Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для отыскания остаточных напряжений после разгрузки мы поступим следующим образом. Обозначим остаточные напряжения а„, остаточные деформации еал последние могут быть упругими у тех стержнеп, которые оставались упругими, и упругопластнческими у стержней, перешедших в пластическое состояние. Уравнения (2.6.1), (2.6.2) справедливы, как было уже отмечено, для любого состояния системы, следовательно, и для состояния разгрузки, если принять В1= 0. Таким образом: ГЛ, 2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 6О из пластического состояния (о,— о, ) =Е,(е; — е„).
Положим Е; — Ета =. Е;, О; — О;О = О;. Тогда уравнения (2.6.6) можно переписать в форме, совершенно тождественной (2.6.1) п (2.6.2) п и Ьпо = В2, ~~'„апе; = — О, но теперь для всех стержней справедлив закон Гука о, =Е;е,. Решая эти уравнения, мы найдем о; и е; и вычислим остаточные деформации и остаточные напряжения по формулам: е;,= — е; — е,, о;,=о; — о;. Таким образом, мы получаем следующее правило пахоткдення остаточных напряжений и деформаций после разгрузки. Для определения напряжений и деформаций, остающихся в упругопластической системе после снятия нагрузки, нужно вьь- честь из действительных напрязкений и деформаций, соответству- ющих данной нагрузке, напряжения и деформации, вычисленные для той же нагрузки в предположении об упругом поведении всех ее элементов.
Определим для примера остаточные напряжения в системе из трех стержней, изображенной па рис. 2.5.1, в предположении, что Р = Р, и, следовательно, все стержни доведены до предела те- кучести. Фиктивные усилия, вычисленные в предположении упру- гости стержней, будут соз а 2 1 ттт = Рт Л', = Р, 1 + 2 созз а 1+2 созга Следовательно, после разгрузки будет соз а 1 то Отр Рт 2 Л 22 Отр Рт 1+2созза 1+ 2 созга Предположим теперь, что разгруженная система нагружается вторично. Усилия, соответствующие вновь приложенной силе Р, можно определить так, как если бы остаточных напряжений не было, а потом прибавить к нпм остаточные усилия. Получаем ,2 ~2 Отр (Рт Р) 2 ~2' отЕ (Рт Р) 1+ 2 созз а 1+ 2 соз а Из этих формул ясно видно, что при Р(Р, все три стержня г 2.6.
ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ остаются в упругом состоянии, они переходят в пластическое состояние все сразу при Р = Р,. Не составляет труда показать, что этот результат носит совершенно общий характер, а именно: При повторной нагрузке все элементы остаются упругими до тех пор, пока новая нагрузка не превышает той, от которой произведена разгрузка. Обращаясь к рис, 2.5.2, мы видим, что разгрузка от любой точки следует прямой, параллельнои начальному участку диаграммы, и повторная нагрузка следует той же прямой до точки Л, из которой была произведена разгрузка.
После того как будет вновь достигнута точка А, соответствующая силе Р', напряжения в стерлгнях, подвергшихся пластической деформации, опнть достигают предела текучести, система опять перейдет в упруго- пластическое состояние и дальнейшее деформирование будет следовать той же диаграмме, которой следовала бы зависимость между Р и и при отсутствии промежуточной разгрузки. Такое поведение упругопластической стержневой системы совершенно подобно поведению образца из упрочняющегосн упругопластического материала, соответствующего диаграмме на рнс.
1.9.1. Только для образца диаграмма деформирования представляет собою плавную кривую, тогда как для стрежневой системы, содержащей конечное число стержней, зта диаграмма будет ломаной. Отсюда вытекает естественная мысль — моделировать упрочняющиеся упругопластические тела набором Идеально упруго- пластических стержней, вынужденных деформироваться совместно. Применение установленного выше правила, позволяющего определить остаточные напряжения после разгрузки, встречает одно ограничение.
В рассмотренном примере №о > О, а йы(0. Может оказаться, что остаточное сжимающее напря2кение №,/Р по абсолютной величине больше, чем предел текучести. В этом случае говорят о вторичных пластических деформациях: если онн появляются, т. е. если в результате расчета оказывается, что какая-то из величин О, по абсолютной величине превышает О„то все рассуждения, конечно, становятся неверными.
Читатель легко убедится сам, что в этом случае правило нахождения остаточных напряжений и деформаций после разгрузки допускает очень простое обобщение. Фиктивные напряжения н деформации, О„и е,„, нужно вычислять с учетом возможности пластических деформаций, но прн удвоенном пределе текучести. Отсюда вытекает простое правило для определения того, появляются ли в системе вторичные пластические деформации. Нужно определить напряжения во всех стерлснях прн Р = Р, в предположении упругостп их и проверить, не окажется лн в каком-либо стержне напряжен1ие большим чем 2о,.
ГЛ. Е РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 5 2.7. Большая деформация При рассмотрении задач о растяжении упругих стержней предполагалось, что деформации малы. Однако пластические деформации металлов и упругие деформации таких материалов как резина могут быть значительны. Посмотрим, каким образом может повлиять учет значительной величины деформаций на приведенные выше рассуждения*).
Прежде всего остановимся на понятии напряжения. При растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются, следовательно, уменьшается площадь сечения. Истинное напряжение есть сила, поделенная на фактическую площадь поперечного сечения; таким образом, оно зависит не только от величины силы, но и от величины вызванной этой силой деформации. Чтобы построить диаграмму и — е, нужно во время опыта непрерывно измерять поперечный размер стержня, что бывает затруднительно.
