Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 21
Текст из файла (страница 21)
б) и в). При этом, вообще, нейтральная ось по мере развития пластических зон перемещается. На рис. г) изображена эпюра, соответствующая предельному состоянию стержня, которое, конечно, никогда не реализуется. Но эта эпюра дает верхнюю оценку для величпны изгибающего момента, который может выдержать стержень. Заметим, что внутренние силы в сечении, уравновешивающие момент от внешних снл, должны приводиться к паре; следовательно, главный вектор их равен нулю. Обозначим через Г, и Г, площади частей, на которые делит сечение нейтральная ось в предельном состоянии.
Растягивающая сила равна о,ГО сжимающая сила о,г,. Вследствие сформулированного условии оГ,— оГ,=О. Отсюда Г, = Г,. Таким образом, нейтральная ось делит поперечное сечение стержня на две равновеликие части. Пусть С, и С, — центры тяжести этих частей. Тогда момент внутренних сил, т. е.
момент пары, составленной растягивающей и сжимающей силами в сечении, есть Введем так называемьш пластический момент сопротивления и, = 1 Г(с,с,). (3.5.4) Тогда М, = о,И',. Для того чтобы обеспечить прочность балки пз идеально-пластического материала с запасом прочности п, мы должны потребовать, чтобы было ).И„~< — ' = — 'и,. Но о,lи = (о1, таким образом, зны получаем следующее условие: — ( [о), ( ЛХ„( (3.5.5) т которое отличается от (3.5.3) только тем, что вместо Иг„в нем фигурирует И;. гл. з, нзгпн палок П р н и е р ы.
а. Прамоугоаьное сечение еыготой Ь и шириной й. Здесь Е = ЬЬ, расстояппе между центрами тяжести половинок сеченая равно Ь/2. Поэтому по формуле (3.5.4) 1 П т ~Ух Ит = 4 ЬЬ, уу ° 100 = 50% ° х б Сеченое е форме раенобедренного треугозьнина 1ряс. 3.5.о), В подооных треугольниках площади относятся нан квадраты сходственных элементов. Поэтому нейтральная осгч делящая пополап площадь треутольннка, пройдет па расстоянии ЬД'2 от вершнпы. Введем о! вспомогательные осп и н и, проходящие через вершину треугольника. Обозначим через и, координату центра тяжести треугольника, через — — — ° — - -* ° -** -'-Р-. нооеаннах частей.
Статпческнйгмоменг всей площади равен сумме сгаыгческнх моментов ее частейг, а ппепно 1 '1 иог иг У ' ге Р' о г2 э2 Отсюда и, = 2оо — ин по расстояние С,С, равно разности ие — иь поэтому С1Се — ит — и~ = 2Пе — ьч). 2 2 Ь хорошо язвесгпо и = — й г„= — —, о = 3 = З -рГ2 Рпс. 3.5.2 Как следовательно, имеет место 2 С С = =(2 — 1т2) а = 0,3еа06. )г'3 Ппасгпческпй момент сопротнвленпя гпт хи 0,097555'. Обычный момент сопротивления трх 0,0417ЬЙ', разница между ннмп составляет 134е)е, Если ось у не служит осью симметрии сечения, нахождение пластического момента сопротивления и вообще рассмотрение предельного состояния при изгибе представляет определенные трудности.
11рнложение нагрузки в плоскости, проходящей через главную ось инерции сечения, еще не обеспечивает изгиба именно в этой — плоскости. Действительно, предстаег т внм себе некоторое несимметричное сечение, например изображенное на рпс. 3.5.3. Его можно разбить на две равновеликие части бесчисленным Рнс. 3.5.3 числом способов, например, проводя прямую глп. Центры тяжести полонин сечения С, и С, лежат на прямой ро; чтобы ось тгг была нейтральной осью для предельного состояния стержня, необходимо, чтобы действующие силы были приложены в плоскости, параллельной образуюпйим стержня и проходящей через пря- 91 6 Зл.
