Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 57
Текст из файла (страница 57)
делу, устремив а к нулю. Однако при этом формулы (8.14.9) формально справедливы для сколь угодно малых г и при т, стремящемся к нулю, напряжения неограниченно растут. Мы получили сингулярное, т. е. обладающее особенностью, решение, соответствующее так называемому центру расширения. При малых г оно имеет только формальный смысл, перемеще. ние, определяемое формулой (8 14.6), также растет неограниченно с уменьшением г; картина оказывается противоречащей алементарному здравому смыслу.
Существо дела состоит, конечно, в том, что при малых г предположепия линейной теории упругости становятся неверными и формальные ре. шения перестают описывать истинное состояние тела. Однако на достаточно больших расстояниях от центра расширения формулы верны, Нужно отметить, что при С1 = 0 относительное изменение объема О равно нулю. Это — любопытная особенность найденного репгения; изменение объема жесткого включения не вызывает изменения объема какой-либо части окружающей упругой среды. В металлических сплавах при фазовых превращениях выпадают мелкодисперсные частицы новой фазы, образование которой связано с изменением объема.
В матрице, т. е. в основной массе металла, при этом возникают напряжении. Если выделения достаточно малы, их можно моделировать центрами расширения. ГЛАВА 9 АНТИПДОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ 5 9Л. Антиплоская деформация Здесь будет рассмотрен некоторый класс задач теории упругости, для которых решения получаются с помощью относительно простых математических средств. Представим себе цилиндрическое тело, нагруженное по боковой поверхности усилиями, равномерно распределенными вдоль образующих и направленными вдоль образующих. Направим ось хс по оси цилиндра, оси х,(х, и х,) в плоскости поперечного сечения.
На боковой поверхности и, = О, п — направляющие косинусы нормали к контуру сечения Г в плоскости х„. Согласно сделанному предположению на боковой поверхности Я Т„=О, Т,= Т(х„) (а= 1, 2). Граничными условиями на торцах цилиндра мы пока заниматься не будем, цилиндр считается очень длинным и мы рассматриваем сечения, достаточно удаленные от торцов. Попытаемся удовлетворить уравнениям теории упругости, приняв и, = 1 = из = О, из = — и (хи) Тогда по фор- р мулам закона' Гука о„= о„= о„=ои = О, оэс= ил.
о„= иь Отличные от нуля компоненты тензора Рис. 9.1.1 напряжений представляют собою каса- тельные напряжения в плоскости поперечного сечения, показанные на рис. 9ЛЛ. Будем обозначать их для краткости о„=то им = т,. Тогда (9ЛЛ) т„= и„. Два первых уравнения равновесия (8.4Л) будут выполняться тождественно, третье же примет следующий простой вид: т, =О. (9Л.2) 3 ЗА.
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 279 Граничное условие на контуре Г тала = Г (г) ° (9.1.3) Усилие г' предполагается заданным как функция дуги контура г. Запишем уравнения (9.1.1) и (9.1.2) в развернутом виде (9Л.1') дт дт — '+ — ~=0. дгд дх (9Л.2') Дифференцируя первое из уравнений (9.1.1') по х„а второе по х„заключаем, что вследствие независимости второй смешанной производной от порядка дифференцировашзя дт, дт, — ' — — '=О. дхг дх1 (9Л.4) Уравнения (9.1.2) и (9.1.4) напоминают известные соотношения Коши — Римана, которые связывают действительную и мнимую части функции комплексной переменной. Положим г = х, + + ьт, (не смешивать с обозначением координаты г). Функция комплексной переменной ю(г) может быть представлена следующим образом: и~(г) = и (х„х,)+ ш(хо х,), где и и и — действительные функции двух переменных.
Условие дифференцируемости функции й(г) состоит в том, что частные производные функций и и и связаны соотношением Коши — Ри- мана, а именно, ди ди ди ди дг дг ' дгг да ' Сравнивая зги соотношения с уравнениями (9.1.2') и (9.1.4), убеждаемся, что комплексная комбинация т~ — 1т, есть дифференцируемая функция комплексной переменной г т, — 1та = и~ (г). (9Л.5) Обозначение и~'(г) для произвольной функции от г выбрано для удобства. ыРажение (9.1.5), где ю'(г) — любая диффере ци функция, представляет собою общее решение антиплоской задачи теории упругости, граничное условие (9Л.З) позволяет определить функцию и'(г) единственным образом. Действительно, внося в это условие выражения (9Л.1) и заменяя производные от функции и производными от функции и, заметим, что оно 26(1 Гл.
