Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 62
Текст из файла (страница 62)
9.11.1,а). Рассмотрим теперь стержень, сечение которого представляет плоскую область О', которая отличается от области о' наличием концентратора напряжений. Так называется, например, канавка на поверхности стержня (рис. 9Л1.1, б) или внутренняя цилиндрическая полость, пересекающая плоскость сечения по контуру ( (рис. 9.11.1, в). Концентратор напряжений не должен образовывать входящих углов. В противном случае, Рис. 9.11Л по-предыдущему, касательное напряжение в угловой точке равно бесконечности, и задача о концентрации напряжений становится беспредметной. Будем считать, что концентратор напряжений мал.
Это означает следующее. Проведем окружность наименьшего радиуса б, 20 Ю. Н. Работвов ГЛ. О. АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕДШЕ, ИЗГИБ 1ши(г)=С, 2~1+Г, тд — дто = и (2). (9.11 1) (9 11.2) При этом и'(оо) = тд — дтго. Рассмотрим задачу о концентрации напряжений около полости, имеющей форму кругового цилиндра радиусом а. Поместим начало координат в центре кругового сечения полости; таким образом, на контуре 1 г = ае". Положим а 1(г) =- г+ —. При г =ае" /(аедо) = 2а соз 8. Следовательно, 1ш1 = О при г дя 1. Итак, функция )(г) удовлетворяет граничному условию (9.11.1).
Далее аг 1'(г) = — 1 — — д, д'(оо) = 1. Не нарушая общности, можно потребовать, чтобы при г = оо было т, = т, =- т, т, = О, поэтому функция о и:= т~2+ — ~ (9.11.3) полностью заключающую в себя концентратор. Проведем окружность радиусом р с тем же центром. Такую же окружность проведем в сечении стержня без концентратора, она выделит из области Я область од, ограниченную или одной окружностью радиусом р, или дугой окружности радиусом р и частью дуги контура Г области Я, как показано на рис. 9.11.1, б, е. Концентратор считается малым в том случае, когда выполнены следующие условия. а.
Решение задачи кручения для области Я дает в области ю о о значения т, и т„мало отличающиеся от постоянных т, и то б. Характерный размер концентратора мал по сравнению с размером области 6 « р. Тогда задача о концентрации, напряжений при кручении может быть заменена задачей о концентрации напряжений при антиплоской деформации для бесконечного или полубесконечного тела. В этом теле сделана цилиндрическая полость или о о вырез с края, напряжения т, и т, стремятся к тд и т, при х„х,, стремящихся к бесконечности, поверхность полости или граничная поверхность в случае полубесконечного тела свободны от напряжений.
Для определения комплексной функции кручения, мы имеем з 9.11, конпентРАция КАНРЯ)кении НРи кРучении ЗО7 решает поставленную задачу о концентрации напряжений около круглого отверстия. Из (9.11.3) следует а т,— 1тз = г 1 — — 9(. (9.И.4) Максимальное значение касательного напряжения в согласии с теоремой з 9.10 достигается на контуре отверстия, т. е.
при г = ае". Подставляя последнее выражение в (9.11.4), получим т,=т(1 — сов 20), т,=тзш20. Наибольшая величина касательного напряжения получается при 0 = ~ л/2, а именно, тш.х = 2т. Множитель, показывающий во сколько раз максимальное напряжение больше, чем напряжение на бесконечности, называется коэффициентом концентрации напряжений. Учитывая сделанные в начале параграфа оговорки о малости концентратора, позволившей заменить задачу кручения задачей об антиплоской деформации, мы молем определить коэффициент концентрации иначе; это множитель, показывающий во сколько раз увеличивается напряжение при .наличии концентратора по сравнению с тем, которое было бы в этом же месте при кручении стержня без концентратора.
В данном случае коэффициент концентрации равен 2. Заметим, что при 0 = О т9 = О. Поэтому, если рассечь тело плоскостью хо х„эта плоская граница будет свободна от напряжений. Таким образом, найденное решение будет справедливо не только для бесконечной плоскости с круговым отверстием, но также для полуплоскостн с вырезом в форме полуокружности или для стержня с полукруглой канавкой на поверхности; если радиус кривизны контура сечения много больше чем а, решение для бесконечной полуплоскости будет мало отличаться от истинного. Для отверстий, форма которых отличается от круговой, решение получается с помощью конформпого отображения.
