Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

ЕР К!» ' (2.2.3) Здесь Р— абсолютная величина внешней силы, знак выбирается по смыслу. Заметим, что для всех материалов, применяемых в технике, кроме резины и полимеров в каучукообразном состоянии, модуль упругости Е весьма высок по сравнению с пределом упругости или пределом текучести. Так, для стали Е = 2 10«кгс/мм'.

Поэтому величина упругой деформации для технических сплавов з аа напгяження и деФОРмьцин 47 о е' = — те = — т —. Е (2.2.4) Величина т называется коэффиуиентом Пуассона, зто — константа материала. Значение т для стали, например, равно примерно 0,3. При упругопластическпх деформациях отношение е'/е меняется в процессе растяжения, оно зависит от напряжения. Объем образца при растяжении н сжатии не остается постоянным. Для изотропного материала изменение объема легко подсчитать. Длина цилиндра увеличилась в отношении (1+ с), линейные размеры поперечного сечения уменыпились в отношении (1+ е ), следовательно, площадь изменилась в отношении (1+ с )'.

Относительное изменение объема равно — = (1+ е')'(1+ е) — 1. (2.2.5) Поскольку упругие деформации малы, в формуле (2.2.5) следует удержать только первые степени деформаций и мы получим — -2е'+ е. лк и Естественно предположить, что при растяжении объем материала увеличивается, если е) О, то ЛУ>0. Для этого нужно, чтобы было е' > — — е. 2 Таким образом, коэффициент Пуассона упругого материала не больше 1/2.

Высказанное предположение будет строго обосновано в $ 8.4, У несжимаемого материала е'= — е/2. Пластиче- составляет десятые и даже сотые доли процента, для жестких полимеров (в стеклообразном состоянии) не болыпе 1 — 2%. Если материал нзотропен, то цилиндр, растягиваемых в направлении его оси, остается цилиндром. Вообще, кроме деформации е в направлении растяжения, будет происходить деформация в поперечном направления. Пусть некоторый отрезок, лежащий в поперечном сечении, имел до деформации длину Ь, длина его после деформации будет Ь+ ЛЬ и относительная поперечная деформация е' = ЛЬ/Ь. При растяжении е положительно, а е' отрицательно, поперечные размеры образца уменьшаются.

При сжатии картина получается обратная. У изотропного материала величина е' одинакова для всех направлений в поперечном сечении, поскольку предпочтительного направления нет. Если деформация упруга н подчиняется закону Гука, то, как оказывается, отношение поперечной деформации к продольной по- стоянно ГЛ. Х РАСТЯЖЕПВЕ И СЖАТИЕ ские деформации пе сопровождаются изменением объема, поэтому отношение — е'/е в опыте па растяжение упругопластического стержня возрастает с увеличением деформации от величины Р на упругом участке диаграммы, стремясь к 1/2.

Рассмотрим теперь случай апизотроппого материала, но не произвольного, а построенного определенным образом. Пусть, например, растягивается образец, вырезанный из тканевого стеклопластика вдоль направления основы ткани (рис. 2.2.2). Через ось стержня проходят две плоскости симметрии.

Очевидно, что 1 1 призматический образец после деформации остается симметричным, однако деформации в поперечных направлениях 1 и 2 будут разными, Рвс. 2.2.2 Рвс. 2.2.3 е' и е соответственно, В упругой области е' = — Р,е, е = — Р,е, здесь м, и т, — различные коэффициенты Пуассона. При анизотропин более общего вида, когда указать плоскости симметрии нельзя илн когда они не параллельны оси растяжения, деформация может иметь более сложпь!й характер, растяжение может сопровождаться перекашиванием стержня, как показано на рис.

2.2.3. Это легко представить себе, если выбрать образец, состоящий из набора жестких пластин, наклонных по отпошеншо к оси и соединенных между собой прослойками нз податливого материала, как показано на том же рисунке. й 2.3. Перемещение узлов стержневых систем Стержни, работающие на растяжение и сжатие, часто соединяются в стержневые системы более или менее сложного строения. Соответствующий пример был приведен на рис. 2.1.2. Для того чтобы обеспечить возникновение только растягивающях и сжимающих напряжений, необходимо, как уже было оговорено, чтобы соединения стержней в узле допускали свооодный взаимньш поворот стержней и чтобы силы прикладывались только в узлах.

Заклепочпое соединение узлов нли сварка вх, строго говоря, не дает возможности свободного поворота, поэтому в стержнях, кроме напряжений растяжения — сжатия, возникают напряженна изгиба, о которых будет идти речь в следующей главе. Однако эти напряжения невелики и при расчетах ими обычно пренебрегают. Если ферма статически определима, а это значит, что уравнения статики, составленные для каждого из 5 аз.

