Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Критическое напряжение (4ЛОЛ) соответствует началу процесса выпучнвания, когда эффект разгрузки еще не проявился. На рнс.4ЛОЛ приведена и вторая кривая, рассчитанная по уравнению (4ЛОЛ). Опытные точки ложатся ближе к этой второй кривой. В постановке Шепли вопрос об устойчивости сводится к вопросу о бифуркации, т. е.
разветвлении форм движения. Пока сила меньше чем Р„при увеличении силы наблюдается одна-единственная форма движения стэризня, а именно его равномерное сжатие. При Р > Р, возможны две формы движения: либо равномерное сжатие, либо непрерывное выпучквание; при атом каждому значению силы Р > Р, соответствует вполне определенное значение прогиба.
Действительно, хотя при выводе формулы (4.10.1) мы воспроизводили тот же ход рассуждения, который привел нас к формуле Эйлера для упругого состояния стержня, на самом деле малое приращение сжимающей силы делает возможным лишь малые искривления стержня, не сопровождающиеся разгрузкой. При появлении частичной разгрузки сопротивление изгибу возрастает, поэтому равновесие возможно не при любом значенви прогиба, а при вполне определенном его значении. ГЛ. 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 440 5 4.11.
Исследование поведения сжатого стержня прн потере устойчивости за пределом упругости На нейтральной оси Ле' = О, следовательно, зта ось отстоит от оси х па расстоянии уо = = — Ло(х. Внося (4.ИЛ) в (4.9.2) и (4.9.3), получим Ло = Е~(Ле+ ху), у ) уо, Ло = Е(Ле+ ху), у ( уо. В дальнейшем будем считать сечение стержпя прямоугольным с высотой 24 и шириной Ь. Вычислим ЛР = Р— Ро и изгибающий момент М .Рь ь "о ЛР = Ь ') Ло уу = ЬЕ, ) (Ло+ху) г)у+ ЬЕ ) (Ле+ ху) о)у = -а у о -ь = ЬЕ ) — (Ле — хй) + — г (Ле+ хЬ) ~, (4.И.2) 2х) Е +Л ь "о ото = Ь ) Лоу ду = ЬЕ ~ (Ле + ху) у г1у + ЬЕ ~ (Ле + ху) у уу = -ь з о -ь ) (хЬ вЂ” Ле) (2хй + Ле] + — г (ха+ Ле) (2хй — Ле) 1.
(4.И.З) бх Е Правые части в формулах (4Л1.2) и (4Л1.3) представляют собою одно- родные функции первой степени относительно Ле и х. Поэтому можно пе- рейти к следующим безразмерным параметрам: 2Е,ЬЬв 2Е, ЬЬ „3 х*= — 'и, о*= ' Ле, его= — 31. ЛР ' ЛР ЬЛР Уравнения (4.И.2) и (4.И.З) примут следующий вид: — (оо — х*)з+ о (оо -(- хо)з = 4 ох*, Е Е Е, г о = — — (х* — е*) (2х*+ е*) + — о(хо+ ее) (2х" — оо) 1. Если из системы уравнений (4.И.4) исключить е*, получится нелиней- ное соотношение между изгибающим моментом и кривизной. Соответствую- (4.1 1.4) Проследим более детально поведение сжатого стержня при возрастании сжимающей силы.
Будем считать материал следующпм диаграмме сжатия с линейным упрочнением (рис. 4,ИЛ). Приращения напрлжения и деформации при догрузке и разгрузке соответственно связаны соотношениями (4.9.2) и (4.9.3), причем в формуле (4.9.2) касательный иодуль Ео постоянен, Обозначим через Ле укорочение оси стержнл после бифуркации, т. е. при изменении нагрузки от Ро до Р, через х — соответствующую кривизну изогнутой оси стержня. Деформацию волокна с координатой у, происшедшую после бифуркации, обозначим Ло'. Очевидно, что Ле' = Ло+ ху. (4.ИЛ) 6 4.!1. СЖАТИЕ СТЕРН1ПЯ ЗА ПРЕЦЕЛОМ УПРУГОСТИ 141 щпе выкладки слишком сложны, для нас достаточно выясшпь характер получающейся зависимости. Заметим, прежде всего, что соотношения (4.И.4) справедливы лишь при ~у,~ ( а, т. е.
