Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. существует функция Ф(у„) такая, что е хь = —. дФ (2.8.7) дул Перелод от соотношений (2.8.6) к (2.8.7) называется преобразованием Лежандра. Осуществляется оно следующим образом. Положим е Ф=х;у,— К Рпс. 28.2 Предполагается, что соотношения (2.8.6) решены относительно х„п эти выражения внесены в (2.8.8), поэтому Ф = Ф(у,). Продпфференцируем (2.8.8) по уь Полу шм дФ дхл д|г дхг = — хгг+ Уг дуа ' дул дхг дУЬ Вследствие (2.8.6) второй и трет|лй члены в правой части написанного равенства взаимно уничтожаются и остается соотношение (2.8.7).
Дифференцируя (2.8.3) по е, мы получаем и = —. (2.8.9) Это н есть условпе того, что упругая энергпя лг' служит потеяцналом напряжений. Применяя преобразование Лежандра, т. е. полагая Ф = ое — 17 = Ф (о), мы наладим (2.8.10) Упругий потенциал П имеет непосредственный меканпческнй смысл, это потенциальная энергия упругой деформации, накопленная в теле. Величина Ф такого непосредствен|ш мекаппческого смысла не имеет. 1!ногда эту величину называют дополнительной работой. Происхождение такого названия ясно пз рпс.
2.8.2, если (г' == ~ ил(е представляет собой заштриковапную площадь, то Ф дополняет ее до площади прямоугольника со сторопамп о и е. Для линейно-упругого материала гготеггггиал дефо1ьиаггий Ф численно равен гготенииалу напряжений П, диагональ прямо- 5 Ю.Н. Рааотоов бб г:т. к Рлстяженпе и сжхтпк уголытпка дел|гт его площадь на равные частп. Из формул (2.8.4) следует: еу (е) вст (в) о= е= —. Ыв ' Во Заметим, что вся изложенная теория не предполагает упругости материала, пока не произведена разгрузка и, следовательно, деформация не уменьшается, связь между деформацией п напряжением о = ~р(е) одинакова как для упругого, так и для пластического тела. з 2.9. Термодпназгпка упругой деформации Приведенное выше определение упругой деформации п, соответственно, упругого тела нуждается в уточнении. В действительности деформация сопровождается изменением температуры подобно тому, как прп сжатии пли растяк'енпп газа темгература его меняется.
Более общее определение упругого тела будет следующее: работа сил, прилоаеенных и упругому телу, на замкнутом по деформации и температуре цикле равна нулю. Разница по сравненшо с тем определением, которое было дано в ~ 1.8, состоит в том, что в конце цикла температура должна быть той же, что в начале. Очевидно, что вязкое тело (вязкая жидкость) пе подходит под это определение, силы вязкого сопротивления совершают работу, которая переходят в тепло; чтобы цикл был замкнутым пе только по деформациям, но и по температуре, это тепло необходимо отвести, количество отведенного тепла равно работе спл и всегда отлично от нуля.
Рассмотрим элемент упругого тела, находящегося в однородном состоянии простого растяжения, например, в виде кубика с ребром, равным единице. На две противоположные грани этого кубика действуют нормальные напряя~ен1гя о; так как площадь граня равна единице, то действующая спла также есть о. Поскольку длина ребра равна единице, то е представляет собою эбсошотпое удлинение. Будем рассматривать силу о как внешнюю по отношению к элементу. Если сила увеличилась на Ыо, удлинение увеличилось на аге и сала произвела прп этом работу обе.
количество тепла в объеме, вообще говоря, изменилось на ст',). Согласно первому началу термодинамики ггзменение внутренней энергии ИУ равно ЫВТ = о йе + сй'г. (2.9.1) Второе начало термодпнаьшки утверждает существование функции состояния Я, называемой энтропией, такой что для обратимых процессов бЕ = тб8. З л. ткгмодпнхмпкх ьпгхгоп даьовхгхцпгг Здесь Т вЂ” температура.
Такнхг образом, г)У = аае+ ТЙБ. Это выражение должно быть полным днфференцпалом, внутренняя энергия есть функция деформации и,зптроппп (2.9.2) Такпм образом, внутренняя знергня является термодннампческпм потенциалом. С помощью преобразованпя Лежандра строятся другие термодппампческне потенцпалы, а пменно: ссооодная зяереия Г*(е, Т) =- à — ТЯ, о = —., Я = — —,, (2.9.3) егг~ дгг~ ингалс чия Ф(о, Я) = — се+ Г, е = —, Т = —, (2.9.4) свободная зигальпил Фь(о, Т) ==Ф вЂ” ТЯ, е= —,, Я= —.г (29") Процесс называется адиабатическнм, если не пропсходпт теплообмепа с окружающей средой, т.
е. д(~ = О, а следовательно, Я = сопзн Для пзотермпческого процесса Т = соней Теперь ясно, что для адиабатического процесса потенцпал напряжений представляет собою внутреннюю щгергию, потенциал деформацпй— знтальпию. Для пзотсрмпческого процесса эти потенциалы будут соответственно свободная энергия н свободная эптальппя.