Пусть функция з = ю(ь) осуществляет конформное отображение области, внешней по отношению к контуру 7, на внешность единичного круга в плоскости ь. Потребуем, чтобы при ь — ю(ь) — ь, тогда будет ю'( ) = 1. Теперь функция (9.И.5) дает решение задачи о концентрации напряжения. Действительно, Ии 1 аи 1 Г 1 сй 91' (9) З" 19' (91 ( ~~ / При з - 11и19)з — т, поэтому условие (9.11.2) выполняется. 996 Гл. 9. АнтиплоскАя деФОРмлция, ИРу'1еиие, изГиБ О другой стороны, на единичной окружности Ь е" 1ш и = О. Теперь .напряжения находятся по следующей формуле: (9Л1.6) т а — Ь от (~) = ь+ —, т =— а+Ь' 2 По формуле (9.11.6) при ь =1 получаем т = — т.
Поэтому коэффи- 1 1+т циснт концентрации 2 Ь Ь= — =1+ —. 1+т (9Л1 7) Мы опустили достаточно простое, но требующее некоторых выкладок доказательство того, что наибольшее касательное напряжение возникает именно при Ь = л-1 или (О, ~Ь) в плоскости хь хз, что в этих точках напряжения экстремальны, следует из соображений симметрии. э 9.12. Кручение аниэотропных стержней Мы рассмотрим здесь простейший случай кручения ортотропного стержня, для которого координатные плоскости служат плоскостями упругой симметрии, Согласно $8.2 в этом случае т, = ро(нз,| — бхз), 11 = рт(н,,9+ бх1). (9.12Л) Здесь, в соответствии с обозначением упомянутого параграфа, ра = Е~е~з рз = Езвз Напряжения т1 и тз по-прежнему выражаются через функцию напряжений по формулам (9.7.4).
Внесем эти выражения в (9.12Л), исключим функцию нз. Получим 1 — Е + — )т = — 29. р ,11 р ,зз (9.12.2) Зто уравнение можно разными способами привести к виду (9.7.5), т. е. к уравнению кручения иэотропного стержня. Один иэ таких способов состоит в следующем. Сделаем замену координат по формулам Р +Р /Р1+Р 2р ' ") хз ~/ 2р (9Л2,3) Желая определить напряжения в произвольной точке сечения, мы должны в формуле (9.11.6) перейти к переменной л.
Однако для нахождения коэффициента концентрации в этом нет необходимости, максимум т = ~/т1'+тзз будет всегда достигаться прн ь= е". П р и м е р. Полость в виде вллиптичесного цилиндра с полуосями а и Ь, направленными вдоль х~ и хе соответственно, Отображение внешней области эллипса иа плоскость с выброшенным единичным крутом даетсн формулой Ь 9ЛХ КРУЧЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ 309 Тогда уравнение для функции напряжений примет следующий внд: д~д' д Р )гг(гг — + — = — 4 9.
д$ дц )гг + )гз (9Л2.4) 4 у' )ггн М= ' ' ~РЫЛ'. )ьг +)гз а, Стержень эллиптического сечения, Полагая г =А — 9+ — з — 1 как и для изотропного стевчжня, убеждаемся, что уравнение (9Л2.2) будет , Ьзр,рз выполнено прн А = — (9 з г . Определим теперь крутящий момент ар +ьр по обычной формуле (9.7.9), опустив знак, Г 1гха хг 'ьг , , М = А ) ~ — + — — 1) дх дх = 6. (9Л2.5) а Ь 1 9 ар+Ьр б. Стержень прлмоуго*ького сечевик. Уравнение (9.12.4) решается теперь для прямоугольника со сторонами "1+)гг гг "1+ )гг а=а В=Ь ~7 )г с учетом приведенных выше формул, свявь между углом закручивания и крутящим моментом дается следующей формулой: М = Ь,рг()(2а)г(2Ь). (9.12.6) Здесь Ьг определяется по-прежнему таблицей $9.9, но зависит не от отно- шения Ь/а, а от отношения В ь-/р а а у' р Для армированных материалов типа стеклопластиков, углепластиков и боропластиков важно определить по отдельности модули рг и дг — сдвига в плоскости пластины и межслойного сдвига.
Это можно сделать, испытав на кручение два плоских образца с различными отношениями Ь/о. Зто уравнение совпадает с (9.7.5) (за исключением множителя в правой части); таким образом, задача о кручении ортотропного стержня свелась к задаче о кручении изотропного стержня, сечение которого подвергнуто аффинному преобразованию (9Л2.3), т. е. ограничено в плоскости $, ц контуром Г', который получается из контура Г в плоскости хо путем растяжения или сжатия в направлении координатных осей, Граничное условие в плоскости х„на контуре Г остается прежним: )г = С. Зто же условие выполняется и на преобразованном контуре Г', поскольку между Г и Г' существует точечное соответствие. Ограничиваясь случаем односвязной области, перепишем выражение (9.7.9) для крутящего момента в виде интеграла по площади бо в плоскости $, тр 310 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
