Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Возникает естественный вопрос — будет ли зависеть критическая сала от типа возмущения. Для упругих систем, как оказывается, критическая сита от характера возмущения не зависит. Для пластических тел это не так и положение может быть более сложньпп 1йрптичесьая сила, поплвгаемая в указанном смысле, может зависеть от характера возмущения. З ЛЛ, КРИРИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПО ЭЙЛЕРУ й 4.2. Критические силы для сжатого стержня по Эйлеру Излагаемый ниже метод исследования устойчивости упругих систем по отношению к малым возмущениям называется методом Эйлера, который применил его для рассмотрения задачи об устойчивости сжатого стержня.
На этом примере и будет проиллюстрирован .ниже этот метод, применяемый для решения задач об устойчивости любых упругих систем. Существо его состоит в том, что постановка задачи об устойчивости по отношению к заданным возмущениям подменяется несколько ивой постанов- 4 кой, в известном смысле 7 упрощенной, а именно, решается вопрос об устопчивости в прямом смысле слова, а о возможности существования двух различных форм равновесия стержня при одном и том же значении силы. Простейшая задача будет относиться к случаю, изображенному на рпс.
4.2.1. Очевидно, что прямолинейная форма равновесия, когда Р(г) — = О, возможна, Предположим, что наряду с прямолинейной формои возможна и представленная на рисунке криволинейная форма. Тогда изгибающий момент в сечении с координатой з есть — Ри(з). Поэтому дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня будет Е1„Р" + Ро = О. (4.2.1) Присоединим ж пену гранпчньле условия Р(О)= Р(1)= О. (4.2.2) Очевидно, что решение Р(з)— = 0 удовлетворяет и уравнению (4.2.1) н граничным условиям (4.2.2), но вопрос ставится так: 8* 1'нс.
4.2.1 При ллсследова~нви задач устойчивости нужно иметь в виду еще следующее обстоятельство. Реальная механическая система для ее изучения идеализируется, и в конечном счете мы имеем дело не с механическим объектом, а с дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений, отражающих действительные сэолйства объекта лилль приближенно ж в некоторой определенной области.
Решение задач устойчивости— это есть решение математической задачи, т. е. исследование свойств уравнений. Перенос результатов этого исследования на реальньш объект, т. е. предсказание механического эффекта, должно, делаться с осторожностью, потому что не все свойства решевий джфференциальных уравнений являются свойотвамп механической системы. Мы убедимся в ~этом в следующих параграфах. гл.
ь гстоячпвость сткгжнквых спствм 116 не моя ет ли иметь уравнение (4.2.1) при граничных условиях (4.2.2) нетривиальное, т. е. отличное от нуля решение. Эта постановка весьма напоминает постановку задачи о нетривиальном решении однородной системы линейных алгебраических уравнений, которое существует, как известно, если определитель системы равен нулю. Р .3 Положив — „= йз, перепишем (4.2.1) в виде Е1„ и "+ й'и = О и запишем общий интеграл этого уравнения г(г) =А юпйз+В сов йх. Из пер~ного граничного условия следует В = О. 11одставляя В=О во второе граничное условие, находим А з1пИ=О. (4.2.3) Если от'=О, Ать О, Ы= пя, то ~ тзЕ1„ Р ' х ~з (4.2.4) Формула (4.2.4) определяет бесконечную последовательность критических сил, длн которых возможно искривлен~нее состояние. Наименьшая критическая сила Р, называется эйлеровон силой Р„ она равна я~Е1„ Ра— Р (4.2.5) Полученный результат не может удовлетворить требованиям здравого смысла.
Если Р =Р„, то константа А остается совершенно неопределенной; значит, при критическом значении силы прогиб может быть каким угодно, равновесие оказывается безразличным. Далее, если сила заключена между Р„м Р„э„нетривиального решения задачи не существует и уравнение изгиба не может обнаружить никаких иных форм равновесия, кроме прямолинейной. Таким образом, необходимо более детальное пзучение фактического поведения сжатого стержня. Заметим, прежде всего, что прн составлении уравнения (4.2.1) была допущена известная противоречивость. До сих пор мы всегда имели дело с линейной зависимостью между силатьи и леремещенпями.
Эта линейность, помимо закона Гула, вытекала из предположения о малости углов поворота, которое использовалось два раза, а именно: 1. Уравнения статики составлялпсь для недеформпрованного состояния системы. я и2. ИРит11ческие силы по эЙлеРу 117 2.
Соотношения между перемещениям~и п дефориацпямп элементов системы линеаризовались. Но, записывая, что М„=РЭ, мы нару1паеи первое условие, тогда как полагая 1/р = и", мы сохраняем второе. Это — очевидная непоследовательность, за которую приходится расплачиваться, подучан неясный результат. Система (4.2.1), (4.2.2) остается линейной относительно Р(г), нам приходится интегрировать линейное уравнение, но задача по существу нелпнепна и критическая сила Р„ищется как корень трансцендентного уравнения (4.2.3). Оставаясь в рамках тех же допущений, выясним, какова связь полученного результата с постановкой задачи,об устойчивости по отношению к заданному возмущению. Обратимся для этого к уравнению продольно-поперечного изгиба (3.10.5), а пыевно: .2 э +йэ= —. Егх' (4.2.6) Хпг П =- зХ а,в1П Подставляя в (4.2.6), получим с / 1 ЕГ' х Уияо1киз1 обе части па з1пилг7( н проинтегрируем по г от г=О до г=й Так как Хяг .