когда в сечении существуют зоны догрузки и разгрузки. Вспоыиььая выражение для Ра, найдем, что должно быть ха > Лс н, следовательно, х» > е*. 11ри х" ( е» во всем сечении происходит догрузка, следовательно, 2Е1Ыь М=Еьу х= — 'х. 1 х З Переходя к безразмерным величинам, получим га» = х» (х» ( е»). (4.И. 5) Прн х» = е» первое нз уравнений (4Л1.4) дает х» = 1, следовательно, формула (4.И.5) верна при х» ( 1. График зависимости между т» и х» на гервом участке представляет собою бис- / сектрпсу координатного угла от начала до точ- / ки ьи» = х* = 1 (рнс. 4Л1.2).
Дальше кривую / нужно строить с помощью уравнений (4.И.4). / / При больших значениях х* в первом уравнении / можно пренебречь правой частью / 2 льс (е» вЂ” х») — — 1 (е» + х») = О. Е / а Отсюда следует 7- — — ' / 1 — )/ Еь(Е / с = — х. / ' ! / 1 + у' ЕоьЕ ! Подставим найденное значение е» во второе уравнение. Получим о / х" л» 4 Рнс. 4Л1.2 Но по формуле (4ГЕИ) множитель перед х» в правой части представляет собою отношение приведенного модуля к касательному, следовательно, К аь» = —, х*.
Е (4Л1.6) Таким образом, кривая завнсимост~ между г» и х» имеет асимптотой луч, выходящий из начала координат с наклоном, равным К)Еь. Теперь нам предстоит решить задачу об изгибе сжатого стержня при нелинейной зависимости между моментом и кривизной, установленной графиком на рис. 4,И.2. Если прогиб есть о(2), изгибающий момент в сечении с координатой 2 равен М = — Ри(2) (см. 4 42), кривизна изогнутой оси х = о'(2), то отсюда следует, что х = — — М". Р Перейдем к безразмерным величинам. Получим 2Е бьз ь»»" + х» (т*) = О. ЗР Заметим, что критическая сила Знгессера — Шепли 22Е 5„2 о 2 З ГД.
4. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕР>НИЕВЫХ СИСТЕМ 142 поэтому предыдущее уравнение можно записать следующим образом: !з Р„ — — т*" + ка (р>Р) = О. 2 (4.1! .7) Будем искать приближенное решение уравнения (4.И.7). Предположим, что стержень, шарнирно закрепленный на двух концах, изгибается по синусоиде, так же как и в случае упругой потери устойчивости. Так как изгибающий момент пропорционален прогибу, можно прннятьтз=тра(п(яр/!). Подставим ж* в уравнение (4Л1.6) и потребуем выполнения этого уравнения только в одной точке, прн з = !>2, когда ып (пгд) равен единице.
Получим ~» кр (ш т О (4.И .8) .Уравнение (4.И.8) легко решается графически. Для этого нужно провести из начала координат луч с угловым коэффициентом, равным Р!Рр. Точка пересечения этого луча с кривой н — о> (рис. 4.И.2) имеет своими координатами т* н к" — безразмерный момент и кривизну в среднем сечении стержня.
Если Р ( Рр, луч не пересекается с кривой, следовательно, прогиб невозможен, стержень остается прямым. Прн Р = Р, значенпо >оо неопределенно, луч совпадает с биссектрисой координатного угла, но ЙР =. = Р— Рр = О, а прн переходе от безразмерпр ных параметров к моментам и кривизнам нх нужно множить на >ТР. Таким образом, прогнб остается равным нулю и при Р = Рр. Прп Р > Р, каждому значению силы соответствует определенное значение прогиба, которое стремнтся к бесконечности по мере того, как сила стремится к величине Рр, Примерный графнк зависимости прогиба от силы прпводен на рнс.
