Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Теперь система сил, действующих на тело, будет целиком определяться заданием кинематики и, следовательно, моделью среды. Однако наглядные представления, связанные с изображением сил в виде векторов, сохраняют определенные преимущества, хотя бы потому, что они привычны. Эти представления с известными ограничениями пригодны и в механике деформируемого твердого тела. Теоремы геометрической статики формулируются применительно к абсолютно твердому телу или системе таких тел. Распространение этих теорем на деформируемое твердое тело вытекает из принципа отвердения, утверждающего, что равновесие ю и) д) ю) Рис.

1.5.1 Рве. 1.5.2 механической системы не нарушается от наложения дополнительных связей. Рассматривая деформируемое твердое тело как механическую систему, мы постулируем справедливость для него принципа отвердения. В частности, равновесие тела не нарушится, если мы предположим, что оно сделалось абсолютно жестким. В геометрической статике утверждается, что силу можно переносить вдоль линии ее,действия 1сила есть скользящий вектор). Недопустимость такого переноса иллюстрируется примером, изображенным на рис.

1.5.1. В случае а весь стержень растягивается килой Р, в случае б растягивается лишь заштрихованная часть, в случае в стержень вообще не растягивается, сила при- 26 гл. ь основнык понятия ложена к месту заделки. Но реакция заделки во всех трех случаях одинакова, она равна приложенной силе и направлена в противоположную сторону; для нахождения реакции нужно составить уравнение равновесия так, как если бы стержень был абсолютно жестким. На рнс.

1.5.2,а изображена балка, лежащая на трех опорах и нагруженная двумя одинаковыми силами в серединах пролетов. Реакции опор будут Л», Вв, Л,. Под действием сил балка слегка прогнется, как показано на чертеже. Согласно принципу отвердения равновесие системы не нарушится, если на нее налагаются дополнительные связи. Значит, мы имеем право предположить, что изогнутая балка стала абсолютно жесткой и составить для нее обычные уравнения статики. Получим ЛА + Лв+ Лс = 2Р, ЛА = Лс. (1.5.1) Для нахождения трех реакций мы имеем только два уравнения статики. Задачи такого рода называются статически неопределенными, а системы, подобные изображенной на рис.

1.5.2— статически неопределимыми. Третье, недостающее уравнение должно быть получено из других соображений, связанных с определенными предположениями о свойствах того материала, из которого изготовлена балка. Заметим, что уравнения статики не изменяются, если заменить систему сил статически эквивалентной.

Для случаев, изображенных на рис. 1.5.2, б и 1.5.2, в, уравнения статики (1.5.1) сохраняются. Но совершенно очев1идпо, что независимо от природы материала балки в случае б нагрузка будет восприниматься крайними опорами и мы найдем ЛА Лс Р, Лв= О. В случае е вся нагрузка воспринимается средней опорой и решение, удовлетворяющее уравнениям статики (1.5.1), а такн~е требованиям элементарного здравого смысла, будет Л» = Лс = О, Лв = 2Р.

Для случая а соображений, основанных на здравоас смысле, недостаточно. Для упругой балки метод решения будет изложен в гл. 3, результат получается следующий: А с=ге ~ В з 5 И Как показывается в статике, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной силе и одной паре сил (главный вектор и главный момент). Если система сил, приложенная на малом участке поверхности, заменяетсн главным вектором и главным моментом, мы вводим тем самым понятие В ь«. пгипцип сен-ВкнхнА 27 о сосредоточенном моменте, приложенном в точке.

Это понятие совершенно чуждо для статики твердого тела, где подчеркивается, что момент есть свободный вектор н его можно переносить парал- Р лельно себе как угодно. Ограничения, связанные с введением понятия о сосредоточенной силе и сосредото- ю ченном моменте в механику дефор- Р/ мируемого твердого тела, можно пояснить па следующем примере. Предстаю»м себе массивную балку, к концу котороп прикреплен стержень. На конце стержня прилоя«ена Рвс. 1.5.3 сила, как это показано на рис. 1.5.3. Перенесем силу в центр торцевого сечения балки.

На основании правил статики прп этом появится момент, который мы считаем приложенным в той же точке, что и сила. $1.6. Принцип Сен-Венана и статически эквивалентные системы сил Результаты многочисленных точных и приближенных решений убеждают в том, что фактический способ приложения силы и момента к концу стержня сказывается лишь в непосредственной близости к этому концу.

