Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пе останавливаясь на конкретных примерах, рассмотрим сам способ перемножения для важнейших частныт случаев. Кслп одна пз этих функций, например тр(з), линейна, то начало отсчета координаты з всегда можно выбрать так, чтобы было гр (з) = йз. Итак, $55 я 5.5. линийные упРуГие системы 4. Двс трапеции (рис. 5.3.3, а). Пропаведеккс зпюр П = ю~у1 + юзут.
Здесь а) Ы 2 2 1 ю = —, ы= —, у = — д+ — с, у = — д+ —,с. 2' з 2' т 3 3 ' з 3 3 Если ордипаты одной или двух трапеций имеют разные знаки, то правило а а) Рис. 5,3.3 Рис. 5.3.2 Рис. 5.3.4 сохраияется (рис. 5.3.3, б) 2. Одна из зиюр — параболическая. Такую зпюру представляют как результат наложения симметричной параболы со стрелой ц)з!2 иа трапсцшо. Площадь зпюры разбивается па трп площади (рис. 5.3.4): з ц5 з 2' з 42' Центр тяжести площади параболы находится посредине. а) ю 1 2' П = мчу~ + ютуз, Ы 4 2 — — д — — с, 3 3 2 Уз 3 3 156 гл.
5. Овщггк свойства стГРнгнквых сггстем й 5.4. Статически неопределимые системы. Экстремальные принципы Принцип .7ааранжа. Представим себе стержневую систему, например ферму, на которую действует одна обобщенная сила г,,г, вызывающая обобщенное перемещение д. Сделанное предположение не нарушает общности рассмотрения, поскольку любая система спл может рассматриваться как одна обобщенная сила.
Кроме перемещения д узлы системы получают перемещения з,(г= 1, 2, ..., гг), на которых сила гг работы не производит. Перемещения ац не связаны какими-либо кинематическими ограничениями; приложив надлежащим образом обобщенпые силы Х„ можно получить произвольные величины хг. Задание системы перемещений д, хг позволяет вычислить деформации всех элементов системы и, следовательно, найти потенциал У как функцию дплг ьг = П (д, тв) .
Дифференцируя П по ло мы найдем обобщенные силы Хь но в действительности этих сил нет, поэтому — — О. (5.4.1) Уравнение (5.4.1) позволяет найти хг в функции от д, после этого, если нам нужно найти связь между (т и д, мы должны воспользоваться формулой дд (5.4.2) Конечно, пря выводе не обязательно и не всегда удобно выражать всю заданную нагрузку как одну обобщенную силу. Обычно эти силы рассматривают по отдельности и соответственно получают несколько уравнений вида (5.4.2). Если система была статически определимой, то, по существу, уравнения (5.4.1) представляют собою уравнения равновесия, полученные из начала возможных перемещений.
Но статическая определпмость или неопределимость системы не имеет никакого значения прп испоггьзовапгги (5.4.1). Заметим, что условие равенства пулю частных производных функции есть условие того, что функция принимает стационарное значение. Убедимся в том, что это стационарное значение есть минимум. Действительно, вторая вариация функции 1г'(х,) равна 1 д11 1 г т Но это есть упругая энергия системы, вычисленная для переме- з ьл, стлтттчнски пвопгвдклимые снствмы 157 щеннй бх„бх. Упругая энергия всегда положительна, она абрам 2 щается в нуль только при бх;=О, следовательно, б (1)0. Это и есть условие минимума функции 11 (х~).
пример. Система, изображенная па рнс, 5.4Л, состоит нз й стерн«пей, прикрепленных верхпнмн концамн к потолку н сходящихся в одпоп точ- ке А. Требуется определить усилия во всех стержнях, а также перемещения точки А, вертпкальпое д н горизонтальное л, Применяя результат 1 2.3, использованный прн вы. воде формулы (2.3.2), находнм Ь сова, ' о 1, = д соз а, — з з! и а„ 1 жч Гт= — 7 ЕЕ 1«сова — л»(па)»сова. 25 атее з»( з з г Уравнения (5.4Л) и (5.4.2) становятся следу ющнмн: Рпс.
5.4Л д ~ Е,Е, з1п а, соез а, — х ~ЧЭ~ Е,Е, »1п~ и, соз и,= О, В ~Э~ Е,Г, сов»и, — хам', Ер, Мпа, сааза, = О. Таким образом, задача свелась к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, козффнцненты которых легко вычисляются прн любом числе стержней ьь Найдя перемещения д н л, вычисляем деформации стерн<ней н усилия в ннх по закону Гула. Принцип Кастильяно.
Рассмотрим произвольную стержневую р раз статически неопределимую систему. Это значит, разрушив р связей, мы превращаем ее в статически определимую. Но отбрасывая каждую связь, мы должны заменить ее действие силой; таким образом, вводится р неизвестных реакций связей Х„Х,, ..., Х„. Через «лишние» неизвестные Х, можно выразить усилия н моменты во всех элементах системы; таким обрааом, потенциал Ф будет функцией лишних неизвестных Хо Принцип Кастильяно состоит в том, что величина Ф, рассматриваемая как функция лишних неизвестных, имеет минимум для тех значений этих неизвестных, которые существуют в действительности. Заметим, что обобщенные перемещения, соответствующие лишним неизвестным в статически неопределимых задачах, всегда равны пулю.
