Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Предполагается, что 33О гл. 7. ОБЩАЯ теОРиЯ деФОРмАций и НАЦРЯЯ7ений Применяя обычное правило, получим г';ЬЕ7т17'+ ) Т,ЬЕ77(Б — — ~ОО (Ьие; + Ьи;;) о77' = О. (7.4.3) Хорошо известно, что множители Лагранжа представляют собою реакции связей. Соответственно на уравнение (7.4.3) можно смотреть несколько иначе. Первые два члена представляют собою работу внешних сил, объемных и поверхностных. Третий член есть работа внутренних сил, величины Ьец='/,(Ьиь;+ Ьи, 7) представляют собою обобщенные перемещения, а Оц — соответствующие обобщенные силы. Очевидно, что Оцоец есть инвариант, поэтомУ Оц — симметРичный тензоР втоРого Ранга, котоРый называется тензором напряжений.
Преобразуем третий интеграл в соотношении (7.4.3) интегрированием по частям. Заметим, прежде всего, что 1 ~ Оп (Ьиет + Ьие1) = Оп Ьиьт вследствие симметрии тензора ац. Теперь запишем ) Опбепл' = ) Опби;,7ЯУ = ) ((Опби7)3 — ОО,;Ьи7) Л' = = ~ О; Ьип 7)Б — ~ О; Ьи;сЛ1, Э Р При преобразовании объемного интеграла в поверхностный использована формула Гаусса — Остроградского, здесь через и обозначен единичный вектор внешней нормали и поверхности О.
Теперь (7.4.3) примет следующий вид: ~ (ОО; + Ь'7) ЬЕ7ИУ вЂ” ~ (Онп; — Т;) Ьи;до = О. р 8 Это соотношение должно выполняться для любых Ьиц поэтому ОП,,+Ге=О, хенУ, (7.4.4) опп, = ТО хЯ3. (7.4.5) Формула (7.4.5) устанавливает связь между определением тензоРа НаПРЯжЕНИй Оц И тЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ВЕКтОРа НаПРЯжЕНИЯ От которое было дано в $ 1.7. Действительно, уравнение равновесия справедливо не только для тела в целом, но для любой части тела, например, ограниченной поверхностью Тт проходящей через фиксированную точку М н имеющей в этой точке нормаль и.
По формуле (7.4.5) получим; О =- апптео (7.4.6) Эта формула выражает вектор о как линейную вектор-функцию вектора и, о чем было сделано замечание в з 1.7. Нормальная 5 Е5. своистВА пОлей нАпРяжений н деФОРмАций 221 составляющая вектора с = оп =-онплп;.
(7.4.7) Последняя формула совершенно аналогична (7.2.6). Если» есть единичный вектор, лежащий на площадке с нормалью и, то со ставляющая касательного напряжения по этому направлению дается формулой (7.4.8) т„, = оопА аналогичной (7.210). Что касается самого вектора касательного напряжения, величина его определяется следующим образом: т =~~ нз — О„». (7.4.9) Уравнения (7.4.4) называются дифференциальными уравнениями равновесия.
Заметим, что тензор несовместности 8о удовлетворяет этим уравнениям при отсутствии объемных сил. Из формул (7.4.7) б и (7.4.8) непосредственно усматривается механический смысл компонент тензора напряжений. Полагая в (7.4.7) и, = 1, и, = и, = О, найдем, что о„есть нормальное напряжение на площадке, нормальной к оси 1; аналогично определяются с„и с„. Полагая в (7.4.8) п»=1, п»=п»=О, »»=1, 5,=1,=0 найдем, что о„есть касательное напряжение на площадке 1 в направлении оси 2 или, вследствие симметрии тен- Ряс. 7.4.1 вора ов, касательное напряжение на площадке 2 в направлении оси 1 (рис. 7.4.1). Из симметрии выражения (7.4.8) вытекает следующий результат, который иногда называют законом парности касательных напряжений: касательные напряжения на двух перпендикулярных площадках, действующие по нормалял«к линии их пересечения, равны левкду собою.