Часто под напряжением понимают силу, поделенную на первоначальную площадь поперечного сечения, определенное таким образом напряжение называется условным, будем обозначать его а,. Относительная деформация е была определена как отношение приращения длины к первоначальной длине. Такое определение может быть сохранено и для больших деформаций, однако с ним связано некоторое неудобство. Относительная деформация не аддитивна. Поясним это обстоятельство. Предположим, что стержень деформировался в два приема: первоначальная длина его была („ после первой деформации длина стала (,.
Относительная деформация есть е, = ((,— (,)Л,. Теперь стержень деформирован еше раз, длина его стала 1,. Длина (, по отношению ко второму этапу деформирования является начальной, значит относительная деформация на втором этапе есть еи = ((з — (~)ЛР Полная деформация, отнесенная к первоначальной длине е = (Ц вЂ” 2,)П,. Видно, что е Ф е, + е,. Коли е, и е, малы по сравнению с единицей, то соотношение е = е, + е, справедливо с точностью до величин второго порядка малости; таким образом, малые деформации аддитивны. В механике резнноподобных материалов вместо относительной деформации е часто используют величину Х = И„называемую кратностью.
Очевидно, Л =1+ е. В качестве меры деформации, вообще говоря, можно выбрать любую функцию от е (или от А). Определенными преимуществами обладает логарифмическая деформация, определяемая *) В литературе часто можае встретить совершевво неточный термен «конечные» деформации. о хо. упгугля энвггия и упгугик потенцнАЛЫ 63 следующим образом: е = 1п — = 1п (1 + е). ~о При малых деформациях, разлагая логарифмы в ряд п удерживая первый член, найдем с = е. Таким образом, малая логарифмическая деформация совпадает с обычной. Логарифмические деформации аддитивны.
Действительно, обращаясь к приведенному выше примеру, когда деформирование производилось в два этапа, найдем ~о е =1п — ', е =1п — ', е=1п а х о Очевидно, что е = е,+е,. $ 2 8. Упругая энергия н упругие потенциалы В этом параграфе мы будем рассматривать упругое тело как механическую консервативную систему, т. е. систему, для которой работа внешней силы целиком затрачивается на сообщение кинетической энергии движения тела и накопление полностью обратимой потенциальной энергии. Последнее свойство — способность накапливать потенциальную энергию и возвращать ее в том или ином виде — широко использовалось ранее и, в меньшей степени, используется в настоящее время. Примерами могут слунсить лук — во времена доисторические и исторические, заводная пружина часов — в наши дни.
Высказанное утверждение можно записать следующим образом: А = 2'+ С. (2.8.1) Здесь А — работа внешних сил, х' — кинетическая энергия движения, (У вЂ” потенциальная энергия деформации. Чтобы вычислить величину П, нужно предположить, что внешняя сила прикладывается таким образом, чтобы кинетической энергией можно было пренебречь. Очевидно, для этого нужно, чтобы сила прикладывалась достаточно медленно и производила деформацию с малой скоростью. В пределе, при скорости приложения нагрузки, стремящейся к нулю, мы получим из (2.8А) А =П.
Заметим, что фактически для выполнения этого равенства с большой точностью пет необходимости делать скорость очень малой. Ведь кинетическая энергия т" изменяется пропорционально квадрату скорости: уменьшая скорость в 10 раз, мы уменьшаем величину 2' в 100 раз. гп. 2. РАстяжкник и сжьтик Процесс деформации стержня можно представить себе как последовательность бесконечно малых приращений удлинения д(И), вызываемых ростом силы, которая связана с удлинением при растяжении — сжатии законом Гука.
Поэтому А = й =- ~ ЯЧ (Лг). о (2.8.2) Полагая Р = аГ, И = е1 и замечая, что (Р = К, где У вЂ” объем стержня, найдем е Г =- 'г' ~оке. о Закон упругости связывает о и е зависимостью (1.8.1): о = ~р(е). Положим 6 е П = ~ оде =- ~ с~ (е) Не. о о (2.8.3) Ее о П = — =- —. 2 2Е' (2.8.4) Для упругой энергии стернсня в целом путем умножения (2.8.4) на )' = Л или непосредственно, интегрируя Р (2.8.2) с учетом (2.3.1), находим Следует обратить внимание на последнее выражение для П.
Условие А = П требует, чтобы сила прикладывалась постепенно, возрастая от лс нуля до конечного значения У. График зависимости силы от перемещения представлен при этом на рис. 2.8.1, и работа изображается площадью заштрихованного треугольника. В теоретической механике консервативными силами называются силы, имеющие потенциал, только для таких сил справедливо уравнение сохранения механической энергии (2.8Л). Вообще, зависимость и переменных у„ун ..., у от других н переменных х„х„..., х„называется потенциальной в том случае, когда Величина П представляет собою упругую энергию на единицу объема.
Волнистая черта над символом П обозначает, что эта величина проинтегрирована по всему объему тела, в данном случае просто умножена на объем. Для линейного упругого тела нз (2.8.3) следует о 2.8. УПРУГАН ЭНЕРГИЯ И УПРУГИЕ ПОТЕНЦПЛЛЪ| существует такая функция лг'(х„), что Уь = —;, дгг (2.8.6) Оказывается, что если справедливы соотношения (2.8.6), то обратные соотношения, выражающие х„через у., могут быть представлены в аналогичной форме, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
