Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Так, на стенке 21 на стенке 34 1 т„= ~ (С,— С,) и так далее. Для определения констант С, применим теорему о циркуляции. Пусть 18'„П„..., П, — площади многоугольников с соответствующими индексами. Тогда беря, например, контур, окружающий многоугольник 1, получим по формуле (9.8.1) (С, — Са)) — + (С, — С,) ) — — (С, — С,) ) — „=- — 299121. (9.8.4) 12 12 01 При этом положительным считалось направление обхода против часовой стрелки и учитывались предположительно выбранные направлепия т на каждом участке. Уравнение, подобное уравнению (9.8.4), можно написать для каждого контура, окружающего один или несколько многоугольников; число таких уравнений будет равно числу неизвестных констант (величину С, можно зафиксировать по произволу, например принять С, = 0) .
Решая систему уравнений, подобных (9.8.4), мы найдем, что каждая из величин С, имеет порядок йа С, — рб — рбмк. А Здесь Ь вЂ” характерный линейный размер степки. Поэтому определяемая формулой (9.8.3) величина т имеет порядок рдЬ, тогда как отброшенный в выражении для т член, как мы видели, имел порядок рбй; таким образом, ошибка, происходящая от его отбрасывания, имеет порядок 11/Ь « 1, если стержень действительно тонкостенный. Теперь нам.осталось вычислить крутящий момент. С принятой степенью точности М = — 2~ СА182. (9.8.5) Второй член в формуле (9.7.9), представляющий собою удвоенный интеграл от фупкции напряжений цо площади сечения, при данной степени приближения следует отбросить. 9()9 гл. 2. АнтиплоскАя деФОРИАция, КРучение, изгив з 9.9. Простейшие задачи о кручении Рассмотрим некоторые задачи теории кручения, решаемые относительно элементарными средствами.
Прежде всего, если мы выберем произвольную функцию Г, удовлетворяющую уравнению (9.7.5), то условие Р= сопзь определит контур того сечения, для которого функция г" дает решение задачи кручения. Конечно, набор сколько-ниб)пгь полезных решений такого типа ограничен, однако некоторые случаи оказываются интересными. а. Кручение стержня эллиптического поперечного сечения. Положим Х1 а2 ~ (х„х,) = — + —, — 1. а Тогда В соответствии со сказанным выше функция азЬ2 1 22 22 Р= рб' ~'+ ' — $ а+Ь ~,а Ь (9.9Л) решает задачу о кручении стержня, сечение которого есть эл- липс 22 — + — = $. 1 2 аз (9.9.2) Касательные напряжения выражаются следующими формулами: аа 2 Ь а1 2 с = — 2рб — ', тз = 2рд — ' а+Ь а+Ь (9.9.3) Абсолютная величина вектора касательного напряжения равна УРР'~ ь"' т = 2рб аз+ Ь У ( 2 Ь2) а + Ь4 т = 2рба 2 ( Ь2 Видно, что величина т монотонно растет вместе с ха и х, 'иа следовательно, не может достигать максимума внутри области, наиболыпее значение т достигается на контуре.
Исключая иэ выражения т, например, х„с помощью условия (9.9.2) нахоДим, что на контуре 1 9.9. ИРОстейшие 3АдАчи О ИРучГнии Положим для определенности а) Ь, тогда т достигает максимального значения при х, = Ь, а именно, а тшах = 2рб — ° а +Ь Вычислим теперь крутящий момент, интегрируя Р по площади эллипса, 2 2 / М = 2)аб — ) ~ — + — — 1) дх,дха = (Аб —, (9.9.4) а Ь Г 7 ха аа ) 2ш'Ьа а +Ь,~ ~да Ь ) а -(-Ьа Из результатов этого параграфа получаются как частный случай известные уже результаты для стержня кругового сечения. б. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения. Пусть сечение стержня есть прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь, Ь)а.
Примем за оси х, и х, оси сим- ха метрии сечения, как показано на рис. 9.9.1, и положим Р = ~а~~~ Уп(Х2) СОЗЛпХ„Лп = — 9 (9.9.5) При таком выборе функции напряжений граничное условие при х, = ша будет автоматически выполнено. Кроме того, эта функция четна относительно х„следовательно, дПдх, нечетна по этой же переменной, напРЯжениЯ т, в точках «2 и Ме Расположенных симметрично по отношению Рнс. 9.9.1 к оси х„ равны по величине и противоположны по знаку. Подставим (9.9.5) в условие (9.7.5). Получим Х (1 и ЛпУп) соя Лпха = — 2(аб. 9=0 а'множим обе части этого равенства на созЛ„х, и проинтегрируем по х, в пределах от — а до +а. Заметим, что +О +а созЛдхасоз3 х,дх, = абд, ) созЛдх,дх, = г(-1)д Хд а -а Поэтому для функций У„получается следующая последовательность дифференциальных уравнений: 2 ( — 1) Уд — ЛАУд — — 499 —.
