Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Переходя к пределу при Лг- О, мы найдем, что распределение момента т(г) эквивалентно распределению нагрузки д(г)= йтУЙг. При этом в точках А и В останутся сосредоточенные силы, равные т(гг) и т(г,) соответственно. Принцип Сен-Венана позволяет предполагать, что такая операция, состоящая в замене распределенного момента распределенной нагрузкой и двумя сосредоточенными силами (сил может быть и больше, если функция т(г) лишь кусочно непрерывна), при определенных условиях допустима, хотя в этом примере для выяснения соответствующих условий необходим более тонкий анализ.
С одним из примеров подобного анализа мы встретимся в $ 12.5. Наконец последний пример, приводимый здесь, будет относиться к так называемой двойной силе. Выберем в теле две точки, находящиеся на расстоянии б одна от другой, соединим их прямой и приложим в этих точках две равные и противоположные силы, направленные вдоль этой прямой (рис. 1.6Л). Будем неограниченно уменьшать б, сохраняя величину силы постоян- гл.
к основнык понятия ной. Очевидно, что при б = 0 две равные и противоположные силы окажутся приложенными к одной и той же точке, они взаимно уничтожатся и на тело не будет произведено никакого действия, Совершенно другой результат получается, если при уменьшении б сила Р увеличивается так, что произведение Рб остается постоянным.
Оказывается, что в пределе при б = 0 н Р— действие сил не исчезает, в теле сохранится некоторая совершенно определенная деформация. Убедиться в этом факте с помощью элементарных рассужРвс, Б6.4 дений вряд ли возможно, он вытекает из точного решения уравнений теории упругости. Мы упоминаем о нем по двум причинам: во-первых, чтобы подчеркнуть большую осторожность, которую нужно проявлять при замене системы сил статически эквивалентной, вовторых, чтобы показать, каким образом последовательность предельных переходов может определить окончательный результат. $ $.7. Внутренние силы Сохранение формы твердого тела обеспечивается внутренними связями, природа которых для нас безразлична. Согласно аксиоме связей равновесие системы сохраняется, если разрушить часть связей и заменить их силами, которые называют реакциями связей.
Рассмотрим произвольное тело, нагруженное совокупностью внешних сил ЄЄЄ..., Р„. Будем обозначать эту совокупность символом (Р). Мысленно рассечем тело поверхностью Я, проходящей через некоторую внутреннюю точку М. На левую часть действует совокупность сил (Р) „, на правую совокупность спл — (Р) „. Для того чтобы каждая из частей сохраняла равновесие, необходимо приложить на поверхности разреза Я силы взаимодействия, которые называются внутренними силами или наиряженилми. Рассмотрим, например, как показано на рис. Б7И равновесие левой части. В классической механике сплошных сред предполагают, что реакция отброзпенпой правой части представляет собою силу, непрерывно распределенную по поверхности разреза. В каждой точке поверхности Я определен вектор н, который мы будем называть вектором напряжения или просто напряжением.
Это означает следующее. Окружим точку М на поверхности Я контуром 7, который заключает в себе малую площадь в. Сила, действующая со стороны отброшенной правой части па площадку, принадлежащую левой части, равна п(М)ю с тем большей точностью, чеы меньше площадка ы. Иначе говоря, напряжение есть предел, к которому стремится вектор силы, действующей на площадку. В действительности, силы, действующие на конечную 5 НЪ ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ площадку «7 со стороны отброшенной части тела, распределены по этой площадке каким-то способом.
Заменим их главным вектором и главным моментом,-разделим тот и другой на величину е7 и устремим эту величину к нулю, т. е. стянем контур ч в точку М. Предел отношения главного вектора сил, действующих на площадку, к величине ее площади называется напряжением.
