Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 23
Текст из файла (страница 23)
При переходе через сечение, где приложен момент либо сила, где начинается или кончается распределенная нагрузка, мы сохраняем все члены в формуле (3.8.9) и лишь добавляем соответствующий новый член. В втой а1 11 формуле фигуРируют две постоянные Я у — интегрирования с(0) и о'(0), которые должны определяться из граничных условий. г Простейший пример представлен — 1 на рис. 3.8.4.
Реакция опоры здесь равна д1/2, если 1 — длина балки. Она Рис. 3.8.4 направлена против оси у, следовательно, отрицательна, тогда как направленная вниз нагрузка положительна. Из условия закрепчения левой опоры следует, что с(0) = О. Итак, по формуле (3.8.9) ЕУхп(з) =-ЕХ„О'(О) з — з —, + о 2 6 24' Постоянная о'(0) находится из условия, что с(1) = 0 0 Е1 (О) г + 4 Отсюда следует Е1хп (О) = 4 и, следовательно: п (х) = ((з — 2(ге + з'). 24Е1х Наибольший прогиб будет при з = 1/2, а именно пшах = — и ( .~ ) = — 88ТЕ1 ° 1 з.з. о ккшкннн диююкккнцнальных укавнкннн з»)3 к 3.9. 0 решении линейных дифференциальных уравнений с постояннымн коэффициентами 3»» кп — т — +а +...+а и — Ь(и)=0. К и т,~зи-т ~ и (3.9 1) Возьмем произвольную систему линейно неаависимых частных решений иьиь ...
иа и построим из них новую систему частных решений Уь, обладающих тем свойством, что Уь (0) = П»,(0) = ... = У~~~ г» (0) = О, »»'»ь" ~) (0) = 1. (3.9.2) Вто всегда возможно. Для этого надо взять линейную комбинацию из частных решений и» ПЬ вЂ” — ~ с„иг »=1 Коэффициенты сь», см, ..., с»„найдем яз уравнений ыи<.'-Ю (О) = бвс »=г (3.9.3) Детерминант этой системы есть детерминант Вронского для системы функций и», из, ..., и„при з = О, он отличен от нуля вследствие линейной независимости функций ио и„..., и . Поэтому всегда можно найти коэффициенты сы и фактически построить функцию Уь(з). Образуем систему таких частных решений: П»(з), Пз(з), ..., У„(з), Каждая нз этих функций обладаег свойствам (3.9.2). Составим следующую таблицу, в которой сведены начальные значения функций и их производных: У(0) б'(0) У" (0) У'"(0) У» 1 0 0 0 Пз 0 1 0 0 багз 0 0 1 0 Во всех клетках этой таолнцы стоят нули, лишь на главной диагонали— единицы.
Поэтому спстема Уь частных решений уравнения (3.93) называется системой с единлчной матрицей. Будем строить общий интеграл уравнения (3.93) именно с помощью этой системы частных решений, линейная независимость которой усматривается из того факта, что ее определитель Вронского при з = 0 есть определитель единичной матрицы, следовательно, Более сложные задачи, относящиеся к изгибу, как-то: продолыю-поперечный изгиб, изгиб балок на упругом основании, поперечные колебания балок — сводятся к решению линейных уравнении с постоянными коэффициентами более сложного вида, чем уравнение (3.8.4). Трудность интегрированна этих уравнений заключается в том, что правая часть есть функция от з, имеющая разные аналитические выражения на разных участках.
Излагаемый ниже метод прнменялсн еще Каши; для изгиба балок он был детально разработав Крыловым. Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение поря»~- ка и с постоянными коэффициентами ГЛ. 3. ИЗГИБ БЛЛОК 104 равен единице. Таким образом. и (г) = ~ С,.(тг (г]. т=г Займемся теперь решеяием иеодпородного уравнения Ь(и) = 1(г).
(3.9.4) Докажем следующую теорему: Интеграл уравнения (3.9.4), обращающийся в нуль вместе со своими производными до порядка и — 1 включительно при г =- О, дается формулой г =- 1 Сп(.— 5)1(() 30. о (3.9.5) и' (г) = (г„ (0) г (г) + ~ с„ (г — ь) г' (4) дь. о Но С (0) = О вследствие специального выбора функций Сг(г). Продолжая процесс дифференцирования, яайдем г ип (г) = ~ Сг (г — ь) / (ь) Ыь о и так далее, до производной порядка п — 1 включительно. Производная же порядка и г и1тд (г) = С~„" г1 (О) ) (г) + ~ С~„Щ (г — ь) ) (ь) д~, о причеъг Ст~„" Ю (0) = 1.