Только для пзотермнческого и аднабатп ~еского процессов завпсимосгь между напряягепнех1 и деформацией в упругом теле однозначна. Вообще, если существует теплообмен с окружающей средой, эта однозначность нарушается. Предположим, что пз опыта определена завпсямость между напряжением, деформацией п температурой о = Ее — Еа(Т вЂ” Т,), (2.9Я) Здесь а — коэффициент температурного расшпренпя.
Т, — некоторая температура, соответствуюгцая условно выбранному начальному состояппю. если Т = Т, и о = О, то е = О. Модуль упругостп, фнгурпрующки в (2.9.6), должен быть определен в пзотермпческих условиях. Еслп нрп упругом деформпрованпп образца его температура меняется, то упругая деформация будет сопровождаться температурной дсформацпей п, пе производя непрерывного замера температуры в теченпо опыта. мы не сможем отлп ппь упругую деформацшо от температурной. ргзмеряя только силу и деформацию, мы найдем, что зависпмость 5" Г>8 ГЛ. 2, РАСТЯЖЕНИЕ И С>КАТИЕ между приращением напряжения и приращением деформации пе опнсывается законом Тука с модулем Е.
Предположим, что модуль упругости и коэффициент а пе зависят от тетшературы (это верно лишь приближенно, в узком диапазоне температур). Выражение (2.9.6) для напряжения через деформацию н температуру получается по формулам (2.9.3), и есть производная свободной энергии по деформации. Поэтому, интегрируя (2.9.6), найдем выражение для свободной энергии я 2 П* = — — Еае (Т вЂ” Т ) + >)> (Т). Здесь >р(Т) — неопределенная пока функция от температуры.
Отсюда находим энтропию упругого тела дУе Я = — — = Еае — >)>'. дТ Теперь вычисляется внутренняя энергия Ре П = Е и + ТБ = — + ЕаеТ, + >(> — Т>(>'. 2 >)> — Тф' = с,Т. Зто — дифференциальное уравнение для функции >)>(Т), которое легко интегрнруетсн. Нам не нужна функция >)>(Т) сама по себо, а нужна ее производная $'(Т), входящая в выражение для энтропии.
Так как энтропия определена с точностью до произвольной постоянно>>, выберем ее таким образом, чтобы при е = О п Т = Т, было Я = О. Опуская промежуточные выкладки, напишем выражение для Я т Я = Еае + се ) и т 0 (2.9.7) Выражение для внутренней энергии через деформацию п температуру перепишется следующим образом: (7=Е +Е Т +ст. (2.9.8) Бо чтобы внутренняя энергия была потенциалом, ее нужно выразнть через деформацию и энтропию. Исключая Т из (2.9.7) п Если деформация равна нулю, то вследствие (2.9.1) внутренняя энергия представляет собой тепловую энергию и равна с,Т.
Здесь с,— теплоемкость при постоянной деформации. Считаем, что величина с, постоянна, т. е. что она не зависит ни от деформации, пн от температуры. Полагая в найденном выражении для У величину е = О, найдем 5 аз. теРмодинАмикА упРугой деФОРЖАции 69 '(2.9.8), получим (7 = — + Е«Тес + с, Те ехр Ее Я вЂ” Еие е (2.9.9) Отсюда можно сразу получить связь между напряжением и де- формацией для адиабатического растяжения, когда теплообмен отсутствует.
Дифференцируя (7 по е, получим напряжение а = — = Ее + ЕиТэ (1 — ехр — '). (2.9.10) Как видно, если материал подчиняется линейному закону Рука в изотермических условиях, при адиабатическом деформировании зависимость между напряжением и деформацией перестает быть линейной. Однако нелинейность эта весьма слабая. Предположим, что растяжение начато при температуре Т„тогда в начальный момент было Я = О, и весь процесс деформирования происходит при пулевом значении энтропии. Положим О' = 0 в (2.9.10) и разложим экспоненту в ряд, ограничиваясь двумя первыми членами.
Получим следующий результат: и =Е 1+ —,' е. (2.9 11) т =Тае Р(':Епе-). Очевидно, такой же результат мы получим, определяя температуру как производную от внутренней энергии по энтропии. Разлагая в ряд экспоненту и полагая Я = О,найдем Т = Т,(1 — — е). (2.9 12) Из формулы (2.9.12) следует, что при растяжении материал охлаждается, при сжатии нагревается. Если рассматривается, например, процесс колебаний, в стерн1не попеременно возникают растяжение н сжатие, т.
е. понижение и повышение температуры. Ио в реальных условиях всегда происходит теплообмен с окружающей средой, т. е. утечка тепловой энергии. Внешне это Величина Е(1+ Е~иТе/с,) называется адиабатическим модулем упругости, он больше чем изотермический модуль. При упругих колебаниях, происходящих с большой частотой, тепло не успевает рассеиваться за время одного периода и частота собственных колебаний определяется адиабатическим модулем. Для металлов разница между адиабатическим и нзотермическим модулями незначительна, порядка 1 — 2з/о, для полимерных материалов эта разница может быть существенно большей. Решая уравнение (2.9.7) относительно температуры, мы нашли ГЛ. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
