Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Вычтем из обеих частей (8.3.1) абц, причем в правой части заменим а по формуле (8.3.4). Получим ац — обц = 2д(ец — ебц), или ац = 2рец. (8.3.5) Здесь черточки над буквами, как и ранее, обозначают девиаторы соответствующих тензоров. Заметим, что для постоянной )г часто применяется другое обозначение, а именно д = С. Вторая группа формул (8.3.3) типа (= т/д дает основание называть эту величину модулем сдвига. Для положительной определенности квадратичной формы упругой энергии необходимо и достаточно условие Л)0, р)0. Что касается технических постоянных, модуль Е должен быть положителен.
Положительны также модули К и 6; отсюда следует такое ограничение возможных значений коэффициента Пуассона — 1<т < 1/2. Значение т = 1/2 соответствует несжимаемому материалу. Опыт показывает, что для всех известных изотропных материалов т) ) О. Было сделано много попыток доказать, что нижняя граница для т равна нулю, а не — 1, но достичь этого в рамках рациональной механики, конечно, нельзя.
Ортотроппое тело. По аналогии с формулами (8.3.3) закон упругости для ортотропного тела записывают следующим 16е 244 Гл. 8. ТеОРия упРугости. авшие уРАВнения образом: 1 ( (а11 У12а22 У13азз)1 Е 1 Е (а22 УЯЗНЬЬ УЯгаы) 2 1 (азз 131а11 132а22) ° Е еы = (8.3.6) еяя е„= а29 31 723 = уз1 = ° ~29 ~91 12 712 = — > 42 упругих констант, но они не †, ..., следует: до В зтих формулах фигурируют де1 независимы; иа условий — = да У12 У31 М13 331 УЗЗ ЗЯ (8.3.7) В результате число независимых упругих постоянных окааыва- ется равным 9, как и должно быть для ортотропного тела. 4 8.4. Формулировка задачи теории упругости.
Теорема единственности решения Выпишем полную систему уравнений теории упругости, которые были по отдельности сообщены в 4 7.2, 7.4 и 8.2. Уравнения равновесия: сне+ р, = О. (8.4.1) Закон упругости: в общем случае дУ а, =— де.. ц (8.4.2) и1 = и„лЯяЗЯ, (8.4.5) а„п; = Т,', хЯИ=ЗГ. (8.4.6) Этот простейший случай далеко не исчерпывает всех возмож- и для линейно-упругого тела а11 = В,п,ею (8.4.3) Выражения компонент деформации через перемещения: ее-и<1 в.
(8.4.4) Здесь и в дальнейшем при общих рассуждениях и доказательствах общих теорем мы будем предполагать заданными следующие условия на границе. Пусть поверхность тела 3 состоит из двух частей: З=ЗТ+3„. Будем считать, что в каждой точке х1 поверхности задано 8 зх. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ностей.
Так, например, при вдавливании жесткого штампа в упругое тело часто считают трение отсутствующим. Тогда, если направить ось х, по нормали к поверхности тела, граничные условия под штампом будут такими: В Нз кз огз паз = () В дальнейшем нам встретятся задачи подобного типа, однако в общей теории выделять их не имеет смысла, приводимые ниже рассуждения легко перефразируются и на такие случаи. Итак, вадача теории упругости состоит в решении уравнений (8.4Л) — (8.4.4) при граничных условиях (8.4.5), (8.4.6) .
Если Я = Я„, следовательно, на всей поверхности тела заданы перемещения, соответствующая задача называется первой основной задачей теории упругости. Если Я=Я, и на всей поверхности заданы усилия Т;, мы будем говорить о второй основной задаче. Сформулированная выше постановка относится к смешанной задаче. Первый вопрос, который естественно поставить, состоит в том, всегда ли существует решение. Теоремами существования решения задач теории упругости занимались многие авторы. Для линейной теории упругости теоремы существования доказывались Фредгольмом, Лаурнчелла, Коссера, Лихтенштейном и другими авторами в начале этого столетия. Мы не будем здесь приводить эти довольно сложные и громоздкие доказательства, а будем просто строить соответствующее решение, удовлетворяющее как дифференциальным уравнениям. так и граничным условиям задачи.
