Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 37
Текст из файла (страница 37)
5ЛОЛ,в; такое состояние кинематически возможно, притом ,Ф в совместно со статическим состоя- ' а) нием. Последнее замечание означает, что пластические усилия должны производить положи- ф тельную работу на соответствующих перемещениях, грубо говоря, если напряжение в стержне равно +о„он должен удлиняться, а не укорачиваться. Возвращаясь к схеме образования пластических шарниров, изображенной на г) рис. 5.10.1, а, следует заметить, Рис.
5ЛОЛ что она не исключает возможности деформации по схеме, показанной на рис. 5Л0.1, з, но при этом в левом шарнире относительный поворот имеет направление, противоположное моменту, работа момента отрицательна, и, следовательно, кинематически мыслимая схема деформации несовместима с принятым статически возможным состоянием. Второй метод определения точного или приближенного значения предельной нагрузки для жесткопластических систем состоит в том, что мы рассматриваем различные кинематически воаможные схемы перехода системы в состояние текучести и приравниваем работу внешних снл работе внутренних сил перешедших в пластическое сотояние элементов.
Очевидно, что задаваясь различными кинематическими схемами течения системы, мы будем получать различные значения предельной нагрузки. Оказывается, что и в этом случае можно установить зкстремальный принцип, который позволит выделить из всех возможных схем истинную, реалиауемую в конструкции, а следовательно, определить истинную несущую способность, т.
е. предельную нагруаку. Обозначим д, и соответственно г, — кинематически возможное поле скоростей, определенное с точностью до постоянного множителя. Пусть ф — истинные, неизвестные значения сил в предельном состоянии. Составим уравнение равновесия в форме 174 ГЛ. З. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Лагранжа, приняв выбранное кинематически воаможное поле скоростей ва поле виртуальных скоростей. Получим 'в 'в (),дв = В,г,. В истинном состоянии ни в одном из злементов усилие не может превзойти усилия текучести или момент — предельного момента текучести.
Поэтому В,(В, = В„. Запишем следующее неравенство: ()б)в (В„г,. (5ЛОЛ) ч С другой стороны, определим поле внешних сил 1)в так, что для данного кинематически возможного состояния (5.10.2) Очевидно, что состояние системы под действием сил();, вообще говоря, не будет статически допустимым, в каком-то из элементов, для которого соответствующее г„= О, усилие может быть больше предельного. Сравнивая (5ЛОЛ) и (5.10.2), находим (5ЛО.З) Неравенство (5ЛО.З) служит основанием для кинематического метода.
Если на систему действует только одна обобщенная сила, то е(е = '"."'. (5Л0.4) Ч Таким образом, кинематический метод дает верхнюю оценку для несущей способности. Если число кинематических состояний конечно, то наименьшая из получающихся оценок представляет собою точную величину несущей способности. Кинематический метод аначительно более прост и удобен для применения, чем статический метод, и поэтому находит гораадо более широкое применение. Рассмотрим два простых примера.
а. Жесткий брус (рпс. 5ЛР.2) подвешен на четырех стермнях с раеличными сечениями или ие равных материалов. Таяны образом, усилия предела текучести для них даны 81„8в„Яв, В Явт соответственно. Спла Р приложена в середине бруса. Для перехода свстемы в состояние текучести необходнио, чтобы тря стержня были в пластическом состоянии, а четвертый оставался жестким. Рассмотрим соответственно четыре возможности, когда деформация происходит з-результате поворота относительно точек А, В, С и В. Очевидно, нужно рассматривать только такие состояния, когда сила Р пря повороте совершает положнтельную работу. Соответствующие схемы показаны на рпс. 5АО.З, а, б, в и е. Уравнение работ в этом случае тождественно с уравнением иоиеатоз.
3 В случаев: 2 Рч=о" +28 +ЗЯ 1 в случае б: 2 Р гав+2,Уев+о 5 кдо. Иинемьтическии метОд 1 в случаев: 2 Р*=23д +Я +Я 3 вслУчае г: 2 Р =331~+23эт+О'зт. Таким образом, для четырех кинематически возможных состояний мы получили четыре значения для предельной нагрузки уст+ 3 уэт+ 23лт~ 1 = 2пдт+ 23зт+ 434т~ 2 4 4 2 Р*=431.+23тт+23ат Р*=2ь'дт+ 3 утт+ 3 3эт. Теперь остается подставить числовые значения пределов текучести для стержней и выбрать наименьшее из четырех аначений силы Ре, это и будет истинная предельная нагрузка. Остальные три значения силы Ре соответствуют состояниям кинематически бет воэмоидным, но невозможным статически.
