Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Заметим, что если принять О„,= — Р, оез=дг ЛВ (8.12.5) то уравнение равновесия будет удовлетворено тождественно. Внесем теперь выражения (8Л2.5) в (8Л2.4) и подставим выражения е„и е22 через )г в условие совместности (8.12.3). В результате получим следующее дифференциальное уравнение для функции Р: (8Л2.6) Общий интеграл этого уравнения будет Р =Аг+ —, В г г. следовательно, по формулам (8,12.5) получим в в О~=А+ —, осе=А — — 2.
г (8Л2.7) Постоянные А и В определяются из граничных условий, а именно, при н а о„— о, при г=5 О„=О. Подставляя первое из выражений (8Л2.7) в граничные условия, найдем 2 аЬ А=у а В= — д— Ь2 — а 22 2 2 Ь вЂ” а На рис. 8Л2,2 показаны графики (эпюры)' распределения напряжений по толщине стенки. Заметим, что величины о„и О22 не зависят от растягивающей силы. Этого нужно было ожидать, уравнения теории упругости линейяы, поэтому для них справедлив принцип суперпозиции решений. Осевые напряженияо., определяются теперьиз последней 5 ззэ. ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ вЂ” ТРУБЫ И ДИСКИ 269 формулы (8Л2.4) о„= Ее„+ 2ЧА. Таким образом, напряжение о„оказывается постоянным.
Произведение этого напряжения на площадь кольцевого сечениятрубы я(бг — а') равно растягивающей силе; если величина силы задана, то это условие позволяет найти е., Например, если труба снабжена доньями, на которые действует то же давление д, сила равна иа'д. С учетом найденного выражения для А, получаем ! — 2т да Егг — 2 2 ° Ь' — ам Для несжимаемого материала Рис. ВА2.2 (у = 1/2) осевая деформация закрытой трубы равна нулю.
Если мы теперь хотим определить перемещение и, проще всего воспользоваться вторым уравнением (8.12.4), из которого следует, согласно определению ега т И = — [ОЕŠ— У (О„+ ОггН. Я "!" с ° — сэе — „""+ +рюэг= О. (8А2.8) Этому уравнению можно удовлетворить, полагая о = —, оээ =)Р + рс!эгэ. Р Соотношения (8.12.2), (8.12.3) сохраняют силу, в (8.12.4)' нужно принять о„= О; тогда, очевидно, е„определится из третьего уравнения и уже не будет константой. Выражая деформации через функцию Г и внося в уравнение совместности, получим г" + — гг — — г" = — (3+ у)рэ28г. г га Задача о вращающемся диске постоянной толщины решается аналогичным образом. Если толщина диска мала по сравнению с радиусом, можно считать напряжения равномерно распределенными по толщине и, следовательно, не зависящими от координаты 2.
Уравнение равновесия отличается от (8.12.1) только наличием массовых сил — сил инерции Е, = рэ!'г. Таким образом, 220 ГЛ. 8. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ Общий интеграл этого уравнения г' = Аг + — — — рв г . В 3+У г 3 Отсюда о„= А + —, — — рв г, оез = А — —, — — рв г . (8.12.9) В 3+У 88 В 1+Зт гз 3 г' Для сплошного диска радиусом Ь постоянная В должна обращаться в нуль, иначе прп г= 0 напряжения будут бесконечно велики. Вторая константа А находится из граничного условия о„= 0 при г = Ь. Окончательный результат оказывается следующим э оээ = — рвэ (Ь' — г') (8 12 10) о = 3 рв (Ьз — г), 3+ Совершенно аналогичным образом можно получить приближенное решение задачи о вращающемся диске переменной толщины Ь(г).
Упрощающее предположение состоит в том, что напряжения о„, и о~8 распределены по толщине равномерно и НаПРЯжЕНИЯ Овч КаК И ДРУГИЕ КОМПОНЕНТЫ тЕНЗОРа Н8ПРЯжЕНИй, равны нулю. Очевидно, что это предполоясение не позволяет удовлетворить граничному условию па поверхности диска, вектор нормали к поверхности составляет с осью угол а, тангенс которого есть ОЫНг и напряжение о„дает на поверхности неуравновешенную силу У„= о„„соз ( 3 — о) 'Ф О. о„„соз( — — а) + т„,сова = О. Пренебрегая этой невязкой, которая мало сказывается на результатах при условии, что э)Ийг~ <<1, заменим уравнение (8.12.8)' следующим: — (Ьо„„) + Ь '" ее+ Ьрвзг = О.
(8.12А1) Комбинируя (8.12.11) с (8Л2А) и (8.12.2), можно получить дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами для функции и(г), ввести функцию напряжений )г и получить аналогичное дифференциальное уравнение для этой функции. Следует заметить, что для наиболее интересного для приложений случая — конического диска — уравнение интегрируется в гипергеометрических функциях. Предоставляя читателю Чтобы уничтожить эту силу, необходимо допустить существование касательных напряжений т,. таких, что на поверхности з ззз.
