Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 17
Текст из файла (страница 17)
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 7О проявляется как затухание колебаний. В длинных стержнях могут распространяться волны типа звуковых, в один и тот же момент некоторые участки стерясня растянуты, тогда как соседние сжаты. Вследствие теплопроводности происходит некоторое выравнивание температур. Для анализа такого рода процессов применяется так называемая связанная теория термоупругости, т. е.
одновременное рассмотрение уравнений упругости и теплопроводности. Предсказываемые теорией эффекты похожи на эффекты внутреннего трения, и в эксперименте эти два рода явлений бывает трудно различить. Заметим, что приведенный выше термодинамическнй анализ сделан в предположении о том, что характеристики материала, как-то Е, а, с. постоянны. В действительности это не так. Поэтому для реальных материалов термодинамика несколько усложняется н качественные результаты могут быль другими.
Например, многие полимеры при растяжении в упругой области не охлаждаются, как металлы, а нагреваются. Упругое деформирование многих материалов сопровождается пластическим, необратимым деформированием уже при небольших нагрузках, поэтому использование законов термодинамики обратимых процессов не всегда может считаться оправданным. в 2.10. Распространение упругих волн в стержнях Предположим, что к концу весьма длинного (полубесконечяого) стержня внезапно приложена постоянная сила, которой соответствуют напряжение о и упругая деформация е. Далее, в гл.
6 эта задача будет рассмотрена в более общей постановке, там мы убедимся, что напряженное состояние будет распространяться вдоль стержня со скоростью с, величина которой для /' )2 ( т'е, ~2 Рзс. 2Л0.2 Рлс. 2ЛОИ данного материала стернсня постоянна. По истечении времени 1 после момента приложения силы картина будет следующая. Участок стержня длины сг будет равномерно сжат пли растянут в зависимости от направления силы, остальная часть стержня останется ненапряженнои.
Сечение тл, которое служит границей между напряженной и ненапряженпой частями стержня, называется фронтом упругой волны, этот фронт движется со скоростью с. Зафиксируем некоторое сечение ро с координатой е, отсчитываемой от конца стержня (рис. 2.10.1).
В данный момент г рас- 6 2.!О. РАспРОстРАнение упРугих Волн В стеРжнях 71 стояние его от фронта есть с1 — х. Участок длиной Сà — х равномерно сжат напряженнем о, относительная деформация его есть е = о/Е, следовательно, сечение рд сместилось из первоначального своего положения на расстояние о и = е (с1 — х) = — (сг — х). Е Дифференцируя по времени, найдем скорость движения сечения о=в (2.10.1) Скорость, определяемая формулой (2ЛОЛ)', не зависит от х, лишь бы было х ( сй При х > сг должно быть Р = О. Таким образом, если приложенная к концу стержня сила постоянна, то скорость за фронтом тоже постоянна, а на фронте претерпевает разрыв, так же как н напряжение.
Если на фронте волны напряжение и скорость претерпевают разрыв, волна называется ударной волной или волной сильного разрыва. Из факта, устанавливаемого формулой (2Л0.1), можно сделать и обратное заключение, а именно, если заставить конец стержня двигаться с постоянной скоростью, то позади фронта волны напряжения будут постоянными. Пусть, например, по концу стержня производится удар телом очень болыпой массы, движущейся со скоростью и.
Тогда от конца пойдет фронт ударной волны со скоростью с, материальная скорость частиц за фронтом будет равна и; по формуле (2.10.1) о = Еи/с. Нам осталось определить скорость распространения фронта волны с. Для этого выделим из рассматриваемого стержня участок длиной ох между сечениями 1 — 1 и 2 — 2 (рис. 2Л0.2).
Пусть в момент времени Ф фронт упругой волны проходит через сечение 1 — 1, в момент г+г)г через сечение 2 — 3. Для этого нужно, чтобы Ох=СИ. Применим к выделенной части стержня второй закон Ньютона. В течение времени дГ в сечении 1 — 1 действует сила ОЕ, тогда как сечение 3 — 3 остается ненапряженным, следовательно, импульс силы равен ог'Ж.
В начальный момент 2 вся выделенная часть была в покое, в момент Г+ Ж вся она движется со скоростью о, следовательно, изменение количества движения есть орЕ дх = орГС дй Здесь р — плотность материала, г" — площадь поперечного сечения. Приравняем импульс силы изменению количества движения, получим О = РРС. (2Л0.2) Более общая запись соотношения (2.10.2) была бы следующей: [о) = [Р)рс. (2.10.3) Квадратные скобки обозначают скачок соответствующей вели- ГЛ. 2.
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 72 чины при переходе через фронт, разницу между значениями, например, о впереди фронта и позади фронта. Это станет совершенно ясным, если мы предположим, что нагрузка прикладывается не к покоящемуся стержню, а к движущемуся н предварительно напряженному. Например, можно представить себе, что к концу стержня приложена ступенчато меняющаяся нагрузка, сначала было о = о, потом напряжение на конце сразу увеличилось до а+. В результате этого будут распространятьоя с одинаковой скоростью два упругих фронта и на втором фронте нужно будет записывать условие (2ЛО.З), полагая [о1 = о+ — о, К=в" — Р, при этом о+ и Р+, о и э связаны уравнением (2Л0.2). Уравнение (2Л0.2) или (2.10.3) получено непосредственно из уравнения количества движения и справедливо для фронта волны, распространяющейся в любой сплошной среде.