РпгуГОплхстичвский изГиБ мую рд. Таким образом, мы легко решаем обратную задачу — определ|пь, кагс нужно приложить силы, чтобы изгиб происходил около данной нейтральной оси. Регулярные методы решения прямой задачи неизвестны. з 3.6. Ъпругопластический изгиб Будем считать. что сечение балки имеет две оси симметрии, и изгиб происходит в одной из продольных плоскостей симметрии балки. При зтом, очевидно, нейтральная ось не будет менять своего положения по мере развития пластических зон (как мы убедились в конце з 3.5, в условиях пластичности незначительное, казалось бы, усложнение условий задачи приводит к неизмеримо возрастающим трудностям при ее решении). Сохраняя пшотезу плоских сечений, положим е = кйс Пусть для материала балки о =бр(е), при этом бр(е) — нечетная функция, 6р( — е)= = — гр(е). Это условие означает, что материал ведет себя одинаково при растянгенпн и сжатии.
'1тобы задать форму симметричного сече- з нпя балкщ достаточно задать ширину его на расстоянии у от плоскости х06, т. е. функцию Ь(у), уш [ — Ь, +Ь1. Учитывая область определения функции Ь, пам будет удобнее рассматривать ее как функцию безразмерной коорди- "',у~ наты Ь(у/Ь). Если ось х также служит осью р„, ЗЕ1 симметрии, то Ь(у/А) — четная функция. Момент относительно осп х спл, действующих па заштрихованную площадку шириной Ь н высотой Нр (рис. 3.6.1), есть уоЬ 61у = гр (кр) д ~ в )у 6(р. Приравнивая сумму моментов внутренних сил в сечении сумме моментов внешних снл, действующих по одну сторону от сечения, т. е.
изгибающему моменту, получим (ЛХ„) =- 2 ) гр (ку) Ь(~~) у6(у. о Вследствие симметрии относительно оси л интегрирование от — я до +й заменено интегрированием от нуля до Й и результат удвоен. Формулу (3.6.1) можно преобразовать, приняв за переменную интегрирования вместо у пропорциональную величину е = ку. Если ввести еще обозначение е, = мй для деформации наиболее ГЛ, 3. ИЗГИБ БАЛОК 92 удаленной от оси х точки сечения, то формулу (3.6А) легко при- вести к виду —" = — 1 аа (е) Ь ( — 1 е Ые = Ф (е,). 2Ь~ ег З ~е / а ~ а/ (3.6.2) Зная функцию ар(е), можно найти Ф(е,) аналитически либо численно.
Рассмотрим в качестве примера Изгиб стержня прямоугольного сечения (Ь = сопз$) при условии идеальной пластичности. В атом случае от1 ст (д (е) = Ее (е ~ е /, Ч' (е) = от ( е ) й- = ет). В упругой области еа М„е Г, Ьпе„ вЂ”" = — ) ЪЕегйе = — ". 2Ь~ ег аа Вспоминая определение предельного момента М, Ьйгя„перепишем эту формулу следующим образом: М„2 е„ М Зе' В упругопластической области ет 'а г1 Ф(е ) = — ) Ее'Ьде+ ) отЬеЫе = Ьа, а ет а Позтому М„е е,' Мт З,г еа (3,6.3) График зависимости безразмерного момента ЛХ„/М, от безразмерной кривизны е, = мй представлен на рис.
3.6.2. Прп М„('/еЛХ, материал остается упругим, при ЛХ„='/гееХ, появляется пластическая деформация в крайнем волокне. Это состояние (точка А) признается опасным при расчете по допускаемым напряжениям. Но при етом несущая способность еще не исчерпана, Максимальная возможная несущая способность стержня, т. е. величина предельного момента, выше чегг момент, соответствующий точке А, на 50%. Но, как видно нз графика и пз формулы (3.6.3), зто предельное значение момента будет достигнуто тогда, когда кривизна станет бесконечно большой, что невозможно.
Получен- з зл. то||косте|и|ые стеРжни ОткРытОГО пРОФиля 93 ная зависимость между изгибающим моментом и кривизной справедлива до тех пор, пока изгибающий момент возрастает и, следовательно, возрастает деформация каждого волокна. Предположим, что после достижения моментом некоторого значения ЛХ„, которому соответствует кривизна хх, началась разгрузка. деформация каждого волокна будет теперь уменьшаться, значит разгрузка будет происходить в каждом волокне от напряжения а* = =|р(хву) по закону упругости. Когда изгибающий момент равен М„( — и М„", Т кривизна равна х, напряжения находятся по закону упругой разгрузки следующим образом: г а* — а = Е (х„— х,) у.
