Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Это эллиптический интеграл первого рода, т. е. табулированная функция. Принимая обычные обозначения эллиптических интегралов /в дч Ут т'в!Рч' Р(р) = , У1 — т'в!" р' получим йв = — и' (ГР) + Г. Прп 8 = !/2 в силу сввмметрин 0 = О, а следовательно, п Гр = О. Поэтому Я'— ГГ! (4.3 .6) Г(у = совйс(8 = — — 2 1 — итвв!И2Гр — Г(Гр. 2 ' 2 т 1 — т в!и Гв 2/ 2 ° 2 Интегрируя п принимая во вниманле, что х = у = О при Гр = я/2, Из этого уравнения определяют неизвестную величину лв, связанную с углом наклона касательной на конце стержня.
Теперь можно найти координаты точек изогнутой оси стержня х и у, отправляясь от равенств ГГх/Г18 в!И0, Ну/Гтв=совй. Перейдем к независимой переменной Гр, пользуясь (4,3.4) и (4.3.5). Получим 2т ГГх = в!И 0иГ8 = — — „втп ГрГГГр, $ ьл. устойчивость пгямолпнвйной сэогыы 121 получим параметрические уравнения изогнутой оси х=- — созср, у= — (2(Š— Е(Ч~)) — (à — Г(ср))).
(4.3.7) Здесь Е (!р) = ) 'г' 1 — тз з!и'-"!рЫ!р — эллиптический интеграл второго о рода; Е(лl2)= Е. Обратимся теперь к,исследованию уравнения (4.3.6) . Полный эллиптический интеграл Р не может быть меньше чем л/2; это значение достигается при т = О. Поэтому если И< и, то это уравнение не имеет решения; единственно возможная форма равновесия — прямолинейная.
Но И = и, если л Е1 — Ра а— Это — первая критическая сила. Такпм образом, искривленная форма равновесия возможна тогда, когда Р ) Р„. При этом каждому значению Р соответствует совершенно определенное значение ш по уравненпю (4.3.6) и определенная кривая прогиба — власти~на Эйлера, даваемая уравнениями (4.3.7). Прогиб растет но мере увеличения нагрузки весьма быстро, как показано на рис. 4.3.1.
Теперь понятно, почему мы могли обнаружить криволинейные формы равновесия при Р) Р, только с помощью точных уравнений. Для этих форм прогибы велики, а приближенное линеаризованное уравнение годится лишь для малых прогибов. 4 4.4. Устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня Результаты, полученные в предыдущем параграфе. еще не дают ответа на вопрос об устойчмвостн в строгом смысле слова, как это было сформулировано в з 4.1. Вместо этого мы по существу ввели бифуркацпонны!! критерий устойчивости. Если представить себе процесс нагружвния стержня продольной силой как процесс, описываемьш кривой лависимостп некоторого прогиба от сжимающей силы, то на этой кривой получа!отея разветвления в некоторых точках, называемых нрптпчеснпмп пли точками бифуркации.
Так, на рис. 4.4.1,схематически изображен график зависитьости прогиба, например прогиба 6 в середине стержня, от сжимающей силы Р; пока Р(Р, это отрезок оси ординат, 6 = О. При Р ) Р, стержень может либо оставаться прямым, либо искр!!литься; в соответствии с двумя возможными формами равновесия возникает бифуркацня, одному и тому же значению силы Р соответствуют два возмох'ных прогиба (точки А и В). Вопрос о том, какая форма равновесия, пряполпнейная гл. '. ьстончпвость сткгжнквых систкм 122 Л= —, и' аз, 2 3 о (4.4А) вывод которой очевиден (более высокие степени и' отброшены). Потенциальная энергия изгиба стержня находится по формулам (3.3.7), (3.3.8), а именно ег р 2,) о Таким образом, изменение полной энергии стержня вследствие малого изгиба будет И" = У вЂ” РЬ.
(4.4.2) Если И') О, то по теореме Дирихле стержень устойчив, в прямолинейном состоянии, если Ит(0, стержень неустойчив. Для того, чтобы прийти к этому выводу, нет необходимости ссылаться на теорему Дирихле, если РЛ ) С, сила Р производит работу большую, чем может накопиться в виде упругой энергии стержня, избыточная, работа идет на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение, т. е. прогибается дальше, по мере увеличения прогиба увеличивается и избыточная работа, таким образом, прогиб растет ускоренно.
В этом и состоит потеря устойчивости. Для проверки условия устойчивости нужно или искрпвленная, оказывается устойчивой, остается открытым. Для решения .его нужно было бы предположить, что стержень находится в одном нз этих состояний (А или В) и что какая-то причина его лз этого состояния вывела. Далее, нужно изучить движение стержня и выяснить, будет ли он возвращаться в исходное состояние пли, наоборот, удаляться от него.
