Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Наибольшее распространение получилн волокна бора и углерода, которыми армпруют пластики и металлы. В технике широко применяют пластины и оболочки, усиленные ребрами. Так, типичная для авиации и ракетной техники конструкция оболочки представляет собой каркас из колец— шпангоутов и продольных реоер — стрингеров. С каркасом соединяется обшивка пз тонкого листа. Если стрингеры и птпангоуты расположены достаточно часто, для расчетных целей таку!о оболочку можно заменить сплошной анизотропной оболочкой, выбрав надлежащим образом параметры анизотропии. Обычно такая анизотропия называется конструкппвной в отличие от «физической».
На самом деле такое различение довольно условно, в том и другом случае анпзотроппя свойств определяется строением тела, разница лишь в размерах дискретных структурных элементов. ГЛАВА 2 СТЕРЖНИ И СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ— РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 5 2.1. Растяжение и сжатие стержней Для выяснения основных идей механики деформируемого твердого тела мы начнем с простейших задач, решение которых основывается на непосредственном использования данных опыта п требует лишь элементарных соображений. В 2 1.7 было рассмотрено простейшее однородное состояние растяжения, которое возникает в цилиндрическом теле, к торцам которого приложена равномерно распределенная нормальная нагрузка.
Изменяя направление внешнен нагрузки на противоположное, получим однородное сжатие, которое формально отличается от растягггения только знаком, который приписывается напряжению и. Растяжение или сжатие с достаточно хорошей Рис. 2.1.2 Рис. 2.1Д степенью точности реализуется в стержнях и стержневых системах типа ферм. Стержнем называется цилиндрическое тело, поперечный размер которого мал по сравнению с размером в направлении образующей е). Под поперечным размером мы будем понимать расстояние между двумя параллельнымп касательными к контуру, например Ь пли Ь' на рпс. 2.1.1.
Отношение ЬЛ « 1, эта величина представляет собой малый параметр, необходимый для оцен- е) В учебниках сопротивления материалов для машиностроительных специальностей слово «стерженгм заменяют иногда термином «брусь В этой книге мы будем придерживаться терминологии, принятой в литературе по теории упругости, а также в курсах сопротивления материалов для строителей. з ЗЛ. РАСТЯ1КЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ 4:1 кп степени точности теории. Предполагается, что Й и Й всегда одного порядка, т.
е. Й/Й/ — 1 для всех пар касательных. 'Тонкостенным называется такой стержень, у которого характерные размеры поперечного сечения сильно разнятся между собою и пз ннх можно скомбинировать еще один малый параметр. Простейшим примером служит стержень с сечением в форме вытянутого прямоуголышка со сторонами б и Й, причем б/Й « « 1. На рнс. 2.11, б приведен пример тонкостенного стержня с криволинейным профилем, для него также существует малый параметр б/Й « 1.
Стержни встречаются как основные элементы огромного большинства инженерных конструкций. Мостовая ферма, схематически изображенная на рнс. 2.1.2, состоит из отдельных стержней, соединенных между собою заклепками или сваркой. Коли все узлы, в которых соединяются стержни фермы, снабжены шарнирамп и концы стержней могут свободно поворачиваться без трения, а также если внешние силы прило- щ жены только к узлам, все стержни будут находиться в состоянии рас- л тяжения нли сжатия. Будем говорить, что стержень растягивается, если к торцам его приложены силы, статически зкви- /т Р валентные одной силе, действующей по оси стержня. Осью стержня мы будем называть прямую, проходящую через центры его поперечных сечений. На рис.
2.1.3 действующие нагрузки показаны в виде сил, приложенных в центрах торцов стержня, но зти сосредоточенные силы здесь совершенно условны. На самом деле нагрузка прикладывается к концу стержня какнм-то совершенно определенным реальным способом. На рис. 2 1.4 схематически изображены некоторые нз возможных способов передачи нагрузки на стержень.
В случае а изображенная сила представляет собою равнодействующую давления со стороны заклепки или болта на стенки отверстия, мы не очень хорошо знаем, как именно распределено зто давление. Случаи б и в относятся к закреплению концов образца в захватах машины для испытания на растяжение, образец либо зажимается клиновыми губками с насечкой, либо имеет головку. В случае г конец тягн снабжен винтовой нарезкой. На зтот конец навертывается гайка, опирающаяся на плоскость плиты, в которой просверлено отверстие для тяги.
Усилие передается от гайки к тяге, распределяясь по виткам нарезки. Гл. 2. Рлстянзение и сжлтпе 44 Подобных конкретных способов передачи растягивающего усилия к стержню можно указать очень много, все они будут различны. Однако при расчете стержней на растяжение не считаются с индивидуальными особенностями, зависящими от способа приложения нагрузки, а принимают во внимание только равнодействующие сил, приложенных к каждому из копцов стержня.