ах, 5 аа пРОстейшие 3АдАчи О кРучении зоз граничному условию при х, = ~Ь, а именно, Г (х„~ Ь) = рд (а' — х,') + ~', А„сй Л„Ь соз Л х, = О. Умножим на сов Л,х, и проинтегрируем от х, = — а до х, =+а. В результате получим Аа = 4рб( — 1)" аЛзсЬЛ Ь Окончательная формула для Г принимает следующий вид: Р=- рд~аз — х, + 4 7, — — "' созЛ„х, . (9.9.7) На сь Лах аЛЬ са Лаь Ряд (9.9.7) отличается от ряда (9.9.6) тем, что часть его просуммирована. Последнюю формулу можно было бы получить и путем прямого преобразования (9.9.6); мы специально привели два различных решения одной и той же задачи для того, чтобы проиллюстрировать полезный прием, применяемый при интегрировании линейных дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье; прежде чем отыскивать решение е виде ряда, выделяется некоторое частное решение, обычно полипом. Ряд в формуле (9.9.7) представляет собою некоторую поправку к полиномиальному решению, этот ряд сходится весьма быстро, особенно если Ь»а, и допускает дифференцирование, необходимое для определения т, и т,.
Не выписывая здесь легко получающиеся из (9.9.7) формулы для крутящего момента и касательных напряжений, представим их в следующем виде: М = й~рд(2а) 2Ь, трах = . (9.9.8) Ь, (2а) (2Ь) Коэффициенты й, и й, зависят от отношения Ь: а, значения их, рассчитанные Сен-Венаном, приводятся в следующей таблице: гл. е.
лнтиплоскля дкюогьглция, кгьчкник, пзгггн 9 9.10. Теорема о максимуме касательного напряжения. Угловые точки На примере стержня эллиптического сечения мы убедились в том, что касательное напряжение достигает максимума в точке, принадлежащей контуру сечения. Если решение представлено в виде ряда, как например для прямоугольного сечения, то сделать подобное заключенйе, основываясь непосредственно на анализе найденного решения, аатруднительно.
Однако, опираясь на известные свойства гармонических функций, можно доказать, что величина касательного напряжения не может принимать максимального (так же как и минимального) значения во внутренней точке области, следовательно, наибольшая величина достигается на контуре. В теории гармонических функций существует теорема о том, что гармоническая функция не может иметь экстремума внутри области, а 1 эту теорему мы считаем известной и будем на нее опираться. Пусть в некоторой точке о, области сечения М касательное напряжение д есть т. Направим ось х| параллельно вектору т в точке М, тогда тох = т = Иудхь Поскольку г" удовлетворяет уравнению ПуассоРис. 9ЛО.! на, др/дхг есть гармоническая функция, которая поможет принимать экстремальное значение во внутренней точке области своего определения.
Поэтому в окрестности точки М всегда найдется такая точка 0, для которой тю ) тпю Но абсолютная величина касательного напряжения т = р~ тг+т Ъ тд, поэтому го ) тпю Таким образом, доказано, что ни в одной внутренней точке области касательное напряжение не может достигать максимума (так иге как и минимума) . Что касается поведения касательного напряжения на контуре сечения, некоторые особенности могут возникнуть тогда, когда контур имеет угловые точки. Полагая и(з) = и+1е, как это было сделано в 1 9Л, мы удовлетворим условию того, что функции и(х ) и и(х„) — гармонические сопряженные. Формулы (9.7Л) или аквивалентные им (9.7.2) могут быть переписаны следующим образом: т = т~ — 1тг = о'(г) — 1дбк (9ЛОЛ) Теперь граничное условие для комплексной функции кручения запишется следующим образом: 1 Ршх= 2 Разз+Сю з =Рь.
(9.10.2) Пусть точка 0 контура представляет собою угловую точку, касательные к контуру образуют в этой точке угол а (рис. 9.10.1), Если а ( я, как изображено на рисунке, будем называть угол выступающим, если и ) я— входящим. Продолжим касательные и рассмотрим вместо реального сечения область в виде угла, образованного касательными, направим ось х вдоль одной иэ сторон угла. Характер особенности в точке 0 от такой аамены, очевидно, изменяется. Функция з б 9.!!.
концентРАция нАпРяжении пРи кРучении 995 удовлетворяет условию (9Л0.1). Действительно, 1 сое (20 — 00) 1в! ио — 2 ро соасс Г + Сд (а= га ). При 0=0 и О=и1ши = 2 ег +СА, что соответствует выполнению ус- Р 9 о 2 лозин (9.10.1). К функции ие может быть добавлена аналитическая внутри угла функция и1, обращающаяся в нуль на сторонах угла 0 = 0 и 0 о. Представим вту функцию в виде ага и = ччаа а=х (9.10.3) Если аь — веп(ественные числа, 1ш и! = 0 при 0 = 0; чтобы выполнялось условие 1ш и! = 0 при 0 = а, нужно, чтобы было а(т Лаа = О, следовательно, Л = и/о.
Чтобы удовлетворить условию (9.10.2) в ряде (9ЛО.З), следует сохравить только положительные степени 9", так как и!(0) = О. По формуле (9.10Л) с = т! — Нтт = )га!Лаь-1 + ... Для выступающего угла а ( я, следовательно, Л > 1 и т(0) = О. Для входящего угла сс > я, следовательно, Л ( 1 и т(0) = 00. 9 9Л1. Концентрация напряжений при кручении Пусть задача кручения решена для некоторой области о (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