Таким образом, вопрос об устойчивости равновесия в принципе должен решаться' в я ю динамической постановке, в результате анализа уравнений движения. Далее, в гл. 6 такая динамическая постановка вопроса об устойз чпвостп будет рассмотрена, сейчас же мы попытаемся обойтись элементарными соображениями. Согласно известной теореме Дирихле в состоянии устойчивого равновесия энергия системы имеет минимум, следовательно, всякое Р У отклонение от состояния равновесия должно увеличивать энергию системы.
Пусть малый Рвс. 4.4.1 прогиб и(г) и представит собой такое откло- нение от прямолинейной формы равновесия. Сжимающая сила Р совершит при этом работу на перемещении Ь (см. рпс. 4.2Л), которое вычисляется по следующей формуле: ! з 1л. послекРитнческое пов!1денпг упРугпх систем 423 задаться видом возмущения.
Положим, например, вг в = аз1П вЂ”. После элементарных вычислений, найдем, с учетом (4.2.5) (4.4.3) Очевидно, что И')О, т. е, стержень устойчив при Р(Р„ тогда как при Р) Р, прямол|инейная форма стержня всегда неустойчива, хотя бы значение силы и,попало в 11нте~рвал между ее критическими значениями. Проведенное исследование, строго говоря, позволяет утверждать только устойчивость прямолинейной формы по отношению к синусоидальным ~возмущениям. Возникает вопрос: нельзя ли выбрать такое возмущение г(г), по отношению к которому стержень окажется неустойчивым при действии сжимающей силы Р (Р,? Для того стобы доказать, что Р, есть действительно наименьшая критическая оила, представим себе, что стержню сообщено произвольное возмущение ГЛ1 п(г) = 7 аьз1П вЂ”.
(4.4.4) 51 Здесь нам придется сослаться на соответствующую теорему анализа, которая применительно к данному случаю, утверждает возможность представления в,впде ряда (4.4.4) любой функции, которая удовлетворяет граничным условиям Р(0)= и(!)=О, непрерывна вместе со своей первой производной и имеет кусочнонепрерывпую вторую производную. Учитывая ортогональность тригонометрических функций кратных аргументов, найдем вт = — „:« '(Р.- ~) а=1 Если Р(Р, = Р„то все члены суммы положительны и И'> 0 при любых а„т. е. для любого возмущения г(з); если Р > Р„ то можно выбрать такое, возмущение, чтобы было И'(О и, следовательно, по отношению к которому стержень неустойчив. 4 4.5. Послекритическое поведение упругих систем Приближенный анализ, основанный на лннеаризованном уравнении, убедил нас в том, что при Р = Р, стержень находится в безразличном состоянии равновесия.
На рис. 4.4.4 горизонтальная штриховая прямая с ординатой Р, изображает этн возможные состояния. Точный анализ 4 4.3 показывает, что в действительности, прп Р=Р, стержень еще устойчив, увеличение ГЛ. Е УСТОНЧНВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 124 сжимающей силы вызывает строго определенное увеличение прогиба.
Но можно прпвестп примеры упругих систем, которые ведут себя после достижения критической силы совершенно иначе. Чтобы выяснить существо дела, мы рассмотрим два примера, которые носят совершенно модельный характер, но анализ этих примеров предельно прост, тогда как качественные эффекты получаются темп же, что и для некоторых реальных упругих систем, например оболочек, где результат достигается только путем громоздкого н трудоемкого численного счета па ЭВМ. Пример 1.
Этот пример относится к конструкции, изображенной на рпс. 4.5ВП Абсолютно жесткий стержень длиной 1 шарнирно закреплен на нижнем нонцо, спиральная пружина удерживает стержень в равновесии в вертикальном положении. При отклонении стернгня от вертикали на угол 25,. я а Рис. 4.5.2 Рис. 4.5.3 Рнс.
4.5.1 а появляется восстанавливающий момент, пропорциональный углу отклопения Я = ссс. Если к концу стержня приложена вертикальная сила Р, то отклоненное состояние возможно при выполнении уравнения равновесня: с а Р(з(па = са, нлв Р =- — —. вша' Заметим, что а)вша) 1, причем знак равенства выполняется лишь при а = О. Таким образом, мы находим, что положение равновесия стержня, отличное от вертикального, возможно лишь тогда, когда с Р)Р (4.5.2) График зависимости Р от а, согласно (4.5.1), представлен па рис. 4.5.2 (крнвая 1). Поведение такого простейшего элемента до чрезвычайности напошшает поведение сжатого стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