Дело в том, что при этом усилие в стержне, который предполагался жестким, остается превышающим предел те- Ю ~ кучести для этого стержня. олт Рис. 5.10.2 Рнс. 5ЛО.З б. В качестве второго примера рассмотрим ту же самую двукнролетную недоеденную балку, которая была рассчитана статическим методом в 4 59. Зададимся координатой пластического шарнира в пролете (рис. 5.10.4). Ф Рассматривая половину балки, найдем, что работа внешней нагрузки уе равна произведению этой нагрузки б' на площадь треугольника АРВ, т. е. я равна 2 аеруе. Момент в пролете совершает работу на угловом перемещении а+ (), момент на опоре— на угловом перемещении 23, но на каждый пролет приходится лишь половина этой работы. Таким образом, — аа(эуе =М (а+ 2Щ. 1 2 '=т Заметим, что () = а$/(1 — $); сократив на а и введя безразмерную нагруаку так же, как ето было сделано в 1 5.9, получим 176 ГЛ.
5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Условие миккмума нагрузки приводит к уравнению для $: аз+23 — 1- О. Отсюда $ = 72 — $ (второй корень ке имеет смысла). Соответствующее значение нагрузки де = 6+472 совпадает с зеллчеВой, найденной при помощи статического метода. Беа строгого обоснования кинематнческий метод применялся в сопротивлении материалов достаточно давно и довольно широко. Если воаможно найти строго верхнюю грань статических оценок и нижнюю грань кинематических оценок, соответствующие значения предельной нагрузки совпадут, и мы получим точное решение, истинность которого подтверждается совпадением цифр, найденных двумя разными методами. Иногда в сложных системах перебрать все допустимые статически воаможные и кинематически возможные состояния бывает затруднительно. Отыскивая оценки в некоторых классах статически допустимых и кинематически допустимых состояний, мы получаем верхнюю и нижнюю оценки для несущей способности, которые не совпадают между собою.
Однако во многих случаях окааывается, что эти оценки ааключают истинное значение несущей способности в достаточно узкий интервал, так что поиски точного решения становятся бесполезными. В этом состоит основное преимущество экстремальных принципов, которые позволяют получать простыми средствами очень хорошие приближенные решения трудных задач. ГЛАВА 6 КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ б 6Л. Колебания систем с конечным числом степеней свободы Рассмотрим механическую систему, состоящую из упругого сооружения, которое несет ряд сосредоточенных грузов.
Сначала будем представлять себе эти грузы в виде материальных точек, которые мы занумеруем от 1 до п. Массой сооружения будем пренебрегать по сравнению с массой грузов. Обозначим и„и„..., и„ перемещения грузов, массы которых т„т„..., т„. Связь между силами Р„Р<, ..., Р„, приложенными к грузам, и соответствующими перемещениями устанавливается соотношениями и~ — — ~.", (<ВР;.
(6.1Л) Единичное перемещение (<е определяется, например, так, как было укааано в з 5.5. Разрешая (6.1Л) относительно Р<, мы придем к следующим соотношениям: Р; = ~ сми;. (6Л.2) Коэффициенты влияния ро, как мы видели, находятся просто, вычисление коэффициентов жесткости со более затруднительно. Теперь представим себе, что система пришла в движение. На каждый из грузов действует заданная сила ~)<, которая, вообще говоря, является функцией времени; если перемещение груза есть и<(г), его ускорение равно й,(1).
Чтобы составить уравнение движения, следуя принципу Даламбера, положим в соотношениях (6ЛЛ) и (6Л.2) Р; = (); — т,и;. Получим и, + ~ ~нт;и; = ~ 'рмЯ (6Л.З) мли т<и;+ ~~'.,сми; = ф. (6Л.4) Форма (6Л.4) для записи уравнений движения механической системы более проста, но мы будем по большей части пользоваться уравнениями в форме (6Л.З) именно потому, что коэффициенты влияния ре определяются проще. 12 ю.
н. Работвов ГЛ. З. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ $78 Заметим, что, по существу, нумеровать от единицы до п нужно не грузы, а степени свободы системы. Поэтому, например, желая решить аадачу о колебаниях изображенной на рис. 6ЛЛ рамы с грузом конечных размеров на конце, мы обозначим цифрами 1, 2 и 3 степени свободы, соответствующие горизонтальному перемещению, вертикальному перемещению и повороту.
Соответственно т, = т, представляет собою массу груза, тогда как т, есть его момент инерции, и, и и, — это линейные перемещения, тогда как и,— угол поворота. Строя эпюры Рис. 6ЛЛ моментов от изображенных единичных сил и единичного момента и применяя графоаналитический способ вычисления интеграла Мора, найдем необходимые для составления уравнений движения коэффициенты влияния ре. В технике возмущающие силы бывают известны довольно редко, обычно задана только частота возмущающих сил и аадача расчета сводится к определению собственных частот свободных колебаний с целью выявления возможности резонанса. Поэтому мы положим в уравнениях движения 9,=0 и будем искать решение в виде и,=а,вшюг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