В классической теории предполагается неявно, что силы взаимодействия распределены достаточно равномерно и вследствие этого отноше- Я ние главного момента к величине площадки стремится к нулю вместе с этой последней. Но в принципе можно допустить, что действие одной части тела на другую не сводится к силам, кроме вектора напряжения и на поверхности разреза появляется .также распределенный момент и. он Можно пойти дальше по этому пути 6~ и предположить, что взаимодействие осу- ."7 ществляется также посредством некоторых образований типа рассмотренных в конце предыдущего параграфа двойных сил, которые распределены по поверхности непрерывно. В современных теориях сплошных сред подобные предположения делаются, однако аначение их состоит скорее в иллюстрации весьма большой степени общности, которая может быть достигнута в рамках представления о сплошной среде и о потенциальной возможности значительного расширения этих рамок с тем, чтобы описать эффекты, относимые обычно за счет дискретности строения реальных тел.
Но существующие теории, уже нашедшие применения к реальным объектам, строятся почти искючительно на основе классической модели, которая до недавнего времени представлялась совершенно очевидной и единственно возможной. Через внутреннюю точку тела М можно провести бесчисленное множество поверхностей Я и, следовательно, выбрать бесчисленное множество площадок с различной ориентацией, задаваемой, например, единичным вектором нормали к площадке л. Для каждого вектора и или для каждой ориентации площадки с помощью описанного выше предельного перехода мы будем получать разные векторы напряжения и. Таким образом, нельзя сказать, что напряжение в точке М есть вектор, это есть совокупность всех векторов напряжений для всех ориентаций площадок, содержащих в себе точку М.
Мох<но сказать, что в точке М вектор и есть функция вектораи, и = и(п). В дальнейшем будет показано, что это линейная вектор-функция, три компоненты вектора о получаются в результате линейного преобразо- 32 Гл. 1. ОснОВные поегятия ванна пз компонент вектора и. Очевидно, что формулы, определяющие это линейное преобразование, содержат девять коэффициентов, совокупность которых определяет тензор напряжений (матрица этих коэффициентов оказывается симметричной; таким образом, для задания напряженного состояния 1 в точке нужно задать не девять величин, а Вп 1 ТОЛЬКО ШЕСтъ). Вектор напряжения в точке М на площад- ке с нормалью л естественно разложить на 1'1 две составляющие, как показано на рис. 1.7.2, одна из них, о„, направлена по вектору нормали и называется нормальным напряжением, вторая, т„, принадлежит плоскости площадки Рис.
1.7.2 гэ и называется касательным напряжением. Условимся считать о„положительным, если вектор направлен по внешней нормали к поверхности Я. Положительное нормальное напряжение называется растягивающим, отрицательное — сжимающим. Напряженное состояние тела известно, если задан способ построения вектора напряжений в любой точке тела для любой ориентации площадки. Если во всех точках тела для площадок одинаковой ориентации векторы напряжений одинаковы, напряженное состояние называется однородным. При~ведем простейшие примеры однородных напряженных состояний.
а. Растяжение — сжатие. На торцах призматического тела (рис. 1.7.3) приложены равномерно распределенные нагрузки интенсивностью О. Разрезая тело плоскостью, перпендикулярной оси, приложим в плоскости разреза равномерно распределенные нормальные напряжения, равные по величине нагрузке о.
Если тело изготовлено из однородного материала, то ) нет оснований предполагать, что распределение напряжений по поперечному сечению будет не- 1 однородным, хотя, строго говоря, это необходимо доказать. Для всех существующих моделей твердого тела такое доказательство весьма просто. Рис. 1.7,3 Будем говорить, что в рассматриваемом случае призма находится в состоянии равномерного растяжения. У однородного материала, свойства которого для всех направлений одинаковы, растяжение или сжатие сопровождается удлинением или укорочением в направле~ии действующей силы. б.
Чистый сдвиг. На грани прямоугольного параллелепипеда действуют равномерно распределенные касательные усилия интенсивностью т (рис. 1.7.4). Легко убедиться, что параллелепипед будет в равновесии только тогда, когда на всех гранях интенсивность усилий одинакова. Действительно, на верхнюю и ниж- 8 1 8. УПРУГОСТЬ 33 нюю грани действуя>т противополонсно направленные силы гас, они образуют пару с плечом Ь и моиентои таЬс. Точно такую же нару противоположного направления образуют силы, приложенные к вертикальным граняи (прп суждении о равновесии тела в целом можно применять принцип отвердения и, следовательно, заменить распределенную нагрузку равнодействующей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