з. АнтиплоскАя деФСРИАция, кРучение, изгив принимает следующий вид: ди дхг ди дхг дх, д дх, дг — — 1 + — — г = Т (з) . Отсюда, интегрируя, получаем ?ши = ) Т(г) г1з. (9Л.О) ~ Т (г) г)з = О. Однако до сих пор решение еще не полно, нам осталось найти перемещение и(х„). Используя (9.1Л'), перепишем (9Л.5) слсдуюшнм образом: ди .ди и'(г) = — — 1 —. дх дх ' Вспомним теперь, что производная от функции комплексной переменной г не зависит от того направления, по которому сообщается приращение независимой переменной.
Поэтому ди ди ди . дг и'(г) = — + 1 — = — + 1 —. дхг дх дхг дхг' Вследствие соотношений Коши — Римана монгно написать также и'(г) и, — $и г. Сравнивая это выражение с (9.1.6), замечаем, что функция и есть действительная часть функции и(г) и = Ве и (г). (9.1.71 3 9.2.
Винтовая дислокация Положим и(г) = — А11вг = А(Π— 11пг)г гг = хг+ хг О = агс$Я вЂ” ', хг По формуле (9Л.7) перемещение и, есть А и, = — агс$Š—. гг Полярный угол О изменяется на 2л при полном обходе вокруг начала координат; таким образом, перемещение оказывается неоднозначной функцией координат. Смысл такой неоднозначно- Фигурирующий в правой части интеграл есть однозначная функ- ция от г, вследствие выполнения уравнения равновесия для тела в целом 28'г а 9.2. ВинтОВАя дислокАпия сти перемещения легко понять.
Рассмотрим длинную трубу с внешним радиусом Л и внутренним радиусом с (рис. 9.2Л). Представим себе, что труба разрезана плоскостью, проходящей через ее ось с одной стороны, края разреза сдвинуты один относительно другого в направлении, параллельном оси, на величину б; после этого плоскости разреза сварены или склеены ! между собой. В трубе возникнут некоторые напряжения, им будут соответствовать определенные деформации. Если теперь вычислять Рис.
9.2.2 Рис. 9,2Л перемещения по деформациям, то окажется, что при обходе по замкнутому пути перемещения получат приращения Ь. Найденное решение как раз содержит такую особенность. Удобно переписать его в следующем виде: рЫ ь й= — в — 1пз, и = — агс29 — 2. 2я ' 3 2я з1' (9.2Л) Вычислим теперь напряжения. По формуле (9Л.5) Вы 1 Вь;+22, 2Я з г Отсюда РЬ*, ВЬ тг — — — —, та= —— гэ 2Я гз (9.2.2) На рис.
9.2.2 показаны эти напряжения. Результирующий вектор напряжения направлен перпендикулярно радиусу, величина его РЬ 2 г = — —. 2я г' Заметим, что в точках контура вектор т направлен по касательной к окружности, поэтому выполняется граничное условие Т=О. Итак, мы действительно получили решение для трубы с разрезом, удовлетворяющее граничным условиям. Можно предста- 2З2 Гл. 9, АнтиплоскАя деФОРмАция, ЕРкчение, изГив вить себе, что после сварки поверхностей разреза шов зачищен, концы обрезаны и нет никаких внешних признаков того,что над трубой производилась описанная операция. Однако в трубе существуют напряжения, притом без внешних сил. Это можно обнаружить, если разрезать трубу, например, вдоль образующей.
Она сейчас же примет вид, изображенный на рис. 9.2.1. Напряжения, существующие в теле, свободном от внешних сил, называются начальными напряжениями. Начальные напряжения возникают при неравномерном затвердевании слитков, при остывании поковок, после сварки и других технологических операций. Полученное решение соответствует тому, что называется винтовой дислокацией. Предположим теперь, что мы имеем дело не с трубой, а со сплошным цилиндром.
Формулы (9.2 1) и (9.2.2) можно применить и к этому случаю, па оси цилиндра при х, = е2 = 0 напряжения оказываются бесконечно большими. Таким образом, мы получили некоторое сингулярное решение теории упругости. Бесконечно большие напряжения в теле, конечно, невозможны. На самом деле, если напряжения достаточно велики, уравнения линейной теории упругости утрачивают силу.
Формулы (9.2.2) имеют смысл тогда, когда г > с, с — некоторая определенная величина. При г( с нужно строить решения, основываясь на истинных нелинейных зависимостях. Линия, на которой напряжения, вычисленные с помощью линейной теории, обращаются в бесконечность, называется линией дислокации, векторЬ вЂ” вектором Бюргерса (рнс. 9.2.1). Область г(с, непосредственно примыкающая к линии дислокации, называется ядром дислокации. Теория упругости не дает возможности судить о том, что происходит внутри ядра дислокации. Винтовая дислокация характеризуется тем, что ее линия — прямая и вектор Вюргерса направлен по линии дослокации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
