Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Вычислим входящий в формулу (3.10.3) интеграл для некоторых видов нагрузок: а. Момент М в сечении г = а ЛХ„= М~р, (г — а) или М„= — 0 пря г( а, М„=- ЛХ при г) а, зЫс(г — ь) ~р„К вЂ” а) Ыь = — ) зп й (г — ~) д~ = — (с)т й (г — а) — ц. Эта формула пригодна, если г) а. Если в<а, то интеграл равен пулю.
б. Сосредоточенная сила Д в сечении г = Ь М„' = Ер, (г — Ь). Если г( Ь, то ~зЬй(г Р р,(~ — Ь) (~=0. о Если г) Ь, то этот интеграл равен зЫс (г — ~) Я вЂ” Ь) д~ = —, з)т й (г — Ь) — —. ь Таким образом для балки, загруженной моментами и сосредоточенными силами: о (г) = и (0) с)т йг + и' (0) — з)т йг + л + — )'„~ЛХ (сь й (г — а) — Ц + ~ ~ — „з)т й (г — Ь) — (г — Ь)1~. ( (3.10.4) Здесь, как и в формуле (3.8.9), суммирование распространяется иа те силы или моменты, которые приложены слева от рассматриваемого сечения.
108 ГЛ. 3. ИЗГИБ БАЛОК 2. Р(0, сила сжимает стержень. Обозначгим теперь через й' величину — Р7 (Е1„) . Уравнение продольно-поперечного изгиба принимает вид М „(г) г 1 йг х Еу Решение строится буквально тан же, как для растягивающей силы, только вместо гиперболических функций будут функции тригонометрические. Не повторяя выкладок, напишем результат: 1 . 1 ЛХ . (г) п(г) = н(0) созйг+ и'(О) — юпйз + — ~зшй(з — ~) х д~. й сгх (3.10.6) Для балки, загруженной моментами и сосредоточенными силами, интеграл принимает следующий впд: и(г) = п(0) сов йг+ О (О) — з(п 122+ 1 й л + —,~' [ЛХ [( — сов й (г — а) ) + ~) [(г — Ь) — — з(п й (г — Ьф (3.10.7) Приведем пример применения этого уравнения.
Балка, леягащая на двух опорах (рис. 3.10.2), сжимается двумя силами, прнложепныии с эксцсптрп- Р сктетои е. В концевом сечения прплонген, такни образом, момент Ре. По фориуле (3.10.7) 1 е = и' (0) — э(п йг + е (1 — соз йг), Рис. 3.10.2 Постоянную е'(0) определим из условия е(1) = 0 е' (0) е (0 = — а1п й( + е (1 — сов й() =О. й Отсюда 1 — соэ 721 е' (0) = ей в(н(1 (3.10.8) Подставляя ато в выражение для прогиба, получки 1 — соэ й(! е = е [1 — соэ йг — вш йг в(п Ы Если бы сила была растнгивающей, в форггуле (ЗД0.8) следовало бы заменить тригонометрические функцнп гиперболическими сй й( — 11 е = е [с)2йг — 1 — в12 йг в12 ы (3 10.0) Явления продольно-поперечного изгиба при растяжении и сжатии протекают качественно совершенно по-разному. Предпо- 3 3.11.
ПЗГПВ ВАЛКИ НА УПРУГОМ ОСПОВАНПП 109 ложпн, что мы увеличиваем растягивающую силу Р. Тогда увеличивается )г, гиперболические синус и косинус монотонно возрастают, но разность между ними стремится к нулю. Прогиб по формуле (3.10.9) получается отрицательным, величина его растет, но не превышает величину эксцентриситета е. Совершенно иначе обстоит дело, если сила сжимает стержень. При значениях параметра И, кратных я, обращается в нуль зш И в знаменателе последнего члена формулы (3.10.8). Таким образом, прогиб обращается в бесконечность при некоторых значениях силы.
Не останавливаясь пока подробно на этом факте, заметим, что он тесно связан с теорией устойчивости упругих систем, рассмотренной в гл. 4. 5 3.11. Изгиб балки на упругом основания Прпмором балки на упругом основанпп является железнодорожная шпала, нагруженная двумя силами, передаваемыми через рельсы. Не имея опор, шпала передает эту нагрузку непосредственно грунту, изгибаясь прп этом вследствие податливости грунта.
