=~я выражение ю'(г) действительно, следовательно, по формуле (9Л.5), напряжение т, равно нулю и на поверхности разреза никакие силы не приложены. Очевидно, что функцию ю(г) можно умножить на любую постоянную. Обозначим эту постоянную — КУ2/я и выпишем решение ю(г) = — Кя~ — „ (9.3Л) К /2.Е и = — г — ярл —, г 2 ' т = — = яш — т = =соя — ° (9.3.3) к . в к е (/2гг 2 ' )/2лг Единственный параметр, фигурирующий в решении, это величина К вЂ” коэффициент интенсивности, имеющий раамерность силы, разделенной на длину в степени 3/2.
Существенно в этом решении то, что напряжения обращаются в бесконечность при г = О. То же самое было и в случае дислокации, однако здесь особенность более слабая, а именно вида 1/Уг, тогда как для дислокации особенность была вида 1/г. Проделанное исследование может оставить впечатление некоторой искусственности.
Действительно, остается неясным, как можно на самом деле осуществить состояние, описываемое (9.3.1, 9.3.2). Рис. 9.3.3 Реальный смысл полученного ре- зультата заключается в следующем. Представим себе упругое тело конечных размеров в плоскости хо х„содержащее трещину конечной длины (рис. 9.3.3). Тело подвержено действию произвольной системы внешних сил.
Нужно, конечно, помнить, что мы рассматриваем антиплоское напряженное состояние, значит тело представляет собой бесконечно длинный цилиндр. Трещина или щель имеет бесконечную длину в направлении оси х, и на рис. 9.3.3 изображено любое поперечное сечение этого цилиндра. Внешние силы, приложенные к боковой поверхности цилиндра, а воаможно и к поверхности трещины, параллельны оси х, и поэтому не изображены на рисунке. В результате решения, более или менее сложного, мы можем найти распределение напряжений во всех точках сечения. При атом обязательно окажется, что по мере приближения к концу 9 9А.
ТРЕЩИНА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ трещины напряжения неограниченно растут. Если направить оси координат так, как показано на рис. 9.3.3, т. е. ось х, по касательной к оси трещины, и поместить начало координат в конце трещины, то формулы для напряжений будут обязательно иметь вид т = — з1п — + ... г, ==сов — + ... (9.3.4) в к в Мы ничего не можем сказать в общем случае о структуре дополпительпых невьшисанных членов в этих разложениях, кроме того, что они остаются конечными при г=О.
Значит при до статочно малых г выписанные главные части в формулах для напряжений преобладают и только они имеют значение. Коэффициент интенсивности К будет зависеть от формы сечения, формы щели и внешних нагрузок; он находится в результате решения задачи теории упругости. При этом полное решение задачи обычно и не интересует, основная цель состоит как раз в нахождении коэффициента интенсивности. $ 9.4. Трещина конечной длины Рассмотрим теперь уже реальную задачу о напряжениях в теле, содерюкащем трещину. Будем считать тело неограничепным; на бесконечности задано т, = О, т,=т,.
Трещина занимает отрезок действительной оси хю ш1 — с, с) (рис. 9.4А). Рассмотрим функцию комплексной переменной лю — АюУгю сю (9.4.1) Для точек действительной осп 'г' г' — с' = )/ хг ~— с будет действительным, если 1х,! ~ с, и чисто мпнмым, если !хю! (с. Поэтому действительная часть функции лю(г,) равна нулю вне трещины и равна ~ А~/ с' — хю на берегах трещины; значения ее на верхнем и нижнем берегу в соответствующих точках равны по величине и противоположны по знаку. Производная функции пю(г) ю'(г) = (9.4.2) )~ г — с Прп г=г, величина ию'(г) будет действительной, если (х,) (с; поэтому вследствие (91.5) на берегах трещины т,=О, поверхность трещины свободна от напряжений.
Осталось проверить условия на бескопечности. При г — пю'(г)- Ай Таким образом, должно быть А1 = Π— ют,. Следовательно, А = — тю. (9.4.3) Итак, формулы (9.4.1) — (9.4.3) дают решение поставленной задачи. Отделяя действительные и мнимые части, мы могли бы 239 гл. с. антиплоская двэогвгация, кгтчкнин, изгив выписать полные выражения для перемещения и, и напряжений т„т,. Мы ограничимся исследованием напряженного состояния вблизи одного из концов трещины, например правого. Поместим на правом конце трещины начало вспомогательной системы координат $, ц, положим ~ = ре" (см.
рис. 9.4.1). Тогда э=с+ьи и = — т,вУ2с~+ ~'. Разложим это выражение в ряд по степеням ь. Получим и = — втс ~ 2с~ (1 + 4с + ' ')' Для наших целей нет нужды выписывать следующие члены степенного ряда в скобках. Существенно то, что первый член содержит ~"*, второй ~'~', треХ2 ! тий ~"' и так далее. При по- членном дифференцировании только первый член будет содержать ь в отрицательной степени, а именно ь "', все остальные члены будут положительными степенями ~. Следователь- но, при ~- 0 все члены разлоРис. 9.4Л жения для и'(ь) будут стре- миться к нулю, кроме первого, который стремится к бесконечности. Поэтому в окрестности конца трещины нам достаточно только первого члена, а именно, и(~) = — вт,У2с~.
(9.4.4) Сравнивая с (9.3.1), убеждаемся, что (9.4.4) и (9.3.1) тождественно совпадают, если принять К = тсуяс. (9.4.5) Выражения для напряжений вблизи конца трещины, соответствующие приближенному выражению (9.4.4), даются формулами (9.3.3); если вычислить точные значения т, и тм то их выражения необходимым образом будут иметь структуру формул (9.3.4) . в 9.5.
Освобождение энергии при раскрытии трещины Обозначим через П, упругую энергию тела, подверженного действию некоторой нагрузки и не содержащего трещины. Если в теле образовалась трещина, например прямолинейная длиной 2с, энергия тела изменится и будет равна Г Кажется очевидным, что У< У„появление трещины уменьшает упругую энергию. Имея дело с антиплоским напряженным состоянием в бе- о 9.5.
Освовождение энеРГии ИРи РАскРытии тРещины 2Е7 сконечно длинном цилиндре, мы будем понимать под Уо пли У энергию, приходящуюся на единицу длины в направлении оси хо. Оценить разницу между У и Уо можно из очень простых соображений. На достаточно большом расстоянии от трещины касательное напряжение постоянно и равно т„следовательно, энергия на единицу площади поперечного сечения есть то/(2)1), В окрестности трещины напряжения в среднем уменьшаются, значит удельная на единицу площади энергия меньше чем т',/(29).
Площадь разгруженной части около трещины необходимым образом имеет порядок с', так как никакого другого линейного размера, кроме с, в условиях задачи не содержится. Итак, тосе ~т гт о (9.5.1) В этом рассуждении не все строго. Если тело имеет конечные размеры, то в оценке (9.5 1) фигурирует, кроме длины, еще и некоторый характерный размер тела. Вообще говоря не очевидно, что при безграничном увеличении размера тела при фиксированной длине трещины разность Ус — У стремится к конечному пределу. При фактических вычислениях мы будем исходить из решения (з 9.3), полученного для бесконечного упругого пространства. Самый прямой и, казалось бы, естественный путь вычисления величины К вЂ” (1 заключается в следующем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