Это делается на основании принципа Сен-Венана, который в данном случае может быть сформулирован следующим образом. Способ приложения силы к торцу стерисня сказыеается лишь на расстоянии от торца порядка поперечного размера*). Таким образом, на расстоянии порядка Ь от торца в случае, изображенном на рис. 2Л.З, и от начала гладкой цилиндрической части на рис. 2.1.4, распределение нормальных напряжений Рис. 2Л.4 по сечению будет практически равномерным, тем более равномерным будет оно во всех более удаленных сечениях. Но равномерному распределению напряжений соответствует равномерное удлинение, следовательно, первоначально плоские поперечные сечения останутся плоскими н параллельными, онп только раздвинутся прп растяжении и сблизятся при сжатии.
Этот фундаментальный вывод носит название закона плоских сечений. Этот закон иногда полагают в основу всей теории. Конечно, плоскими остаются только те сечения, которые удалены от концов стержня пли места приложения нагрузки на расстояние, порядок которого не меньше порядка поперечного размера. Все изложенное относится не только к растяжению, но также й сжатию, которое отличается от растяжения формально направлением приложенной силы и, соответственно, знаком напряжения. срактггческая разница ъгежду растяжезгнем и сжатием гораздо глубже, при сжатии может возникнуть новое явление — потеря ') В дальнейшем будет показано, что принцип Сев-Вецапа формулируется иначе дан тонкостенных стержней пзц дзя стержней вз материала с резко выраженной анизотропией. э зл.
Нлпгяжвния и дкюогмхцин 45 устойчивости, Центрально сжатый прямой стержень может сохранить прямолинейную форму лишь тогда, когда сжимающая сила меньше некоторого предельного значения, которое уменьшается с увеличением отношения длины к поперечному размеру. Если сятпмающая сила превышает эту предельную величину, называемую критической силой, то при сколь угодно малом эксцептрисптоте приложения силы пли сколь угодно малом искривлении осп стержня оп изогнется. Это явление называется потерей устойчивости; устойчивости стержневых систем будет посвящена гл. 4. Там же будет показано, что в области больших пластических деформаций наблюдается своеобразная потеря устойчивости н при растяжении.
в 2.2. Напряжения и деформации при растяжении — сжатии Воспроизводя рассуждения з 1.7 применительно к растнгиваемоиу стержню, изображенному на рпс. 21.3, рассечем его мысленно плоскостью тп, перпендикулярной оси стержня (не слишком близко к концу), и отбросим одну часть, например верхнюю. Оставшаяся нижняя часть изображена на том же рисунке справа. Действие верхней части на нижнюю можно заменить равномерно распределенными по сечению ти нормальными напряжениями а.
После того как ато сделано, составим уравнение равновесия нижней части стержня пР— Р = О. Здесь г' — площадь поперечного сечения. Отсюда следует: Р о = — —. Р' Сделаем еще одно замечание, относящееся к знакам. Знак внешней силы устанавливается по отношению к той или иной системе координат; таким образом, он совершенно условен.
Нельзя сказать, положи- Рис. 2.24 тельна илп отрицательна сила Р, изображенная на рис. 2.1.3, так как на этом рисунке ось координат отсутствует. Однако для нормальных напряжений выше, в $ 1.7, было установлено совершенно определенное правило знаков, не зависящее от выбора системы координат. Напряжение о считается положительным, если вектор напряжения направлен по внешней нормали к поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, и отрицательным в противном случае. Если па тело действуют сжимающие силы (рис. 2.21), то поступая по-предыдущему, можно нарисовать в сечении илп г,з.
х РАстяжнник н сжАтив 46 сразу сжимающие напряжения, обозначив их ( — о), или, что удобнее, положительные напряжения о. Во втором случае знак определится автоматически пз условия равновесия. В данном случае, поступая любым из двух указанных способов, мы получим одно и то же уравнение равновесия оР— Р = О. Отсюда Р о = — —. Р Формулы для напряжений при растяжении и сжатии можно объединить о= ~ —. (2.2Л) Здесь Р— внешняя сила, знак плюс или минус выбирается по смыслу задачи.
При расчете стержневых систем бывает удобно ввести понятие о внутренней силе в стержне (иногда применяется термин «усилие») Д! =+Р в случае растяжения, !»' = — Р в случае сжатия. Тогда в любом случае (2.2.2) Переходя к определению деформаций, ааметим, что в условиях растяжения материал будет обязательно удлиняться в направлении растяжения, в случае сжатия — обязательно укорачиваться. В противном случае работа силы Р была бы отрицательной. Для той части стержня, которая находится в условиях чистого растяжения, относительное удлинение Л! е=— ! оно положительно, если М положительно, н отрицательно, если Л! отрицательно. Для упругого материала по закону Гука е = о/Е, но о = У/Р, поэтому !г Р е= — =~ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