Мы будем избегать слова «закоп» применительно к тривиальному следствию из условия симметрии соответствующего тензора. й 7.5. Некоторые свойства полей напряжений и деформаций В этом параграфе будут рассмотрены некоторые следствия, вытекающие из определения симметричного тензора второго ранга в трехмерном и двумерном пространстве н оказывающиеся полезными при формулировке механических теорий.
Для определенности мы будем везде говорить о тензоре напряжений, хотя те же самые результаты без всяких изменений переносятся на тензор деформации, тензор инерции п т. д. 222 гл. 7. ОБщАя теОРия деФОРИАции и ИАПРяжеыии а. Инварианты, главные оси и главные значения твнзора. Применяя соображения пункта (и) э 7Л к тензору напряжений, мы убеждаемся в том, что уравнение для определения главных значений будет о' — 1 оз + 1 о — 1, = О.
Здесь 1,= беСЩ!, 1, и 1, — суммы главных миноров второго и первого ранга соответственно, 1, = са. Корни этого уравнения условимся нумеровать в порядке убывания, так что О, ~ О, ~ О,. Иногда мы будем отступать от этого правила, делая каждый раз соответствующую оговорку. Заметим, что 1, = о,+О,+О„1,=о,о,+с,о,+ о,с„1,=о,с,о..
(7.5Л) Механический смысл приведения тензора напряжений к главным осям состоит в следующем. Около каждой точки напряженного тела можно выделить такой элемент в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, что на грани его действуют только нормальные напряжения о„оз и о,. Перефразируя этот результат применительно к тензору деформаций, мы можем утверждать существование такого бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, ребра которого удлиняются или укорачиваются в отношениях 1+ее 4+ в„4+ в„но прямые углы остаются прямыми.
Длн инвариантов, представляющих собою коэффициенты соответствующего кубического уравнения, сохраняются формулы (7.5Л) с заменой о, на е,. С другой стороны, систему инвариантов тензора напряжений можно построить по общему правилу, путем последовательного свертывания тензорных произведений Х, = ов, Хп = асов, Х,п = ово„ом. В главных координатах З 2 2 з з з Ег = О, + о, + ою Хп = оз + оз + оз ~пг = Ог + Оз + Оз. Инварианты Х, и 1, просто совпадают, вообще инварианты одной системы выражаются через инварианты другой системы по формулам, которые были приведены в пункте (л) э 7Л. б. Главные касательные напряжения. По формуле (7.4.9), используя (7.4.6) и (7.4.7), найдем тз = о,' (и,' — и',) + оз (из — и',) + оз (из — и',)— — 2огозп,пз — 2озозпзиз — 2о,о,пзп,. (7.5.2) 2 2 2 2 2 2 Экстремальные значения касательного напряжения, рассматриваемого как функция пь называются главными касательными напряжениями.
Уравнение (7.5.2) выражает т' через три направ- 2 Е5. СВОЙСТВА ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРНАПЙЙ 223 ляющих косинуса и,, которые связаны известным соотношением 2 2 2 и1 + и2 + пз = 1. Таким образом, нужно решать задачу об отыскании экстремума с дополнительным условием. Напомним, в чем состоит метод Лагранжа для решения подобных задач. Если требуется отыскать экстремум функции Р(и,) при дополнительном условии Ф(н;)=О, то ищется обычным способом экстремум функции г" + ЛФ, т.
е. Составляются уравнения — +Л вЂ” =О. дя дФ ди ди1 — = 2а,п, ((1 — 2п,') о, — 2п',оз — 2пзеа21. дп Используя формулу (7.4.7), перепишем это выражение сле' дующим образом: — = 2о,п, (о,— 2а). "1 Продифференцпруем теперь дополнительное условие. Получим дФ дп — = 2п . 1 Производные по и, и и, выражаются совершенно аналогичным образом. В результате мы придем к следующей системе урав- нений: и, [о~~ — ,'2о,а+ Л] = О, и (о~ — 2о а,'+',Ц = О, п, Ь2 — .'2азо+'.Л! = О. (7.5.3) Очевидное решение системы (7.5.3) есть и, = 1, и, = и, = О.