Заметим, что вопрос существования решения далеко не всегда решается положительно, если закон упругости нелинеен. Так, при степенном законе упругости, соответствующем в одномерном случае зависимости вида Оч ЕЕ" (а(1), можно привести примеры задач, когда решение не существует. Это связано с тем, что производная Ыо/Ые =аае" ' становится бесконечно большой при е = О.
Во всех примерах, которые будут рассмотрены ниже, вопрос существования решения не возникает, поскольку эти решения будут построены фактически. Однако вопрос о том, единственно ли найденное решение, важен, и теорему единственности необходимо доказать. Это доказательство мы проведем для линейного вакона упругости (8.4.3). Предположим, что одним и тем же объемным силам при одинаковых граничных условиях типа (8.4.5 — 6) соответствуют два У Ф У Ю различных решения Ом, ез, из и ой, еп, ин Разность этих ре- Г шений Ом = а8 — оп, еп = зп — еп, из=и,— и, удовлетворяет всем 246 ГЛ. 8. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБШИЕ УРАВНЕНИЯ уравнениям (8.4Л) при с<=О, уравнениям (8.4.3), (8.4.4) и пулевым граничным условиям: аци< = О, х, ш Б„и, = О, х, ш 8„. Таким образом, доказательство единственности проводится стандартным для линейных уравнений методом, оно сводится к доказательству отсутствия решения однородной системы.
Положим в уравнениях (8.4.1) г"<=О, умножнм на и, и проинтегрируем по объему. Получим ) О«;и«<у' = О. У Преобразуем этот интеграл, заметив, что Оц,и<=(оци<)ц — Овец. Итак, ~ Оп <идП' = ( (О«и<); «е' — ( опе«<(<е = О. У У Но первый интеграл по формуле Гаусса — Остроградского преобразуется в интеграл по поверхности ( (Они<); «'е' = ( а<оп;и<ЙБ. 3 Этот поверхностный интеграл равен нулю вследствие условий на поверхности: и,=О, х<<ИЯ.; ацп,=О, х<<и3,. Итак, остается ~ О<;е««<' = О.
Если выполняются (8.4.3) и упругий потенциал П представляет собою однородную квадратичную функцию от ец, то по теореме Эйлера об однородных функциях дГГ ппеп = еп — = 2П. де . Интеграл по области от положительно определенной функции равен нулю только тогда, когда эта функция равна нулю во всех точках, а это возможно лишь тогда, когда всюду ец, а следовательно, и оц равны нулю.
Таким образом, нулевым граничным условиям могут соответствовать только нулевые решения. Этим и доказывается теорема единственности. Заметим, что перемещения определяются при этом не единственным образом, а с точностью до перемещения тела как жесткого целого. Это следует из формул Чезаро ($7.3), которые определяют перемещение с точностью до шести констант ип ап ° о о 247 5 зх. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ Если закон упругости (8.4.2) нелинеен, состояния, отмеченные одним штрихом и двумя штрихами, нужно считать бесконечно близкими, тогда ее и Оо бесконечно малы. Пренебрегая величинами второго н более высокого порядка малости, представим уравнения связи (8.4.2) следующим образом; д'и (8.4.7) Соотношения (8.4.7) имеют совершенно ту же структуру, что (8.4.3). Воспроизведя буквально приведенные выше рассуждения для линейного случая, убеждаемся, что решение единственно тогда, когда квадратичная форма д П вЂ” дпдвз ) О, депдерд т.
е. положительно определена. Данное доказательство позволяет утверждать лишь единственность в малом. Условие (8.4.8) представляет собою условие выпуклости поверхности (7(ее)=сопз1 в пространстве деформаций. Но если эта поверхность выпукла во всех точках, то условие (8.4.8) обеспечивает и единственность в большом. Строгое доказательство этого почти очевидного факта мы опускаем. Необходимо подчеркнуть, что теорема единственности доказана нами для геометрически линейной постановки задачи теории упругости.
Если условие (8.4.8) не выполнено, единственности может не существовать. Это может означать одно из двух: д либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. При- Рис. 8.4.1 мэром такого неустойчивого материала служит материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изображенной на рис. 8.4.1.
Видно непосредственно, что одному и тому же значению напряжения на этой диаграмме соответствуют два разных значения деформации. Вопрос о действительном существовании таких неустойчивых упругих материалов остается открытым; диаграммы вида изображенной на рис. 8.4Л наблюдаются при описании пластического поведения и представляют зависимость условного напряжения, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