ЗАдАчА 0 концентРАции нАНРяжеыин 271 вывести соответствующее уравнение, находящее приложение при проектировании дисков турбин, вернемся к уравнению (8Л2Л1) и поставим вопрос о том, по какому закону нужно изменять профиль диска, чтобы использовать материал наивыгоднейшим обравом. Очевидно, что для этого нужно, чтобы во всех точках напряжения были постоянны. Полагая о„= о88 = о, получим следующее уравнение для функции Ь(г): — + — йг = О. за рм лт а Интеграл его равен (8Л2.12) Для того чтобы в диске, профиль которого построен по уравнению (8.12.12), напряжение было постоянным, необходимо приложить на наружном контуре нагрузку, вызывающую радиальное напряжение о.
Практически это условие выполнить довольно трудно, к тому же диск равного сопротивления, профиль которого задан формулой (8.12.2), сложен в изготовлении. Поэтому в настоящее время диски равного сопротивления на практике не применяются. з 8ЛЗ. Простейшая задача о концентрации напряжений Очевидное решение уравнений теории упругости есть се= сопз$. При этом деформации по закону Гука также постоянны и, следовательно, перемещения представляют собою линейные функции координат. Чтобы осуществить в теле такое однородное напряженное состояние, необходимо лишь приложить к его поверхности соответствующие внешние силы, а именно Т, = аепь (8.13Л) Предположим теперь, что в большом теле сделана малая полость (рис. 8.13.1). Наибольший линейный размер этой полости мал по сравнению с характерным размером тела и с расстоянием полости от границы.
Пусть на поверхности Я приложены такие усилия То которые создали бы в теле однородное напряженное состояние сз, если бы полости не было. При наличии полости естественно ожидать, что в большей части тела напряженное состояние остается практически однородным, только в непосредственной окрестности полости распределение напряжений будет существенно отличаться от однородного. Это заключение пред- 272 ГЛ.
8. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ставляет собою принцип Сен-Венана, примененный к рассматриваемому случаю; более точная формулировка будет следующая. Характерный размер Л зоны концентрации напряжений около полости имеет порядок характерного размера полости И и не зависит от размера тела г, если отношение Ид достаточно велико. Позтому при решении задач о концентрации напряжений часто используется прием, состоящий в том, что вместо реального тела конечных размеров рассматривается бесконечное пространство, заполненное упругим материалом, и граничное условие на поверхности тела вида (8Л3.1) заменяется требованием того, что напряжения Г стремятся к заданным постоянным зна- Р г чениям по мере удаления от источника концентрации.
Простейший пример такого рода можгг но рассмотреть на основе результатов предыдущего параграфа. Пусть тонкая пластина произвольной формы в плане подвергнута действию равномерно распределенного усилия р, нормального к ее Рис. 833.2 контуру Г (рис. 8Л3.2). Если пластина не имеет вырезов, в ней возникает напряженное состояние: о„= о, = р, о„= о„= о„= о„= О. В плоскости х,х, все оси — главные, и на любой площадке, параллельной оси х„нормальное напряжение есть р, а касательное равно нулю. Предположим теперь, что в пластине сделано отверстие радиусом а, и найдем распределение напряжений. Прежде чем решать зту задачу, заметим, что схема, изображенная на рис. 8Л3.2, может быть применена и к другой задаче.
Пусть мы имеем дело не с тонкой пластиной, а с очень длинным цилиндром, фигура на рис. 8.13.2 представляет его поперечное сечение. К боковой поверхности цилиндра приложены нормальные усилия р, равномерно распределенные по всей поверхности. Вдоль оси цилиндра просверлено отверстие по всей длине. По-прежнему, если отверстия нет, то о„= О„= р, а„= о„= о„= О, но напряжение см чь О, оно найдется из условия сохранения плоских сечений. Для нахождения о„нужно оговорить, чему равна сила, приложенная к торцам и растягивающая либо сжимающая цилиндр.
В том и другом случае распределение напряжений о„и ом будет одним и тем же. Внешняя нагрузка такова, что в теле нельзя указать предпочтительного направления, Поэтому распределение напряжений осесимметрично и дается формулами (8Л2.7). Для определения констант получаются следующие условия: о, = О при г=а, а,— р при г- ». Отсюда о~ = р 1 — —,, нее = р 1+ —, е (8.13.2) 5 ззз. зАдАчА о концкнтРАции нлпгяжкнии 273 На контуре отверстия при г = а напряжение оаа достигает мак- симального значения (оаа) = 2р. Таким образом, наличие отверстия увеличивает максимальное напряжение в два раза. Число, указывающее во сколько раз максимальное напряжение при наличии концентратора превьппает напряжение в той же точке в теле, не имеющем концентратора, называется коэффициентом концентрации напряжений й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