Выражая в этом уравнении скорость через напряжение по формуле (2Л0.1), которая относится именно к упругому стержню, мы найдем (2Л0.4)' с = УЕ/р. Из формулы (2ЛОЛ) следует, что пластические деформации неизбежны уже при сравнительно небольших скоростях соударения. Для стали, например, с = 4900 м/с. Полагая Е = 2 10' кгс/см' и о, = 3000 кгс/см', мы находим, что для появления пластических деформаций доста- Ю точно, чтобы скорость удара превышала 7,4 м/с, что соответствует высоте падения груза 2,8 м. д/ э Предположим теперь, что постоянная сила действовала па конец стержня не все вре- Ю/ ~ ' ~ ~~ з мя, а в течение определенного промежутка времени т. График зависимости силы от времени приведен на рис. 2.10.3, а, при Рис. 230.3 г<0 а=О, при 0<г<т а= = сопз2, при Г) т о = О.
На рис. 2.10.3, б изображена картина распределения напряжения по длине стержня при 2< т, фронт успел продвинуться на длину сГ, за фронтом всюду напряжение постоянно п равно а. При 2 ) т картина меняется, на конце сила уже не действует, значит п напряжение на конце равно нулю. Свободная от напряжений область распространяется по стержню с той же скоростью с, граница ее образует задний фронт волны. График распределения напряжений по длине изображен па рис.
2ЛО.З, в, он движется вправо со скоростью с, сохраняя неизменную форму. Этот график повторяет график изменения во времени силы, 5 2ЛЬ 11АПРЯЖЕНИЯ ПРИ УДАРЕ действующей на конец стержня, с изменением масштаба по оси абсцисс: вместо времени 2 за абсциссу принимается длина сб Сделанный вывод можно распространить и на тот случай, когда сила Р, приложенная к концу стержня, меняется во времени по произвольному закону. Заменяя плавную кривую ступенчатой, мы сведем задачу к рассмотрению последовательности волн, посылаемых вдоль стержня кратковременными нагрузками постоянной интенсивности, т. е.
к уже рассмотренному случаго. Переходя к пределу, получим перемещающееся вдоль стержня распределение напряжений по длине, в точности повторяющее закон изменения силы РЯ со временем. Если в некотором сечении с координатой з поставить тензометр, т. е. прибор, измеряющий деформацию, по закону Гука мон1но определить пропорциональные деформации напряжения о. Зависимость напряжения от времени в любом сечении будет повторять зависимость от времени напряжения, приложенного па конце, со одвпгом на время з/с. Изложенная теория распространения упругих волн в стержнях не вполне точна по двум причинам: 1. Продольная деформация стержня сопровождается поперечным расширением нли сокращением, в строгой теории должна учитываться инерция поперечного движения.
2. Наличие фронта, на котором скачком меняется напряжение, а следовательно, деформация, опять-таки вследствие поперечной деформации, сопровождающей продольную, должно привести к образованию ступени на поверхности стержня, что невозможно; при наличии ступени деформации в точке были бы бесконечно велики. Понятие о точной теории распространения волн в стержнях будет сообщено в гл. 13. 5 2.11. Напряжения при ударе Если удар производится по концу весьма длинного стержня, причем скорость ударяющего тела есть Р, то напряжение в стержне определится по формуле (2.10.2), которую с учетом (2.10.4) можно переписать следующим образом: (у — Я (2.И.1) Рассмотрим теперь тот случай, когда удар производится по стержню конечной длины 1 и масса ударяющего груза не слишком велика.
Для определенности будем считать, что другой конец стержня жестко закреплен и груз, например, падает на стержень с высоты 1г, как показано на рнс. 211.1. Встречая сопротпвление со стороны стержня, груз будет замедлять движение, скорость уменыпится до нуля прп наибольшем сжатии стержня, Гл. 2. Рлстяжьишн и сжатии 74 Ма х Т+ //= Т, = —. о (2.И.2) По мере увеличения деформации стержня скорость груза убыва- ет и на мгновение становится равной нулю тогда, когда величина деформации максимальна.
В зто мгновение Т = О, поэтому из (2.И.2) следует (7 = Т, = '/; 11э'. Было сделано предположение о том, что стержень деформируется так же, как и прп статическом приложении нагрузки. Поэтому упругая энергия выражается через деформацию по формуле (2.8.5). Внося это выраягение в написанное вьппе условие, найдем Г2Т„й (ш()шах = ~/ ел' Если груз весом Д падает с высоты Й, как это показано на ри- сунке, то Т, =(~Й и, следовательно: ч 29И Р)) шах — 1/ ш 1/ ла (2.И.З) Заметим, что деформация от статически приложенного груза равна (Ы)., = (/!/(ЕР). Тогда формула для максимальной деформации ногда вся кинетическая энергия груза перейдет в упругузо энергию сжатого стержня и кинетическую энергию бегающих по нему волн. После этого груз начнет снова двигаться вверх до тех пор, пока не отделится от стержня.
Если длина стержня невелика и масса его много мепыпе массы груза М, то продолжительность соударепия много больше, чем время прохождения упругой волны по длине 1 стержня; за это время волна много раз пробежит эту длину, отразится от заделанного конца, вернется к тому концу, по которому произведен удар, -+ отразится снова и так далее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