Если лишняя неизвестная вводится путем отбрасывания плеши~ей связи, то мы требуем, чтобы соответствующее перемещение равнялось нулю. Если неизвестная вводится за счет нарушения внутренних связей, как в примере 3 5 1 (рис. 5.1.2), то это есть обобщенная сила, представляющая собою совокупность двух сил нли двух моментов, прилонсенных к краям разреза.
Соответствующее обобщенное перемещение — зто или относительное расхождение краев разреза, или угол поворота одного 158 гл. а ОвщиВ сВОЙстВА стегжнеВых систем края относительно другого. Так как в действительности стержень должен оставаться цельным, обобщенное перемещение всегда равно нулю. Значит, по теореме Кастильяно Х вЂ”вЂ” - О (1 = 1, 2,..., Р). (5.4.3) 1 Уравнения (5.4.3) представляют условия экстремума функции Ф. Остается показать, что этот экстремум есть минимум.
Для этого вычислим вторую вариацию функции 1 1 дсф Но — ))о. Поэтому 6'Ф = —, рпбХ16Х,. Итак, 6'Ф есть упругая энергия, соответствующая силам 6Х;. Но упругая энергия является положительно определенной квадд ратичной формой, так как нельзя приложнть к системе такие силы, которые сделали бы отрицательной ее энергию. Поэтому 6'Ф)0 и уравнения (5.4.3) представляют условия минимума потенциальной энергии, рассматриваемой как функция лишних неизвестных. Условия стационарности потенппала сил п потенциала перемещений (5.4.1) и (5.4.3) справедливы не только для Рис.
5.4.2 линейных систем, однако заключение о том, что это стационарное значение есть минимум, требует выполнения дополнительных условий. Необходимое условие устойчивости равновесия по отношению к бесконечно малым возмущениям состоит в том, чтобы квадрати шые формы дсс д1В дд1((д; или ЩЩ были положительно определеннымп в той точке, где д61/дд1 или дФ!д()1 обращаются в нуль.
Но если линейная система устойчива по отношению к возмущениям любой Величины, поскольку соответствующие квадратичные формы положительны при любых значениях а|ргумепта, для нелинейных систем точка, где достигается минимум потенциала, может быть не единственной. Так, обращаясь к примеру стержневой системы, рассмотренной в з 4.6, Ь ь.ь. мктод снл и мктод пкгкмкщкнпк 159 и принимая за обобщенное перемещение о величину а, найдем 4 Примерный график зависимости величины У от а представлен на рпс. 5.4.2, минимальное значение У достигается прп сь = -4-сь,. Таким образом, при отсутствии внешней силы система имеет два состояния равновесия, разделенные потенциальным барьером Ег'Ъ,'/4. Величина этого потенциального оарьера соответствует максимуму энергии прп сь = О, .в этой гоне ЫУ/На =О, по равновесие неустойчиво.
в 5.5. Метод епл и метод перемещений в строительной механике стержневых систем Строительной механикой, стержневых систем обычно называют теорию расчета более или менее сложных многократно статически неопределимых систем. На вариационпом принципе Кастнльяно основывается так называемый метод сил. Запишем выражение потенциала перегнещешьй статически неопределимой системы следующим образом: Р =- —,, (1ПХьХ1+ бьОХь+ —,, ()„. 1 1 Здесь все внешние силы сведены к одной обобщенной силе ~ = 1. Теперь уравнения (5.4.3) можно записать следующим образом: (5.5.1) боХ,+5,,=О. Индексы 1, 1 относятся теперь только к «лишним» неизвестныы Х„Х,, ..., Хг; положив ~ = 1, мы не нарушаем общности, фактически вели тины действующих сил включены в величины Система (5.5.1) называется системой уравнений метода сил.
Будем называть статически определимую систему, полученную из исходной отбрасыванием лишних связей, основной системой. Перемещение, на котором производит работу сила Хь будем называть перемещением с номером б Выясним, как определяются коэффициенты в уравнениях (5.4.4). Коэффициент ре — это не что иное, как перемещение с номером 1 прп условии, что к основной системе приложена сила Хз = 1. По правилу, установленному формулой (5.3.5), мы должны определить усилия и моменты для сил Х< — — 1 и Х, = 1, после чего находим а Х~ ь 1 ( хь Ы л х 160 Гл. 5. ОБщие своиствл стержнень1Х снстГМ Точно так же 151О = ~Х ЕЕ +,) Еух Здесь 14го, М о — продольная сила н изгибающий момент, созданные в основной системе внешними силами. Рассмотрим в качестве примера раму, изображенную на рис.
5.5.1 и имеющую форму квадрата со стороною а. Рассечем се по оси симметрии, 1 Х Рнс. 5.5Л приложим пару продольных снл Хь пару поперечных сил Х, н пару моментов Хз. Построим эпюры иоментов от нагрузки, от снл Х~ = 1, от спл Х2 = = 1, от пары моментов Хз = 1. Пркмепнн правило графоапалнтпчсского перемножении эпюр, получим хт 22 2 3 12 2)" ' 2 4 а а 2 5 Е!3 = — ° — а 2+а а а= — а, х и 2 3 3 ЕУАз -ЕУА2=0 Етхйтз=4х ЕУхбзО=-О да аа 1, оа 5 з Еу 2 2 З1 е! 3 = — а — — — ', )2 фа — = — ча - хвгз = 2а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
