Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Сложная волновая картина при продольном ударе будет рассмотрена ! более детально в гл. 13, сейчас же мы сделаем предположение, до чрезвычайности упрощающее весь анализ, а именно мы предположим, что плотность материала стержня равна нулю и, следовательно, скорость распространения продольной волны бескоРвш 2.11Л печно велика. Это значит, что деформация после удара распространяется по стержню мгновенно и в каждый момент одинакова во всех сечениях. В такой упрощенной постановке задача решается прямым применением уравнения энергии: 3 2.11. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИДАРК перепишется следующим образом: (са(),.

= У211(ст() „. (2 И.4) Если груз (т велик, а высота й мала, то формула (2.И.З) становится неточной. Мы уже не имеем права пренебречь той дополнительной работой, которую производит груз на перемещении М. При Лс = (ст() „ уравнение работ будет следующим: (т (й + (61)саах) = 22 (Л()стах Это — квадратное уравнение для (са(), которое можно переписать в виде (Ютах 2(А()ст(А()таах 211 (А()ст = О.

Решение его (А1)вах = (й()ст + Р (А()ст+ 2Ь- (й()ст. При решении уравнения ыы выбрали знак плюс перед радикалом. Если после соударения груз окажется связанным со стеряснем, он будет совершать колебательное движение и решение со знаком минус соответствует крайнему верхнему положению. На самом деле при движении вверх груз отрывается от стержня раньше, чем будет достигнуто это положение.

Если (Ы)., << Й, отсюда следует приближенная формула (2.И.4). Другой краиний случай это тот, когда )1 = О, груз не падает, а просто внезапно прикладывается всей своей величиной. Тогда из (2 И.5) следует (й() „= 2(ст()„. (2.И.6) Наибольшие силы, действующие на систему во время удара и складывающиеся из действующих сил и сил инерции, пропорциональны перемещениям. Поэтому при расчетах на действие динамических нагрузок те напряжения, которые получаются в результате статического расчета, следует умножить на динамический коэффициент, равный (61) I(61) . В том анализе, который был приведен, совершенно несущественно, что производился сжимающий удар по стержню, как изображено на рис.

2.И.1. Формулы (2.И.2) — (2.И.6) справедливы для любой линейно-упругой системы, если можно допустить, что масса ее пренебрежимо мала по сравнению с массой ударяющего груза. В действительности процесс удара это — всегда волновой процесс. В гл. 6 эта же задача будет рассмотрена применительно к продольному удару по стержню более точно, там же будут выяснены ограничения приближенного решения, приведенного в этом параграфе. ГЛАВА 3 ИЗГИБ БАЛОК 5 3.1. Действие поперечных снл на балку Рассмотрим стержень, находящийся под действием приложенных к нему поперечных, т. е.

перпендикулярных его оси, сил. Такие стержни, нагруженные поперечными силами, обычно называют балками. Если тело упруго, а вначале мы будем рассматривать именно упругие стержни, то действие системы сил можно рассматривать как сумму действий каждой из сил, взятых по отдельности. Поэтому мы предположим, что на конце стержня приложена одна единственная сосредоточенная сила Р, а другой конец защемлен неподвижно (рис. 3.1.1). Качественные выводы будут справедливы и для пластических стержней при произвольной, поперечной нагрузке. Предположим, что все поперечные размеры стержня имеют один и тот же порядок Ь, как это было оговорено в з 2.1, длина стержня есть й Очевидно, что если стержень сломается, то зто произойдет в сечении, близком к заделке, так называемом «опасном» сечении.

Выясним, какие напряжения возникнут в этом сечении. Прежде всего, сила стремится срезать балку. Употребляя такое неточное выражение, мы подразумеваем, что для уравновешения силы Р в любом сечении, необязательно опасном, необходимо приложить касательные, «срезывающие» напряжения т', которые распределены по сечению таким образом, что их равнодействующая уравновешивает силу Р. Будем называть эти напряжения касательными напряжениями изгиба; они показаны внизу рис.

3.1.1, распределение их одинаково во всех сечениях, следовательно, по отпошенпю к срезу все сечения изображенной балки равноопасны. Далее, сила Р, вообще говоря, вызывает кручение балки. Если стержень имеет продольную плоскость симметрии, то, очевидно, напряжения кручения не возникнут тогда, когда сила лежит в этой плоскости. Если сила параллельна этой плоскости, 5 зз. действие попегечыых сил нА БАлку 77 Р Ь" (3.1.1) Формула (3.1.1) дает лишь оценку порядка величины напряжения т', но не позволяет, конечно, вычислить эту величину, для этого в формуле (3.1.1) долл1ен был бы фигурировать еще числовой множитель.