ПИРемещенг!е узлОВ стеРжневых систем 40 узлов, достаточны для определения всех усилий в стержнях, величины тт'о где 1 — номер стержня, могут считаться известнымп, Теперь, если все стержни упруги, то удлинение или укороченпе каждого из нпх будет определяться по формуле (2.3.1) прн этом знак деформации (растяжение илн сжатие) получается автоматически. Следующая задача будет состоять в определении перемещений узлов фермы. При ее решении существенно упрощающим дело обстоятельством служит малость деформаций отдельных стержней, п а следовательно, и малость перемещений но сравнению с длиной г' стержня.

Обозначая перемеще- Рнс. 2.3А ние через и, будем считать, что Л(Л и иЛ вЂ” малые величины одного порядка малости. Так бывает в подавляющем большинстве случаев, однако, как мы увидим, не всегда. При сделанном предположении мы полагаем, что перемещение, перпендикулярное оси стержня, пе вызывает его удлинения, точнее удлинение его представляет величину более высокого порядка малости, чем малая величина иЛ. Действительно, пусть правьш конец стержня на рис. 2.3.1 получает перпендикулярное его оси перемещение и, тогда как левый конец остается на месте.

Новая длина стержня 2 Г = 'у' 1' + иа = 1 ~,/ 1 + —. 12 ' 1'азлагая радикал по формуле Ньютона, получим 2 1з Как видно, относительное удлинение (à — 1) Л имеет порядок квадрата отношения иЛ. Рассмотрии теперь пример, пз которого ясен принцип определения перемещений.

Кронштейн, схематически изображенный на рнс. 2.3.2, нагружен в узле А силой Р, направленной, например, вертикально вниз (вообще, направление силы может быть люоым), По правилам статики определяются усилия 1у, н 1у, в стержнях. В данном примере у, > О, Л', ( О, После этого вычисляются удлинения Лй п Лй (Л(, ) О, Лй < О). Чтобы определить перемещеппе узла А, нугкпо поступить следующим образом, Предположим, что шарнир в точке А удален и стержни разъединены. Сохраняя направления стержней, сообщим стержню 1 удлинение Л(ь конец его переместится в точкУ ао СтеРжню 2 сообщим УкоРочепне — Л4, конец его пеРейдет в точку а, Чтобы найти новое положение узла А, повернем стержни так, чтобы концы их совпади в точке А" пересечения дуг, описанных концами стерж- 4 Ю,Н. Работков 50 ГЛ. 2.

РАСТЯХ)ЕНИЕ И С)КАТИН ней при их вращении около неподвижных шарниров. Отрезок ЛЛ" есть искомое перемещение. Нахождение перемещения АА" илн его составляющех по каким-либо осям координат, например горизонтальной и вертикальной оси, представляет собою задачу элементарной геометрии. Установленный выше факт, состоящий в том, что малое перемещение, порпопднкулярвое оси стержня, вызывает деформацию второго порядка малости, позволяет существенно упростить решение этой геометрической задачи. Вместо того чтобы перемещать концы стержней по дугам окружностей, будем двигать нх по перпендикулярам к осям стержней. Соответствующее построение пока- зано на том же рис.

2.3.2. В результате полу- 1 Я Лг чается несколько отличное положение узла, лг а именно положение Л'. Замена дуг окружностей перпендикулярами означает, что мы как бы дополнительно деформнровалн стержни, но эта деформация имеет порядок игд), тогда как порядок основной деформации есть и)й Я В Я С другой стороны, расстояние А "Л' имеет порядок и)1П если АА' = и, ошибка от замены расстояния ЛЛ" велпчпяон ЛА' есть величи- '5~ Л на порядка и)й А(г ~ ~й~ Рпс. 2.3.2 страдает одной несообразно- Ж А,гв стью: в яем нсиользованы разные масштабы ~1 ~р для изображения стержней и их перемещений. Па рисунке, например, Ш) составляет примерно одну пятую от г), тогда как в действительности й()Д) — величина порядка РЗ '. Поэтому вся картина перемещений узла грубо искажена, дуги окружностей существенно Л отличаются от перпендикуляров к осям и точки А" и А' довольно далеки одна от друРис.

2.3.2 гой. Чтобы избежать этой несообразности, все построения для нахождения точки А' выполняются в другом масштабе отдельно, как показано на том же рисунке внизу. От некоторой точки, изображающей точку А, откладываются отрезки А(1 и Ыз в направленйях соответствующих стержней и в произвольном масштабе, отличном от масштаба основного чертежа. Из копцов этих отрезков к ним восстанавчивают перпендикуляры, точка пересечения нх есть А'.

Коли бы мы пристроили к этой диаграмме сами стержни в том же масштабе, то неподвюкные шарниры оказались бы очень далеко за пределами страницы книги и дуги окружностей весьма большого радиуса были бы па самом деле неотличимы от перпендикуляров. Применим описанный способ к конструкции, изображенной на рис.2.3.3. Стержни составляют углы и и 3 с вертикалью. Требуется определить вертикальную и горизонтальную составляющие перемещения точки А.

Характеристики

Список файлов книги