Термин «упругое основание» в прпмененяи к грунту довольно условен, ибо механические свойства грунта пе тождественны со свойствамп упругого тела в обы*шом смысле слова. Если поставить задачу о равновесии балки, покоящейся на массивном упругом теле, ограниченном с одной стороны плоскостью, мы получим пример так называемой Рпс. ЗЛтЛ контактной задачи теории упругости, точное решение которой встречает большие математические трудностц. Существо их состоит в том, что деформация тела в одной какой-либо точке зависит не только от давления в этой точке, но п от давлений в соседних точках.
Желая упростить постановку задачи и сделать ее доступной элементарным методам, предполагают, что перемещение упругого основания зависят только от давления в той точке, в которой ищется перемещение. Эта гипотеза, иногда называемая гипотезой Викк.1ера, как бы заменяет реальное упругое тело рядом не связанных между собой пружин илп стерженьков (рнс. 3.11Л).
Считая реакцию основания пропорциональной прогибу, найдем, что распределенная непрерывньпг образом по длине балки реакция есть Такая упрощенная модель упругого основания довольно хорошо воспроизводит свойства грунта, которьш, собственно, пе мо- гл. 3. пзгив БААОк 11О Е1„с" = — сгг+ д(г) (3.11.1) или втч+ 4игв =- —. 4а' = — ). з(г~ ! с Е1„~ Е1„' Уравнение (3.11.1) встречается не только в задаче о балке на упругом основании, но и в других разделах строительной мехапини, например, в теории цилиндрических оболочек. Займемся сначала интегрированием однородного уравнения 111ч + 4и'гг = О.
(3.11.2) Корни характеристического уравнения суть сг (1 + 1), а ( — 1 + 1), а ( — 1 — 1), а (1 — 1) . Комбинируя соответствующие частные решения так, чтобы избавиться от мнимостей, получим общий интеграл уравнения (3.11.2) и = е'*(А зги аз+ В сов аз)+ е-"*(Сагпаг+г) сов аг). (3.11.3) Применяя метод $ 3.9, мы должны с помощью общего антеграла (3.11.3) образовать систему частных решений с единичной матрицей начальных значений. Эти решения суть: (11 = сЬагсоз иг, 11з = —, (сЬаз в(в аз+ БЬаз сов иг), $ Гз —— —, з)з аг згв аг, (1з = — (сЬ аг з(п аг — БЬ аз сов иг). 2иг 4, 3 (3.11.4) Отметим, что ( з = ггз г'з = г'з жет считаться упругим телом: связность между его частицами меньшая, нежели в сплошном упругом теле.
Заметим, что предположение о пропорциональности между прогибом и реакцией основания выполняется совершенно строго для плавающей балки прямоугольного поперечного сечения. Здесь реакция представляет собою подъемную силу Архимеда. Для составления дифференциального уравнения изгиба балки, леягащей на упругом, в смысле Винклера, основании, мы будем исходить из дифференциального уравнения изгиба в форме (3.8.5). В правой части к действующей нагрузке д мы прибавим реакцию основания ( — св) и будем считать жесткость балки при изгибе, т.
е. произведение Е1, постоянной. Получим г зл!. ПВГиБ БАлкн нА упвуГоы осноВАннп По формуле (3.9.6) Р(г) = Р(0) !/1(г)+ Р'(0) 1/1(г)+ + г" (0)(/,(г)+ Р"'(0)(/,(г)+ Р,(г). (3115) Здесь Р1(г) = ~ П (г — Ь) — Н~. (3.11.6) х е Вычислим функцию и,(г) для случая, когда балка загружена сосредоточенной силой в сечении с координатой г = Ь. Заменим сосредоточенную силу равномерно распределенной нагрузкой па участке от Ь вЂ” е до Ь+ е. Интенсивность этой нагрузки примем (~ равной (2 ) По формуле (3.11.6) Р1(г) = О, если г ( Ь вЂ” е. Если г) Ь+ е, то Ь+е ,() = ) (/,( — 1) —,, к~.
0 х Ь вЂ” е Применим к этому интегралу теорему о среднем. Получим и = — 1/4 (г — Ь + Ое). х Здесь О 1н( — 1, +1). Будем теперь приближать е к пределу, равному нулю. Искомое частное решение представится так: г1(г) = 0 при г(Ь, ст(г) = — (/4(г — Ь) при г)Ь. х Желая получить решение в случае сосредоточенного момента, приложенного в сечении с координатой а, приложим в этом сечении сосредоточенную силу величиной М/е, в сечении:с координатой а+ е силу — М/е.