(3.6.4) Умножим обе части на у|1Г" и проинтегрируем по площади. Так как ) аву,(У=ЛХ'„, ) ау(Р=ЛХ„, ет ее =хе то Рнс. 3.6.2 М, — Мх = ЕХ„(х — хх). (3.6.5) Когда происходит полная разгрузка, т. е. становится М = О, кривизна не исчезает, остаточная кривизна х,„находится по формуле (3.6.5) ЛХ„ х .х х Напряжения в сечении после разгрузки также не исчезают, формула (3.6.4) при х = х~ дает а, =-- о." — — ". (3.6.6) ~х Очевидно, что остаточные напряжения после разгрузки самоуравновешены, момент их равен нулю. з 3.7.
Пзгпб тонкостенных стержней открытого профиля Соображения об относительных порядках величин нормальных и касательных напряжений при изгибе, приведенные в в 3.1, к тонкостенным стержням неприменимы. Касательные напряжения, возникающие вследствие изгиба и кручения, имеют в такого Рода стержнях тот же порядок величины, что и нормальные напряжения, и сбрасывать пх со счета нельзя. Касательными напряжениями изгиба мы будем называть напряжения, распределя- гл. 3.
изг!!Б Вилок ющиеся приблизительно равномерно по толщине стенки профиля и не связанные с закручиванием стержня. Очевидно, например, что кручения не будет, если изгибать симметричный стержень, хотя бы двутавр или швеллер, силами, действующими в плоскости его симметрии. Весьма большая жесткость на крученле замкнутых тонкостенных профилей делает для них вопрос об условиях отсутствия кручения второстепенным. В тех же случаях, когда тонкостенный стержень открытого профиля изгибается в плоскости, даже являющейся главной плоскостью, ионе плоскостью спмметршц необходимо принять особые меры для предотвращения кручения. В этом параграфе мы предполагаем, что в силу тех или иных обстоятельств кручение отсутствует.
значит, никаких иных касательных напряжении, кроме как от изгиба, в стер'кпе пот. з Сохранение плоских сечений прп наличии касательных напряжений в сечении, очевидно, невозможно. Действительно, касательные напряжения гызывают сдвиг, т. е. из-. менение первоначально прямого угла, как было отмечено в $ 1.7. Такпм образом, сечение не может оставаться перпендикулярРвс. 3.7,1 пым изогнутой осн стержня, а так как на- пряжения в сече/пш распределяются неравномерно, оно не может оставаться плоским (рпс. 3.7.1). Однако если стержень загружен сосредоточеннымп силами, то на каждом участке перерезывающая сила постоянна, следовательно, во всех сечениях этого участка распределение касательных напряжений одинаково.
Одинаковы и искажения поперечных сечений. Поэтому длина элемента тп между двумя сечениями после деформации равна длине того же элеменга, подсчитанной по гипотезе плоских сечений, т. е. т'п'. Отсюда следует, что для балки, негущейг сосредоточенные силы, закон распределения нормальных напряженггй будет тем же, что по гипотезе плоских сечений Л~.1/ М„х (3.7.1) Для нахождения касательных напряжений будем считать, что онн распределяются по толщине стенки равномерно (рис. 3.7.2).
Положение точки на средней поверхности стержня будем определять двумя координатами: з — расстоянием от фиксированного сечения по образующей и г — дугой, отсчитываемой от какого-либо конца средней линни открытого контура сечения. Всю длину дуги средней лпппп контура сечения обозначим //, толщину стержня 6 будем считать функцией г, но не г. Вырежем элемент средней поверхности двумя бесконечно близкими образующими и двумя поперечнымп сечениями. Силы, действующие на грани о зд. тонкостенные стегжни ОткРытОГО пгоовиля 95 об ьемного злемента. образованного нормальными сечениями, проходящими через стороны злемента средней поверхностп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
