Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Но выполнение названных условий автоматически обеспечивается тем, что п(г) является прогибом от действия нагрузки д(г), причем д(г) — интегрируемая функция. э 6.9. Колебания балок постоянного сечения Если жесткость постоянна, то уравнение (6.8.3) принимает следующий вид: Е1лг — щрЕХ = О.
зрг' з для сокращения записи положим озер — = а'. Тогда ~~х Язт — азЯ = О. (6.9А) Корни характеристического уравнения будут жа и Юа, поэтому общий интеграл уравнения (6.9А) имеет вид Е = А СЬ сзг + В эЬ ах+ С соз ах+ з() зш аг. (6.9.2) В э 3.9 мы видели, какие преимущества дает использование частных решений с единичной матрицей начальных значений. Эти решения строятся с помощью общего интеграла (6.9.2) У,(х) = — (СЬх+ сов х), У (х) = — (зЬх+ ззпх)з 1 1 У, (х) — — (сЬ х — соэ х), У (х) — — (эЬ х — жп х).
1 1 Легко убедиться в том, что производная по х каждой иэ последующих функций Уз(х) равна предыдущей функции У„,(х), причем функции нужно расположить в круговом порядке так, что за функцией У, следует функция У,. Итак, общий интеграл уравнения (6.9.2) мы будем эаписы вать следующим образом: Я = СзУ<(аг) . (6.9.3) Рассмотрим теперь несколько примеров. а.
Балка, лежащая на двух опорах. На каждой опоре равны нулю прогиб н изгибающий момент: Я(0) = О, Я"(О) = О, Я(1) = О, ба(1) = О. Из граничного условия на левом конце при з = 0 сразу следует, что С| = Сз = О. Действительно, при з = 0 все функции Уз равны нулю, кроме У,(0), равной единице, Но при двукратном дифферепцирозании фувнция Уз переходит в Уо следовательно, коэффициенты при Уз и Уз должны обращаться в нуль. Используя остальные граничные условия, мы получим Сзуз(а1) + Сзуз(Ы) 0 Сзуз(сз1) + Сзуз(и1) 0 Теперь повторяется обычное рассуждение. Если определитель системы отличен от нуля, то Сз = Сз = О, следовательно, никаких колебаний не происходит. Если ойределитель равен нулю, а должно иметь совершенно опре- 200 РЛ.
В. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ деленное значение, а зная а, мы находим собственную частоту системы. Ус. ловие равенства нулю определителя будет следующим: У',(аЕ) — Ув (аЕ) =О. Отсюда Уз(а?) ш) 4(аЕ) и либо з)даЕ = О, либо зшаЕ = О. Первый случай исключается, так как гиперболический синус не имеет действительных нулей, кроме как в начале координат. Остается вторая возможность авЕ = ия (и = 1, 2, ...). Вопоминая, что такое а, находим собственные частоты изяг Г БР и Ег 1Г' РР ' Следует заметить, что собственные частоты растут пропорционально квадрату номера, а не первой его степени, как зто было в случае продольных колебаний. В случае балки, лежащей на двух опорах, использование общего интеграла уравнения колебаний в форме (6.9.3) не очень оправдано; если обратиться к формуле (6.9.2), то видно, что граничным условиям аадачи удовлетворяет последний член решения, если принять а яи)Е.
Соответствующая собственная форма / 2 . ияв 2 = у — в!и —. в — У н Множитель перед синусом выбран так, чтобы было вьшолнено условие нормирования. б. Балка с одним водвланным и другим свободным концом. Помещая начало координат в заделке, получаем следующие граничные условия: 2(0) = О, 2'(О) = О, йк(Е) = О, 2"'(Е) = 0 в заделке равны нулю прогиб и угол наклона, на свободном конце изгиающий момент и перереаывающая сила). Из условий в заделке следует, что Сз = Сз = О, из условий на свободном конце Сзу,(а)) + С<Уз(аЕ) = О, СзУз(аЕ) + С4Уз(аЕ) = О. Уравнение частот Удг(а)) — Ег (аЕ) У (аЕ) = 0 или сов аЕ с)д аЕ = — 1. Приводим шесть первых корней этого уравнения: аЕ = 1,875; 4,694; 7,855; 10,996; 14,137; 17,2?9. в. Балка с двумя свободными концами (г = 0 и г = Е). Граничные условия: йл(0) = О, 2"'(О) = О, 2в(Е) = О, 2'"(Е) = О.