4.И,З. При Р = Рр происходит бифуркацня, прогиб непрерывно растет. стремясь к бесконечности при Р = Рю где Р, — крнтно Р Р Р ческая сила Карргапа, определенная по прпю г неценному модулю. Последний результат Рис. 4.И.З является следствием того, что мы воспользовались приближенным выражением для кривизны. Если взять точное вырансение кривим ны, для каждого значения силы прогиб будет конечным, как ато было показано для упругого стержня в 1 4.3.
Заметим, что в приведенном анализе не учтена возможность появления пластической растянутой области в зоне разгрузки, что обязательно будет при достаточно больших прогибах. При испытаниях стержней на устойчивость обычно реализуются пчепно те условия, которые приняты при установлении критерия потери устойчивости Шепли; нагрузка, создаваемая испытательной машиной, вепрорывно возрастает. Однако при Р = Рр прогиб первоначально прямого стержня равен нулю; фактически за момент потери устойчивости принимается момент, когда прогиб достигает некоторого достаточно большого значения, поэтому измеренная критическая сила будет находиться между Р, п Р,, притом ближе к Р,. Для реальных материалов критические напра>кения, определенные по приведенному и по касательному модулю, отличаются друг от друга мало, как зто видно из графика на рис.
4ЛОЛ. Б то же время расчет по касательному модулю дает нижнюю границу для критического напряжения, поэтому его и нужно рекомендовать. 6 с!2. Внкцентгеггное сжлтггк 143 3 4.12. Внецентренное сжатие упругопластичсского стержня В предыдущем параграфе было рассмотрено сжатпе центрально-нагру- женного стержня и обсужден вопрос о поведении этого стержня после того, как произошла бифуркация. Если сила приложена эксцентрично или стер- жень имеет начальную кривизну, прогиб его будет увеличиваться сразу после приложения нагрузки. Возникает вопрос: будет ли поведение сжатого стержня подобно поведению модели прииера 1 4 4.5 или поведению модели примера 2 того же параграфа? С"катьш и изгибаемый упругопластическнй стержень представляет со- бою физически нелинейную систему.
Так же как это было показано в 4 4.5, физическая нелинейность приводит к тому, что критическая сила будет су- щественным образом зависеть от начального прогиба или эксцентриситета приложения нагрузки. Исследовапле таких аадач довольно трудно, поэтому мы изложпзг только идею метода, использованного Хвалла. В 4 3.6 было по- казано, каким образом устанавливается зависимость между кривизной н пзгибаюшпм моиентом в упругопластическом стержне. Если диаграмма о = = гр(е) для материала известна, то зависимость х = х(М) может быть по- строена хотя бы численно или графически, При наличии осевой силы ана- лиз 1 3.6 должен быть видоиэменен, кривизна будет зависеть не только от ЛХ, но и от силы Р, таким образом, х = = х(й/, Р), Задавать разнымн значения- гЗМ г*е г * Г аависпмости х от М хотя бы графически.
При внсцентренном сжатии М = Р(о + гз), где гз — начальный прогиб или, если гз = = сопят — эксцентриситет приложения нагрузки. Теперь дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня (в геометриче- згЖ!— ски линейной постановке) будет следующим: д и~в зл ВР юг як бр А г" + хгр(и+ эа), Р) = О. (412.1) Интегрируя уравнение (4.12.1) для различных значений силы Р, можно получать серию кривых, представляющих форму осп стержня, и исследовать зависимость прогиба от силы. Положение осложняется Рис. 4Л2.1 тем, что по иере роста силы в стержне появляются области разгрузки и зависимость х(М, Р) не однозначна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