Подставим теперь все последовательные производкые функции и(г) в уравиепие (3.9.4). Вследствие постоянства козффициеятов Се под иктегралом получится та же комбииация производяых фуякций (Г (г), что и в операторе В(и). Учитывая же, что коэффициент при игю есть единица, полу- чим 1 5 (Сг„) 1(5) 30 + 1(.) =- 1(.). о Но Се есть решение уравнения (3.9.1), Л(Вв) = О, поэтому мы получили тождество, что и доказьгвает теорему. Форьгула (3.9.5) дает не какое-нибудь частное решение уравнения (3.9Л), а решение, обращающееся в нуль вместе со своими производкымк до порядка и — 1 включительно ври г = О. Это большое преимущество получеяиого решения, упрощающее определение постояняых из яачальпых условий.
При этом предполагается, что в уравнении (3.9.4) коэффициент при старшей производной сделан равным единице. Вычислим Боследовательлые производные функции и(г], определяемой с помощью (3.9.5). Здесь г одноеремекко является и верхним пределом интеграла, и параметром, поэтому по известной теореме анализа 1 З.е. 0 Решении диФФеРенциАльных уРАВнении я$ Общий интеграл уравнения (3.9.4) может быть представлен следующим образом: п г и (з),= чч сд(гд(з)+ ) 6гх (з — ь) 1 (ь) йь. Д-1 о Постоянные Сь ..., С имегот здесь совершенно определенные значенияс Действительно, пололгим з = О.
Получим и(0) = Сь Вычислим производную от и порядка Д вЂ” 1 и положим з = О. В правой части обратятся в нуль все члены, кроме содержащего множителем стд, так как й1д~ И(0) = 1. Получим иы 0(0) = Сд. Таким образом, х з и(з) = ~~Р~ и~~ И(0) Сд(з)+) Сго(з — ь)1(ь) йь. (3.9.6) Д=1 о Формула (3.9.6) представляет общий интеграл линейного дифференциального уравнения с правой частью в форме, наиболее удобной для приложений. Постояшгые интегрирования имеют здесь простой смысл: зто начальные (нри з = 0) значения искомой функции и ее производных. Поэтому метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный нн формуле (3.9.6) н широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров, он разрабатывался рядом советских авторов пе только в применении к балкам, но также к пластинкам и оболочкам.
В качестве примера рассмотрим уже изученное нами уравнение (3.3.4Р Мх Соответствующее однородное уравнение и" О. Его частные решения, обладающие единичной матрицей, суть У~=1, (Гз=з. Действительно, бт,(0) = 1, Сг(0) =О, Сг (0) = О, (7з(0) = 1 ° По формуле (3.9.6) м„<р а(з) = г(0) 1+ г'(0) з+ $ (з — Ь) й, дь. (3.9.7Р х о По теореме Каши 1 1 1 1(.— 1)1(1) 31= 1 1 У(.) 3.3. а о о 106 Гл.
3. изгиБ БАлок й 3.10. Продольно-поперечный изгиб йХх = Ри + М,. (з). Внесем это выражение в уравнение изгиба (3.8.4). Получим Р Мх у — — э = —. Е!х Е1х' (3.10.1) Это и есть уравнение продольно-поперечного изгиба. В дальнейшем нужно рассматривать отдельно два случая. Р 1. Р) О, сила растягивает стержень. Положим —. = йз. ПереЕ1„ пишем уравнение (3.10.1) следующим образом: их — уо =- —,'. Е1х Применим к нему метод, изложенный в предыдущем параграфе.
Частные решения соответствующего однородного урав- нения сЬ йг, — зЫ;з 1 удовлетворяют условиям, поставленным для функций У~(з). Действительно, при в=О зЬАз = О, производная же этой функции, т. е. сЬхг, обращается при э=О в единицу. Таким образом, П, = — сЬ йзх Уз = — .Ысз. Рассмотрим стержонь, на который, кроме поперечной нагрузки, действует продольная сжимающая или растягнвающая сила. Пока стержень был прямым, эта сила вызывала только растяжение или сжатие стержня; как только стержень изогнулся, сила Р (рис.
3.10.1) создает в сечениях изгибающий момент. В случае а1 ю этот момент от силы Р в сечении с координатой з есть Ри, где о— прогиб. В случае б) момент есть Р(и — и,) =Ро — М,. Через М, мы Р обозначили величину Рг,. Эта величина является неизвестной Рис. 3303 постоянной, отнесем ее к по- перечным нагрузкам, момент от которых в сечении с координатой з есть М„. Таким образом, полный изгибающий момент г зза. пводольно-попкввчныи изгив По формуле (3.9.6) и(г) = и(0) сийг+ о' (0) — зЫсг+ — ) зпй(г — ь) — д~. Г м„' (р о (3.10.3) Это и есть общее решение уравнения продольно-поперечного изгиба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