Из двух первых граничных условий следует Сз = Сз = О. Из двух других Сдуз(а() + С,У4(аЕ) = О, Сз Уз(аЕ) + Сгрз(аЕ) = О. Уравнение частот Уг(а(] — У (аЕ) У (аЕ) =0 9 е.ю. сносов нэлня — гитп» 202 или сое а( сЬ а( = 1. Первые корни этого уравнения а) = 0; 4,730; 7,833; 10,998; 14,137; 17,279. 6 6ЛО. Способ Рэлея — Ритца (6ЛОЛ) Правая часть аналогична здесь правой части формулы (6.4.3)', только конечные суммы заменены интегралами. Так как и(г) представляет собою прогиб от нагрузки д(г), эту функцию можно представить в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда 00 и (г) = ~ и»Я» (г) . »=1 Преобразуем числитель выражения (6ЛОЛ) з Ю е н (г) Д (г) с(г ~ ай ~ Яйд Ыг = ~ со»ай. о йеа Здесь мы воспользовались формулой (6.8ЛО).
Найдем теперь знаменатель. Нам придется возводить в квадрат ряд для н(г) и интегрировать либо квадраты, либо попарные произведения функций Е„умноженные на рр. Принимая во внимание условия ортогональвости и нормирования (6.8.5) и (6.8.8), получим з ОО ) рРнз(г) с)г = ~~~~ ий. о йо й Таким образом, тйт ыз„з а г~ (6Л0.2) Хн» Из этого равенства следует, что формула (6ЛОЛ) определяет частоту свободных колебаний балки ет» тогда, когда функция и(г) совпадает с соответствующей собственной формой колебаний. Способ Рэлея, изложенный в применении к системам с конечным числом степеней свободы, находит применение и для приближенного определения частоты основного тона свободных колебаний балки. Пусть н(г) — прогиб балки под действием нагрузки д(г).
Составим выражение ) э (з) о (з) Ыз юз о ) рзти~(з) Из о ГЛ. В. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С другой стороны, формулу (6.10.2) можно переписать следующим образом: иа + иа(аа /в ) + ... В+ из+ Каждый член числителя, начиная со второго, больше чем соответствующий член знаменателя, поэтому оР) оа'„или ) и(а) В(а) «Ва В 0 оаа ~( ) р~.'(*) <~ В (6.10.3) Такая более общая трактовка формулы Рэлея позволяет: 1. Врать в качестве с(з) функцию, выражающую прогиб балок не только от распределенной нагрузки д(з), но и от сосредоточенных сил а',), в точках г,.
Тогда В 2У(о) = ) и(з)д(з) «1з+ Х(3,С(В.). В а 2. Учитывать не только непрерывно распределенную массу балки, но также сосредоточенные массы ла» в точках Ва. Тогда 2Т(с) = ) р)гзз (г) В)з+ ~~", тВРВ(гВ). В Ф 3. Задаваться функцией с(г)', определяя ее не как прогиб от некоторой нагрузки, а просто подбирая непрерывную вместе с первой производной четырежды диф фере нцируемую функцию, удовлетворяющую граничным условиям задачи. При использовании формулы (6.10.3) для приближенного определения частоты основного тона мы должны постараться угадать первую собственную форму колебаний.
В качестве таковой для балки на двух опорах, например, можно взять кривую прогиба от собственного веса. Обращаясь к формуле (6 10.3), заметим, что числитель правой части представляет собою удвоенную потенциальную энергию изгиба балки, прогиб которой выражается функцией Р(В), тогда как знаменатель — это удвоенная кинетическая энергия, при вычислении которой скорости заменяются прогибами. Поэтому эту формулу можно переписать в следующем более общем виде: (6.10.4) 3 злз.