В данном случае зто означает, что если нас интересуют прогибы и удлинение балки в целом, нам нет необходимости детально анализировать реальную ситуацию, изображенную на рис. 1.5.3, а, при расчетах достаточно исходить из упрощенной схемы, представленной на рис. 1.5.3,б, которая носит совершенно условный характер, поскольку ни сосредоточенных сил, пи сосредоточенных моментов не существует. Об.ласть, в которой сказывается фактический способ приложения нагрузки, заштрихована на рисунке, границы этой области тоже .условны; вне ее состояния, соответствующие статически эквивалентным нагрузкам, отличаются достаточно мало.

Что значат слова «достаточно мало», мы пока пе уточняем. Высказанное правило носит название примпила Сю»-В«нана, довольно расплывчатая формулировка связана с тем, что этот принцип не доказывается для общего случая, а иллюстрируется многочисленными примерами. Представляя себе сплошную среду как предельный случай совокупности материальных точек, мы можем трактовать так .называемую «распределенную» нагрузку как предельный случай .совокупности сосредоточенных сил, приложенных к точкам по:верхности тела, хотя такое представление в известной мере искусственно и связано с определенными привычками излол«ения механики в определенной последовательности.

На самом деле, 28 ГЛ. 1. ОСЕ10ВЕ1ЫЕ ПОНЯТИЯ как уже подчеркивалось, введя модель сплошной деформируемой среды, мы должны именно распределенную нагрузку принять как нечто первично данное, а сосредоточенная сила представляет собою абстракцию. Для пояснения идеи нам достаточно рассмотреть нагрузку, распределенную по линии, нагрузки, распределенные по поверхности либо по объему непрерывным образом, вводятся аналогично. Предположим, что линия АВ (рис. 1.6.1) принадлежит поверхности тела. Равобьем ее на п равных участков длиной Ь каждый, занумеруем их границы (или середины, или любые к точки, принадлежащие участку), приложим в каждой из точек с номером й силу Р,. Положим Р„ЕЬ = д,. Будем теперь безгранично увеличивать число сил, уменьшая расстояРис.

1.6.1 ние между ними и уменьшая силу так, что отношение Р,Е Ь = О, стремится к конечному пределу. При переходе к пределу точка линии АВ уже не может характеризоваться номером того участка, к которому она принадлежит, этот номер также стремится к бесконечности. Вместо этого следует задавать точку ее координатой, например длиной дуги г, отсчитываемой от точки А до заданной точки. Итак, предельное значение д, есть д(з). Таким образом, мы ввели понятие о нагрузке, распределенной непрерывно на отрезке кривой АВ.

Если функция д(з) задана, то можно сделать обратный переход, разбить дугу АВ на конечное число участков Лз и приложить в середине каждого участка сосредоточенную силу д(г)Лз. Такой прием, состоящий в замене распределенной нагрузки конечным числом сосредоточенных снл, иногда применяется при расчетах, особенно когда используется вычислительная техника. Принцип Сен-Венана позволяет утверждать, что такая замена может сказаться на результатах лишь в непосредственной окрестности линии АВ. Введем теперь понятие о распределенном моменте. Сначала определим сосредоточенный момент следующим образом. Пусть в точке с координатой г — е приложена сила Р, в точке с координатой з + е сила — Р (рис. 1.6 2).

Будем уменыпать е и увеличивать силу Р так, чтобы произведение 2еР = М оставалось постоянным. При е - 0 мы получим сосредоточенный момент М, приложенный в точке, определяемой координатой г. Теперь поступим так ИЕе, как при определении распределенной нагрузки. Приложим моменты М„ в точках с номером й, будем безгранично увеличивать число отрезков и, уменьшая их длину и уменьшая момент так, чтобы в каждой точке з это отношение стремилось к конечному пределу т (г).

6 1.г. пРинцип сен-ввнлнА 29 В приведенном рассуждении весьма существен порядок предельных переходов, сначала был введен сосредоточенный момент при е — О, потом был определен непрерывно распределенный момент и к нулю устремлялась величина б. Посмотрим, что может получиться при обратном переходе. Пусть на отрезке ЛВ аадано распределение момента т(г). Это значит, что на участок Йг действует пара сил с моментом т(г)Лг. Нарисуем эту пару так, как показано на рис. 1.6.3.

Одна сила, равная т(г), приложена в точке с координатой г и направлена вниа, в точке с координатой г+ 11г приложена такая же сила, направленная вверх. Рассмотрим следующий малый участок той же длины Йг. Рис. 1.6.3 Рис. 1.6.2 На концах этого участка будут приложены силы т(г+ стг)= = т+Ьт. Складывая силы, приложенные в точке в+ Ьг, мы найдем, что их сумма равна 11т. То же самое получится на границах' всех участков длиной 11г, на которые можно разбить отрезок ЛВ, на каждый участок приходится, таким образом, сила Ьт.

Характеристики

Список файлов книги