Крутящий момент представляет собою произведение силы на расстояние между линией ее действия и плоскостью, проходящей через центр изгиба. Значит, порядок величины момента есть РЬ. Касательные напряжения кручения могут зависеть только от размера Ь, но не от 1, следовательно, для нпх получается такая же оценка (3.1.2) Перейдем к оценке нормальных напряжений. Момент силы относительно оси, лежащей в опасном сечении и, например, ортогональной к направлению силы, есть РЬ Момент внутренних сил, т. е.

напряжений и, зависит только от о п Ь. Соображения размерности убеждают нас в том, что порядок величины этого то произведение силы на расстояние линии ее действия от плоскости симметрии пазывается крутящим моментом. В несимметричном сечении можно всегда найти точку, называемую центром изгиба. Когда поперечная сила действует в плоскости, содержащей в себе центры изгиба всех поперечных сечений, кручения пе происходит. Есля напряжения кручения существуют, мы обозначим пх т". Как этп напряжения, так п положение центра изгиба не могут быть найдены элементарным способом. Задача кручения относится к теории упругости или иной математической теории деформируемого тела.

Исключение представляет случай круглого поперечного сечения, где решение элементарно, однако вряд ли имеет смысл выделять этот изолированный случай нз общего контекста. Наконец, в поперечном сечении должны возникнуть нормальные напряжения, создающие момент, уравновешивающий момент силы Р относительно любой оси, лежащей в плоскости сечения. Зги напряжения мы будем называть нормальнымп напряжениями изгиба а. Очевидно, что именно нормальные напряжения максимальны в сечении, наиболее удаленном от приложенной силы.

Ояп то и делают зто сечение опасным. Дадим грубую оценку величин напряжений т', т" и о. Для оценки т заметим, что площадь сечения стержня может отличаться от величины Ь- 'лишь числовым множителем порядка единицы. Понимая под т среднее напряжение, мы получим Гл. з. изгиБ БАлОк 78 момента есть ОЬ'. Поэтому Р и- — —. Ь ' (3 1.3) Если длина стержня 1 велика по сравненшо с поперечным размером Ь, то касательные напряжения т и т" малы по сравненшо с нормальным напряжением а. Это нужно понимать в том смысле, что при увеличении длины стержня с сохранением его поперечного сечения касательные напряжения остаются неизменнымп, а нормальные возрастают пропорционально длине. Ташьм образом, всегда можно сделать отношение 1/Ь таким, чтобы наибольшие касательные напряжения составили сколь угодно малую дол1О от наибольших нормальных. В теории изгиба, как правило, основное внимание обращается именно на нормальные напряжения, касательные же во внимание не принимаются.

Исключения могут быть в следующих случаях. а, Тонкостенные стержни. Если максимальный размер поперечного сечения Ь много больше минимального разььера б, в оценке (3.1.1) числовой множитель в правой части может быть порядка Ь/б, а если Ь/6 — Иь, то касательные ььапряженпя будут того же порядка, что п нормальные.

б. 2'акис Аьатвриальь как древесина, например, имеют малое сопротивление межслойному сдвигу и для достаточно коротких балок существенно меньшие по величине касательные напряжения могут оказаться более опасными, чем нормальные. Пменпо в этой связи в середине Х1Х столетия была развита теория касательных напряжений при изгибе.

Сейчас учет касательных напряжений оказался необходимым при расчете пластиков. армированных высокопрочным волокном. 5 3.2. Закон плоских сечений Ставя своей задачей только определение нормальных напряжений изгиба, в основу теории достаточно положить предположение о том, что плоские до деформацпн поперечные сечения балки остаются после деформации плоскпмн и ортогональпымп к изогнутой оси.

Теорзья изгиба, следующая пз этого предположения, носит название технической теории илн теории Вернуллп — Эплера, Точная теория изгиба, построенная Сен-Венаноп для случая, когда балка загружена сосредоточеннымп спламп, а также немногочисленные (чрезвычайно громоздкие) решения задач об изгибе распределенной нагрузкой убеждают нас в том, что хотя закон плоских сечений и не соблюдается, полученные на основе его выводы оказываются весьма точными (если, конечно, ЬП « 1). После того как мы сделали допущение о сохранении плоских сечений, деформированное состояние стержня может быть описа- 6 3 -".

Характеристики

Список файлов книги