Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Построим отдельно диаграмму перемещений (одной и двумя черточками отмечены соответственно параллельные отрезки). Спроектируем ломаную ЛВЛ' на направления стержней. Получим Ы) = иг Зги К+ ивСОВСГ, Жз = иг ВШР+ и СОВ () Отсюда находится Ы В)п3+ А( В)п)х А( сов() — б( созсс ив = з;и (,„ ( 3) , и„ = В., („ + 3) , (2.3.2) Вслячппы АП н ЛП легко находятся по формуле (2.ЗЛ), если указана сила, нриложеппая в то'гке Л.
Усилия д)1 и д)) определяются из условий статики. Заметим, что, еглп и+ 3 = я, формулы (2.3.2) становятся неприменимыми. В этом случае перемещение точки А н удлинения стержней имеют различный порядок малости. На рпс. 2.3А изображена такая система: два 5 Х4. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫГ ЗАДАЧИ одинаковых стержня образуют угол, равный и, к уалу приложена сила Р, перпендикулярная стергкням.
В предыдущей задаче мы пренебрегли изменением углов а и р вследствие деформации стержней и составляли уравнения стержня для нахождения Л, и Лг, считая зтп углы теми же, что в исходном состоянии. В случае, изображенном на рис. 2.3.4, так делать нсльзя, ! мы вынуждены предположить, что узел переместился на величину и, стержни наклонились на угол а каждый, так что 43 а = ид. Уравнение статики, составленное для деформированной системы, будет р 2)тюпа — Р = О. (2.3.3) Удлинение стержня выразится следующим оо- разом: Д, ,~ 1 1) Отсюда, по закону Рука 1 — соз а сова (2.3.4) Л Пг Гг Исключив нз (2.3.3) и (2.3.4) усилие Л, найцем г Рис. 2,3.3 Рис.
2.3.4 а как функцию Р. Поскольку упругая деформация стержня мала, перемещение и, а следовательно, и угол а тоже малые величины, только другого порядка. Полагая прнблйженно юп а — гда ж а, соз а ж 1 — аг/2, внося эти выражения в (2.3.3) и (2.3.4) и проделывая указанное исключение, получим и = (йРЯЕР). Зависимость перемещения от силы оказалась резко нелинейной. 5 2.4. Статически неопределенные задачи на растяжение — сжатие Последний пример предыдущего параграфа относится к особому случаю и представляет собою исключение из общего правила. Общее же правило состоит в том, что уравнения статики составляются в пренебрежении теми изменениями геометрии, которые связаны с деформацией.
Уравнения статики линейны, соотношения между перемещениями и деформациями стержней также линейны. Если считать справедливым закон Гука (2.3Л), то в результате решения цепочки линейных уравнений перемеЩения окажутся линейными функциями внешних сил. Гч. х РАстяженик и с>гглтик Поясним описанную схему на нескольких простейших примерах. а. Система нз двух стержней, изображонная на рис, 2,З.З, дополнена третьим вертикальным стержнем.
Б точке А приложена сила Р, направленная вертикально вниз (вертикальное направление стержня и силы совершенно необязательны, это сделано только для определенности). Горизонтальное перемещение точки Л не вызывает удлняения третьего стеРжнЯ, веРтикальное пеРемещение Равно Удлинению атого стеРжпЯ Л!ь С другой стороны, первая из формул (2.3.2) выражает это перемещение через Л(~ и Л(г. Таким образом, получаом уравнение совместности Л1, з(п () + Л1 з(пи з Мп(п+()) (2.4.1) Формулы закона Гука записываются обычным спосооом 1гггг Л1г = —,.
ЕгР,: (2.4.2) Наконец, уравнепия статики для узла Л будут слодующпмп: Л7~ соз гз + Хз соз () + Уз — Р = О, )У~ з!п а — Мг ып З = О. После того как в уравнении (2.4.1) удлинения будут заменены через усилия с помощью (2.4.2], остается система трех линейных уравнений для определения трох усилий Хь )уг и туз. б. Болт с площадью сеченип Р, вставлен в трубку из того л~е материала с площадью сечения Еь как показано на рнс. 2.4.1. Приведя головку болта и шайбу в плотное соприкосновение с трубкой, поворачивают гайку так, чтобы опа переместилась по нарезке в направлении осп на величину Ь.
Требуется определить нанряження в болте и трубке. Прн выполнении пункта 1 плана, т. е. яри составлении уравнения совместности деформаций следует помнить, что эти уравнения связывагот любью зозможкыс деформации элементов системы. Предположим поэтому, вопреки очевидности, что как трубка, так и болт удлиняются, по удлинение болта больше, чем удлинение трубки на Теперь мы можем перейти к решению задач статически неопределенных, понятие о которых было дано в 1 1.5.