При этом а=а„пз первого уравненпя Л= а2, два другие удовлетворяются тождественно. Аналогично можно было принять и2 = 1 и и, = 1. Эти решения тривиальны, на главных площадках касательное напряжение равно нулю, а для положительной вели чины т' нулевое значение будет экстремальным. Присоединяя сюда условие Ф(н;)=О, получаем систему уравнений, достаточную для нахождения неизвестных и, и Л. В нашем случае роль функции г' играет т', определенное формулой (7.5.2), а функция Ф = и,'+ п2 2+ и,— 1.
Дифференцируя т' по и„ получим 224 Гл. 7. ОвшАя теОРия деФОРмАций и нАЦРяжений Предположим теперь, что и, и и, отличны от нуля, сократим на зти множители в двух первых уравнениях н вычтем одно из другого. Получим о,' — о,' — 2 (О1 — о,) о = О.
Отсюда о,+о о= — ' 2 Сравнивая с (7.4.7), находим и,' = и.', = 1/2, и, = О. Третье уравнение при этом выполняется. Соответствующая плоскость, в которой действует экстремальное касательное напряжение, проходит через ось х3 и делит пополам угол между плоскостями 13 и 23. По формуле (7.5.2) вычислим это касательное напряжение о — о 1 2 Т12 Аналогично о — с 2 3 о — о 3 1 223= 2 1 Т31 = Знаки в этих формулах могут быть заменены на обратные. Совершенно аналогичным образом определяются главные сдвиги: 7„=е,— е„7„=е,— ее 7„=е,— е, в теории деформаций. в. Плоское напряженное состояние (плоская деформация).
В общем трехмерном случае компоненты тензора напряжения или деформации преобразуются по формуле г (7.1.4). Если о„= о, = О, формулы преобразования компонент симметрич- 3' ного тензора в двумерном пространстве могут быть представлены в чрезвычайно простом виде; некоторое графическое построение позволяет сделать эти формулы наглядно очевидными и а избавить от необходимости запоминания их или обращения к учебнику кажРяс. ?.5.1 дый раз, когда в них возникает необходимость. Предположим, что плоское напряженное состояние задано главными напряжениями, главные оси обозначим $, и $3.
Выберем пару взаимно ортогональных векторов п и и'.как показано на рис. 7.51. Проекции их на оси $1 и $3 будут следующие: п,=ыпа, и, = сова. и = сова, Р П1 = — ЫП СС, З ЬЗ. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА МОРА 225 Нормальное напряжение на площадке н по формуле (7.4.7) а+а о — а о„= о1 сове а + о, в1пз а = — + — сов 2а. (7.5.4) Нормальное напряжение на площадке п' о„= о, Мп а+ о,сов а. 3 3 Касательное напряжение на любой площадке п по формуле (7.4.8) а — а т„= — (о — о,)в1п а сов а = — — '' в1п 2а. (7.5.5) 2 Направим ось х, по н, ось хз по н' и перепишем предыдущие формулы следующим образом: о„+а о,— о, Оы= "2 ° + 1, зСОВ2а а,+а о — а о = — — — сов 2а 2 2 (7.5.6) 1 3 а — о ом = — — вы2а.
2 й 7.6. Круговая диаграмма Мора Формулы (7.5.4), (7.5.5) допускают очень простую геометрическую интерпретацию (О. Мор, 4882). Выберем две взаимно перпендикулярные оси, назовем горизонтальную ось осью о, вертикальную — осью т (рис. 7.6Л). Вектор напряжения на любой Рис. 7.6Л Рис. 7.6.2 площадке с нормалью н, заданный величинами о„ и т„, изображается точкой в плоскости о, т. Будем обозначать эту точку буквой п, так же как и нормаль к площадке, на которой действует напряжение. При переходе от одной площадки к другой 1$ Ю. Н. Рззстасз 226 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