Ипг зтп — зтп — 1)г — —, б,„(б,„— символ Кронекера), о то в левой части останется только одпп член, соответствующий и = г, п мы получ1РЙ Если возмущение создано произвольной поперечной нагрузкой, то для статически определимой балки, изображенной на рис.4.2 1, всегда можно построить эпюру моментов, т. е.
определить функцию Мх(г). Будем считать поэтому, что задание функции М„ и есть задание возмущения. Ищем решение уравнения (4.2.6) в виде ГЛ. 1. УСТОЙЧНВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 118 Здесь 2 р ° . пах т„= — ) М„(з) згп — дз. х — ~ ) х 0 Подставляя выражение для й' н используя формулу (4.2.4), найдем ж ах = Здесь Є— критическая сила с номером и. Выражение для прогиба получается следующим: Р(г) = ~, — зш (4.2.7) и=1 Функция Р(г), удовлетворяющая уравнению (4.2.6) и граничным условиям (4.2.2), непрерывная вместе со своей первой производной, представляется равномерно сходящимся рядом Фурье (4.2.7), содержащим только синусы кратных аргументов. Величины и„ представляют собой коэффициенты Фурье для функции М„, однако соответствующий ряд Фурье, .вообще говоря, не сходится ни в каком смысле, и функцию М„(г) не представляет (что следует из известной теоремы Гильберта — Шмидта, натзример).
Видно, гто при Р=Р„прогиб обращается в бесконечность, сколь бы нп было мало пг„, т. е. возмущение. Но если РчьР„, то всегда можно выбрать достаточно малую функциюМ, чтобы все т„был11 достаточно малы и прогиб не превосходил любу1о заданную величину. Теперь становится ясным, почему реальный смысл имеет именно первая критическая сила. В принципе, конечно, можно представить себе такую возмущающую нагрузку, что т, = О, тогда потеря устойчивости произойдет при критической силе Рг. Но этот идеальный случай в действительности неосуществим, при любой поперечной нагрузке т, т'--О, хотя может быть сколь угодно мало. Обращение прогиба в бесконечность на самом деле невозможно (в действительности |о~ < г/2), бесконечные прогибы появляются опять как следствие тгрименения линеаризованного Выраженмя для кривизны.
Таким образом, полученный результат скорее снгнализ1грует об опасности, возникающей при Р = Р„ чем позволяет оценить действительную степень этой опасности. з 4.3. Эластика Эйлера Результаты, полученные выше с помощью линеаризованного уравнения изгиба, неудовлетворительны в том отношении, что они не позволяют обнаружить искривленные формы осп стержня прп условии Р < Р < Р„ь в частности при Р > Р,. Поэтому я аз. элАстикА эйлеРА 119 мы рассмотрим задачу, поставленную в предыдущем параграфе, в точной постановке. Напишем дифференциальное уравнение изгиба так: Е/„х = — Ру.
Кривизна х изогнутой оси равна дО/оя, где 8 — изображенный на рис. 4.3.1 угол между касательноп к изогнутой осп стержня и осью, про- Р ходящей через его концы. у —.— Уравнение изгиба будет следующим: — = — йзу. (4.3.1) Здесь й тоже,чтоив $ 4.2. Продифференцируем уравнение (4.3.1) по г, заметив, что Ыу/ог = яш О. 11олучим — = — /сз я1п О.
(4.3.2) ~Ь Уравнение (4.3.2) интегрируется в собом. Запишем его так: я=М.", Рис. 4.33 квадратурах обычным спо- и /ЯО)' — — — = — — йз я1п О. 2 яО (, яз ) Заметим, что преобразование левой части вполне аналогично преобразованию левой части уравнения движения при выводе теоремы живых сил. Разделяя переменные и интегрируя, найдем — ) = 2/сз (с,оя 0 — соя 8,) . ( —:.''= ' ( †( = ~ ( ,з / О я8,) ~ 2 — = 4!з '(я1п —, — я1п дОз ° яо.зО 2,)' (4.3.3) Сделаем замену переменной, приняв ОО я1п —. = Ейп —,я)п ~р. 2 2 (4.3.4) Это всегда выполнимо, потому что 8 ~ В,. Дифференцируя (4.3.4), Мы воспользовалпсь адесь граничным условием при я=О, х = О и 0=0,. Перейдем в атом выражении к половинным углам по формуле соя 0 = 1 — 2 я1п'(О/2). Получим 120 гл. 1.
устоя*!ивость стегжнгвых спствм найдем 0 Е 0, сов — Гà — = вш — сов Гр Йр. 2 2 2 Преобразуем н новой переменной выражение (4.3.3). Получим, разделяя переменные: ГГ8 —— ар (4.3.5) 202 „2 1/ / ! — в!и в в!и ч 2 Положим вш(0,/2) = т. Заметим, что при 8 = О 0 = О, и Гр = я/2. Поэтому, интегрируя левую часть от нуля до 8, правую от я/2 до Гр, будем иметь 8= —— до )/1 — т в!и ГР иГ2 Знак минус выбран для того, чтобы было 8) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