При г ) а+ е, суммируя найденные ре1пения для двул снл, получим В1 (г) Е! ~ 1/4 (г ю) Пе (г ы е)~' 1 ЬМ М Перелодя к пределу при е —" 0 и вспоминая, что 1/4 = Ь ю найдем Р (г)=0 при г(а, Ре(г) = — Пе(г — а) при г~ а. М Р! Е ГЛ. 3. ИЗГИБ ВАЛОК рассмотрим, наконец, случай равномерно распределенной нагрузки, начинающейся при г = с.
По формуле (3.11.6) Но, как легко проверить непосредственным вычислением, С' (г) =- — — ст,(г). 1 4ы« Поэтому п,(г) = 0 при г(с, п,(г)=- ~ [1 — П,(г — с)[ при г) с. Если нагрузка заканчивается при г=д, то считаем ее продолжающейся вправо неограниченно, ио прикладываем нагрузку ( — д), начиная с г = д. Прп г ) о получим и, = — [ — Ут (г — с) + Ут (г — о)). Окончательная формула для прогибов будет следующей: и (г) = п (О) У, (г) + и' (О) ОГ« (г) + и" (О) 7."з (г) + и"' (О) П (г) + л + — ,~ ~ЛХ(Г« (г — а) + ~К( (г — б) — †, [(.'т (г — с) — П, (г — Щ~ 1 х (3.11.7) Символ суммы с индексом «л» вверху нужно понимать так же, как в 3 3.8.
Рис. 3.11.2 Рассмотрим в качестве примера задачу об изгибе полуоесконечной балки силой и моментом на конце (рис. 3.11.2), В формуле (3.11.5) ну'кпо положить м „, 0 о =О, ьх(0) = —, о"'(С) = —. хтх отх Получим и = о (0) П (з) + о' (0)стз (з) + х т стз (з) + Еу ст« (з). Для определения постоянных о(0) и о'(0) потребуем, чтобы прогиб па бесконечности был равен пулю. Для »тото заметим, что при больших зпа- В 3.11.
ИЗГИБ БАЛКП ИА УПРУ1'ОМ ОСНОВАНИИ 118 Сравнивая коэффициенты прп сов аг и Мп аз, найдем 1, 1 () 1, 1 М 1 О ь (О) + — г' (0) — — з — = О, — о' (0) + — г — + — т — — — О. 2а 4аз Еух 2и 2аг Еух бтт Е!х Отсюда Заметим, что прогиб о(г) меняет знак: на некоторых участках балка приподнимается над основанием. Мы предполагаем при решении задачи, что реакция основания вовникает и при отрицательных прогибах, что существеяно упрощает решение.
8 Ю. Н, Работков чениях аргумента (3.11.4) (1 (г) -ь —. Ег (г) -ь— з,,гг При больших г 1 о (г) -ь — ехр ссг (о с)с аг -ь в)гас -ь 11г ехр аг. Следовательно, по формулам 1 охрагсовиг, П (г) —;- — овраг(в(пас+ соваг), 1 ехр аг Мпаг, П (г) - —. ехр аг (в1паз — сов аг) 8ссг 1 (0) сових-(-~ г' (0) (в1паг+ совах) + ЛХ .
1 + — — в1паг+ —. — (в1паг — сов аз)~-ьп. 2аг ~'3г 4аз ЕУг ГЛАВА 4 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ь 41. Постановка задач устойчивости Как оказывается, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из них устойчивы, другие неустойчивы. Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня, сжатого силой Р (рис. 4.1.1).
Предполагается, что стержень идеально прямой и сила приложена строго центрально (что практически невозможно). При указанных идеальных условиях прямо- линейная форма стержня всегда является возможной Я формой его равновесия. Для суждения об устойчивости этой формы равновесия нужно сообщить возмущение, например приложить малую поперечную нагрузку Ч, которая вызовет прогиб.
При отсутствии сжимающей силы Р малая поперечная сила вызывает малый про! гиб. Если сила Р невелика, то положение останется ! таким же и равновесие стержня сохраняется устойчивым. Более строгое определение устойчивости состоит в следующем. Равновесие стержня устойчиво, если, задавшись любой величиной г) ) О, всегда можно указать такую конечную величину е ~ О, что при 1~! < з величина прогиба ни в одной точке не достигнет величины гь т. е. будет ~и~ (т~.
Оказывается, как мы увидим далее, что это условие не выполняется, если сила Р превышает некоторое критическое значение Р„. Прп Р ) Р„равновесие стержня становится неустойчивым, это значит, что сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. В данном случае возмущение создается поперечной силой. Но можно представить себе и другой способ создания возмущения, например можно приложить распределенную напрузку, неравномерно нагреть стержень, ~вследствие чего он иокривится и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
