Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Итак, изменение внутренней энергии равно НУ = седел — — г„де». Представление в форме скалярного произведения векторов в шестимерном пространстве и потребовало обозначений е, = 2е„, ..., в девятимерном пространстве было бы просто е, = е„. Условие равенства нулю работы на произвольном замкнутом цикле будет следующим: ~ 017 = ~г»де» = О.
Для этого необходимо, чтобы подынтегральное выражение 238 ГЛ. 8. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ представляло собой полный дифференциал, следовательно, дУ е» вЂ”вЂ” —. де ' Итак, упругая энергия У есть функция от компонент деформации 0= П(ец) и закон упругости принимает следующий вид: (8.1.3) Ц Мы предположим, что соотногпения (8.1.3) однозначно разрешимы относительно ец.
С помощью преобразования Лежандра эти обратные соотношения можно представить при помощи формул, аналогичных (8.1.2). Если У(ец) служит потенциалом напряжений, то потенциал деформаций или дополнительная работа определяется следующим образом (см. э 2.8): Ф(оц) = оцец — О'. (8 1.4) Отсюда следует: дФ О дц.' (8.1.5) $8.2. Закон Гука Опыт показывает, что, если деформации малы и тело упруго, то соотношения (8.11) линейны, это значит оц = Ецме„ (8.2.Ц и обратно ец = Пццои. (8.2.2) Тензор четвертого ранга Еци будем называть тензором модулей Происхождение термина «дополнительная работа» было разъяснено в 1 2.8.
Требование однозначной разрешимости уравнений (8 1.3) относительно деформаций эквивалентно условию выпуклости по верхностей У(ец) = сопзс в пространстве деформаций или поверхности Ф(оц)=соле» в пространстве напряжений. Действительно, соотношение (8.1.3), например, означает, что вектор о направлен по нормали к поверхности У = сопз».
Если эта поверхность строго выпукла, то заданному направлению нормали соответствует лишь одна точка поверхности. Однако требование строгой выпуклости может быть смягчено, достаточно потребовать лишь невогнутости соответствующей поверхности. Например, если упругий материал несжимаем и изотропен, то приложение к нему гидростатического давления не вызывает деформации. Наоборот„если задана деформация, то напряженное состояние определяется не единственным образом, а лишь с точностью до гидростатической составляющей. 3 8.2. ЗАКОН ГУКА упругости, а тензор Пцн — тензором упругих податливостей.
Вследствие (8.1.3) и (81.5) до. дом де; деы дезе дея' дое, доя* поэтому тензоры Ец„и Пц„симметричны относительно первой и второй пар индексов Ец„= Ееец, П„„= П„ю. (8.2.3) Иэ симметрии тензоров ац и ец следует, что тензоры модулей и податливостей не меняются при перестановке индексов 1 и 1, й и Л В результате оказывается, что из 81 компоненты тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве различными остаются лишь 21 компонента. Соответствующие потенциалы имеют следующий вид: г $ У = ~ Еямеяем Ф ~ Пяыоппы (8.2.4) Заметим, что для линейно-упругого тела по теореме Эйлера об однородных функциях дУ еяоя = ей д — — 2У; Ц поэтому из формулы (8.1.4) следует Ф=У, П = ~ (ЛЕг+ 2)2Еп).
(8.2.5) Модули Л и н называются упругими постоянными Ламе, онп и введение термина «дополннтельная работа» не вызывается необходимостью, функция Ф есть та же упругая энергия У, но выраженная через напряжения. Тем не менее в дальнейшем, во избежание путаницы, мы будем сохранять принятую ранее терминологию и раздельные обозначения для функций Ф и У. Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным.
Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и той же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений нли упругая энергия изотропного тела не должен меняться при изменении осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом: 240 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ полностью описывают упругие свойства иэотропного тела.
Представим выражения для Е1 и Еп следующим образом: Е1 = еп = бме„, Гг ~= 6„621еяеьп Е„= ецец = 6,Д,ецеи. Таким образом, (8.2.5) принимает вид У = ~ (Лбпб 1+ 2)2612611) еяе21. 1 Сравнивая с (8.2Л), находим Ецв = вв.бцбвв + 212611611. (8.2.8) ЕПЫ = Ердввпзряззпзвпзв. (8.2.7) в Здесь и„— направляющие косинусы оси хз по отношению к осям х„(или наоборот, оси х, по отношению к осям хз, вследствие высокой степени симметрии тензора Е„„, это безразлично). Часто оказывается, что анизотропное тело обладает известной симметрией строения.
Это относится, прежде всего, к кристаллам, к композитным материалам регулярного строения, к биологическим объектам типа древесины или кости. Используя свойства симметрии, можно выбрать такую специальную систему координат, для которой некоторые компоненты текэора модулей упругости обращаются в нуль или становятся тождественно равными между собой, и общее число упругих констант оказывается меньше чем 21. Представим совокупность модулей упругости в виде симметричной матрицы следующим образом: 1 1П Пзз ПЗЗ 2222 2233 зззз П22 Ззээ зззз ЗЗ22 ПЗ1 22З1 ЗЗЗ1 2ЗЗ1 31З1 1мз 2212 ззп 2ЗП ЗП2 12 12 Плоскость х,х, называется плоскостью упругой симметрии тогда, когда вид упругого потенциала не меняется при замене коор- Очевидно, что выражения (8.2.6) для модулей упругости изотропного тела сохраняют свой вид для любой системы координат, поскольку тензор Кронекера при изменении системы координат не меняется.