Общий план решения таких задач состоит в следующем. 1. Составить уравнения совместности деформаций, т. е. соотношения, связывающие деформации отдельных элементов при всех возможных перемещениях узлов. 2. Заменить в уравнениях совместности деформации через напряжения плп успчпя по закону Рука (пли иному аакопу связи). 3. Составить уравпепгия статики, считая геометрию системы опредоленпой для педеформированпого состояния системы.
4. Решить полученную систему линейных уравнений. В отдельных случаях может возникнуть ситуация, подобная той, которая была рассмотрена в конце предыдущего параграфа. Тогда уравнения совместности деформаций окажутся нелинейными и уравнения статики придется составлять с учетом изменения углов из-за деформации элементов. ф 2.1.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ 53 величину Ь. Итак, Лй — ЛГ2 = й. (2.4.3) заменяя йч и Л(2 через на- (2.4.3) в виде соотношения Пренебрегая толщиной шайоы, полагаем ), = (г, пряжения по закону Гула, перепишем условие мегкду напряжениями ЕЬ и — а 1 2 (2.4.4) Поскольку мы посчиталп оба элемента растянутыми, прп составлении уравнения равновесия нужна считать, что как в болте, тап н в трубке напряжения полоягительпы. Рассекая систему плоскостью тп и составляя условие равновесия любой из частей, получпи а,Р~ + пгрг = О.
(2,4.5) Решая спстеиу (2.4.4), (2.4.5), найдем ЕЛ Р Ей Р, о = гР,+; оз=,+Р Приложим теперь к верхнему концу неизвестную реакцию Х, которая вытягивает стержень па велпчпну бг, равную бх = Х.Зо((ЕР). Условие неизменности данны стержня будет следующим: 6»+ бх = О. Отсюда, подставив выражения 6» н бхт находим Х = Р. Теперь легко подсчитать, что на первом участке Л1~ = Р, на втором Е, = О н на третьем Л'1 = — Р. г. Следующий пример будет относиться к определению так называемых температурных и монтажных напряжений.
Возвращаясь к схеме, изображенной на рпс, 2.3.3, примем для простоты, что сг = (), шарнирные крепле- Совершенно очевидный результат, состоящий в тои, что болт растягивается, а трубка сжимается, получился в результате решения автоматически. в. В следующем примере будет приве- ~а дено решение статически неопределенной дом, который состоит в том, что у системы освобождают столько связей, сколько нужно для превращения ее в статически определимую.
Прикладывая реакции этих связев, выбирают величины их так. чтобы уничтожить перемещения, ставшие воз- Р можными благодаря нарушеви1о связеи. Эти перемещения вычисляют по отдельности от действующих спл и от неизвестных Реакций; вследствие линейности системы результиругощее пгргмгщгпио есть сумма перемещений от каждой пз сил по отдельности. Эту сумму приравнивают нулю, таким образом, получают уравнения длн на- Рпс. 2..2 хождения неизвестных реакций. Па рнс.
2.4.2 изображен стержень, концы которого закреплены между неподвижными основаниями, он нагружен двумя продольными силами. Требуется определить усилия во всех трех участках стержпл. Освободив верхнюю заделку, мы даем возмогкность верхнему концу переместиться вниз па величину 6», равную Ра Р ° 2а ЗРа 6 Р ЕР ЕР ЕР' Гл. 2. РАстязкепие и сжАтие пия стержней расположены па одной горизонтали, площади сечений и модули упругости стержней одинаковы (рнс. 2.4.3). Но средний стержень окавался изготовленным на величину 6 длиннее, чем это необходимо для сборки системы без приложения усилий.
В этом случае сборка становится возможной только аа счет упругой деформации стержней. Применим общую схему, составим уравнение совместности дефорзгаций, основываясь на диаграмме, изображенной внизу рис. 2.4.3, Условие совместности будет йй = (Юг+ 6) сова. (2.4 ~)) Здесь Жз — упругая деформация, поэтому уравне- ние (2.4.6) переписывается следующим образом: —— — ( Е + 6) соз а. Составляя уравнение равновесия и решая полученную систему, найдем Е6 созе а Е6 2 созе а о з, о (з 1+2созза ' з (з 4+2созза Рис. 2.4.3 Совершен~го такой же результат будет получен, если система соорана без усилий при температуре г„а после этого среднип стержень нагрот до температуры г ) гь Действительно, безразлично в каком порядке осуществляются нагревапие стержня и сборка системы.
Мохччго представить себе, что сначала средний стержень нагрет, в результате чего он приобрел удлинение 6 = а(г — г,)й и после этого произведена сборка. Заменяя в полученных выше формулах величину 6 ее выражением через температуру (см, $2.9), получим решение задач о температурных напряжениях. Заметим, что для задач о температурных нли монтажных напряжениях в статически неопределимых системах можно применять полностью указапную в начале этого параграфа схему, т. е. составлять уравнения совместности деформаций обычным способом, но при выполнении пункта 2 учитывать, что полная деформация стержня состоит из упругой деформации и вынужденной несовместной деформации 6, которая может происходить от температуры или от несоответствия действительного размера элемента проектному размеру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