СПОСОБ РЭЛКЯ вЂ” РИТЦА 203 Воспользуемся формулой 3 5.3 для упругой энергии изгиба, замепив в ней момент через кривизну при помощи соотношения Е1„—, = М„а имеппо: и и ис* 2Г =1е1,( —;) и. 0 (6.10.5) и Р (г) =,Я 011Р1 (0). 1=1 Здесь с„с„..., с„— произвольные постоянные. Выпишем вели- чины У(Р) и Т(и), это будут квадратичные фупкции коэффици- ентов с;; обозначим их У(си см ..., с ) и Т(с„с„..., с ). Тогда по формуле (6.10.4) У(с) Ю1< - Т (сс)' (6.10.6) Формула (6.10.6) дает верхнюю оценку для 101, зависящую от коэффициентов С„с„..., с., при этом наилучшей оцеккоп будет самая меньшая. Вопрос об отыскании наименьшей оценки для ю, сводится к нахождепию минимума правой части неравенства (610.6), рассматриваемой как функция неопределенных коэффициентов. По общему правилу составляем частные производные этого выражения по с, (1=1, 2, ..., п) и приравниваем Знаменатель в формуле (6.10.4) сохраняет свое выражение.
Заметим, что при применении метода Рэлея требование удовлетворения функцией и(г) всех граничных условий является излишним. Разрывы вторых производных функций и(з) соответствуют приложенным сосредоточенным моментам, разрывы третьих производных — сосредоточенным силам. Следовательно, если функция и(г) непрерывна вместе с первой производной и удовлетворяет граничным условиям, наложенным на прогиб и угол поворота, опа всегда может быть представлена как функция прогиба некоторой балки под действием распределенной нагрузки, сосредоточенных сил и моментов и доказательство теоремы Рэлея сохраняет силу.
Будем называть граничные условия, налагаемые па о(г) и и'(з) кипематическими условиями, а на момент и перерезывающую силу, т. е. Ба ии (з) и и'и(г) — динамическими условиями. Дальнейшее развитие метода Рэлея представляет метод Ритца. Выберем п функций 1р,(з), каждая из которых непрерывна вместе со своей производнои и удовлетворяет кинематическим граничным условиям.
Теми же свойствами обладает линейная ком- бинация ГЛ. В. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 294 их нулю Сократим на множитель 1/Т и обозначим (//Т через едг в соответствии с (6.10Л). Получим систему п уравнений вида (6Л0.7) '« Система (6Л0.7) представляет собою систему линейных однородных уравнений относительно сь она имеет нетривиальное решение только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Но условие равенства нулю определителя приводит к уравнению степени е относительно ю', корни етого уравнения дают стационарные значения частот од, определяемых формулой (6.10Л). Наименьший корень дает наилучшую при данной аппроксимации прогиба оценку для первой собственной частоты, притом оценку сверху. Можно показать, что второй корень будет близок к ю'„и рааница между точным значением едг и полученным приближением уменьшается с возрастанием числа членов в выражении для и(з). Однако нельзя сказать, будет ли зто оценка сверху или снизу.
Пример. Балка постоянного сечения длиной «гащсмлсна на одном конце, второй консц саододсн. Точное значение собственной частоты основного тона (ад)З ч Г Б1х 3,52 /с Е!» д а 1««р/г дз 1/ рр а. Примем за функцвю о(г) кривую прогиба от сосредоточенной силы Р на конце. Уравнение упругой линии Потенциальная энергия деформации 1 1 Р~«/а (/= — Ро(д) = — — ° 2 6 Б1„' Условная кнкетпческая энергия Т(о) Р' Р / дгз гз )з 41 Рздг Т=-рр — ~ ( — — — ) дг= — рр —.
2 (Б1)г ) ~ 2 6/ 340 (Б1)а' о По формуле (630.4) 140 Б1» 3,57 1 й'1» ю< — — а<в 14 (грр* д дз ~/ рр Разница с точным решением обнаруживается, как видно, только в третьем знаке. 205 э зли слвдяпгая сила б. Применим к рассмотренной уже аадаче метод Ритка, положив и(г) = сйс'+ сзз'. При етом сг = 2 Е!х(4сг+ 12с с + 12са) 1, Т = — рр)т ( — се+ — с с -(- — сз). 2 ( 5 г 3 г з 7 з)' Уравнения (6ЛО.?) получаются следующими: (8 — 5 х)сг+(12 — 3 х)из=О, (12 — 3 х) се+ (24 — и х) сз = О. Р 14 Здесь х = — ю . Еух Приравнивая нулю определитель, получим квадратное уравнение, наименьший корень его х = 12,46, поэтому 353 ) К1„ Заметим, что и в том и в другом случае мы выбирали функцию и(г), удовлетворяющей только кинематнческим граничным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