В обЩем слУчае моДУли УпРУгости Ецзз и поДатливости Пцп преобразуются по формулам преобразования тенэора четвертого ранга 6 8.2. ЗАКОН ГУКА 244 пп пзз пзз зжз зззз Езззз зззз О Епгз О Е Еззж Езззз Езззз 1212 Итак, при наличии одной плоскости упругой симметрии число упругих постоянных уменьшается до тринадцати. Если плоскость х,х, также представляет собою плоскость упругой симметрии, то обращаются в нуль те модули, в обозначениях которых индекс 2 встречается один или три раза. Заменяя в предыдущей матрице соответствующие элементы нулями, получим следующую матрицу: 1111 1122 1122 2222 22ЗЗ зззз О О О О О О О О О Еззз2 О О Езззз 1212 Теперь число упругих постоянных стало равно девяти. Заметим, что те модули, в обозначениях которых индекс 4 встречается один или три раза, также обратились в нуль.
Это значит, что если в теле имеются две взаимно ортогональные плоскости упругой симметрии, то третья ортогональная к ним плоскость будет также плоскостью упругой симметрии. Тело, имеющее три 16 Ю. Н. Работвов Р динат: х, = хм х,= х„х,= — х,. Плоскость симметрии существует, когда любому структурному элементу соответствует точно такой же структурный элемент, расположенный симметрично относительно плоскости х,хз Так, базисные плоскости кристаллов с кубической или гексагональной решеткой будут плоскостямн упругой симметрии.
При указанной замене координаты компоненты перемещения и, и и, остаются неизменныгаи, тогда как и, Ф меняет знак, становясь из — — — и,. Индексы прп обозначениях Еоа1 соответствуют индексам перемещений и координат, по которым производится их дифференцирование. Производные от и, и и, по х, меняют знак на противоположный так же, как производная от и, по х, и х,. Но производная и,„а следовательно, деформация ем знака не меняет. Для того чтобы упругий потенциал не изменился при указанной замене координат, нужно, чтобы иэ выражения его выпали члены, меняющие знак и, следовательно, те модули, в обозначении которых индекс 3 используется один или три раза, должны обратиться в нуль.
Матрица модулей получается следующей: 242 Гл. з. Теогия упРуГОсти. ОБщие уРАВнения г;=сие,, е;=сц г;. (8.2.8) Модули упругости сц и податливости ей~ образуют матрицы 6 Х 6, симметричные вследствие существования потенциала. Таким образом, число упругих постоянных равно 21. Необходимо подчеркнуть, что число упругих постоянных, фигурирующих в законе Гука, сокращается лишь тогда, когда плоскости симметрии приняты за координатные плоскости. В других системах координат по-прежнему уравнения будут содержать двадцать одну константу, которые выражаются через девять независимых констант формулами (8.2.7). 5 8.3.
Закон Гука для иэотропиых тел В приложениях часто пользуются формой записи закона Гука, отличной от той общей формы, которая была сообщена в з 8.2, и выбирают в качестве упругих констант некоторые комбинации из введенных выше, которые делают формулы более удобными или оказываются более доступными для непосредственного экспериментального определения. Иготропное тело. Полагая Е, = Зе = 9, запишем уравнения (8.2Л) для пзотропного тела с учетом (8.2.6) в следующем виде: оц = Л96ц+ 2)Аец. (8.3Л) Если нужно записать эти уравнения разрешенными относитель- но ец, то бывает удобно, вместо постоянных Л и )А, воспользо- ваться так называемыми техническими постоянными Л р (ЗЛ+ 2р) '= (Л+ ) '= Л+ ='(+'" Теперь результат обращения (8.3.1) запишется следующим об- разом: 1+ т! Зц еи = — ~о11 — — обО1.
Е ), 1+У (8.3.2) Чтобы выяснить смысл постоянных Е и т, перепишем уравнения (8.3.2), отказавшись от последовательного сохранения тензорной формы. Для этого подставим вместо а его выражение. плоскости упругой симметрии и характеризуемое девятью упругими постоянными, называется ортотропным телом. Для обозначения упругих констант анизотропного тела в физике кристаллов обычно применяется не четырехиндексная система, а двухиндексная, основанная на соответствии, устанавливаемом формулами (ЗЛ.2), а именно: 243 1 зл. злкон гткл для изотгопных ткл Получим 1 1 ею = ~ (агг — т(озз+ а„)],..., у„= 2е„= — а„, ... (8.3.3) Из формул (8.3.3) видно, что Š— модуль упругости, а т— коэффициент Пуассона, которые были определены в 3 2.2.
Свертывая (8.3.1) по индексам 1 и у, получим Зо =(ЗЛ+ 2р) 8. Положим 3 Р 3(1 — 2т)' тогда (8.3.4) а=К8. Величина К называется объемным модулем упругости. Закон Гука можно записать также, разбивая соответствующие тензоры на девиаторную и шаровую составляющие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
