Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 20
Текст из файла (страница 20)
сил, приложенных справа, взятая с обратным знаком. Х1згибающил моментом называется момент относительно оси, параллельной оси х и проходящей через центр тяжести сечения всех сил,приложенных слева от сечения, или спл,приложенных справа с обратным знаком. Во всем изложении мы обошли молчанием вопрос о крутящем моменте, т. е. моменте относительно осп з. Причина этого состоит в том, что теория кручения элементарно изложена быть не может и в этой теории основную роль играет не ось з, проходящая через центр тяжести сечения, а,параллельная ей ось, проходящая через центр изгиба. В сопротивлении материалов и строительной механике приходится иметь дело с функциями ЛХ„(з) и ~„(г).
При этом основная трудность состоит в том, что эти функции, как правило, оказываются лишь кусочно гладкими. Задавая их аналитические выражения на разных участках, мы получим очень громоздкую форму представления функций, изображаемых простыми графиками (по большей части ломаными). Поэтому в практике расчетов обычно начинают с построения графиков этих функций, или так называемых эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил. Некоторые аналитические операции, например вычисление интегралов от кусочно линейных функций, сводятся к элементарному вычислению площадей треугольников и трапеций.
Такие приемы, которые называют графо-аналитическими, чрезвычайно облегчают решение многих задач, поэтому ниже будут изложены некоторые элементарные приемы построения такого рода эпюр. Вначале, однако, мы установим дифференциальные соотношения между нагрузкой, перерезывающей силой н изгибающим моментом, справедливые для тех участков, где эти функции дифференцируемы. Рассмотрим стержень, нагруженный силами в плоскости уОз (рис. 3.4Л). Разрежем стержень по сечению тп с коордпнатой з и отбросим левую часть стержня. Рассматрпвая оставшуюся правую часть, мы должны заменить действие сил, отброшенных вместе с левой частью, их результирующей, равной главному вектору, и парой, момент которой равен главному мо- 3 зл.
изгивлгощин мозтенты и пегевезьгпагопнте силы 35 менту, приведенными к центру тяжести сечения с координатой г. По определению перерезывающей снчы и изгибающего момента главный вектор равен по величине г,тт, главный момент М. Рассмотрим бесконечно близкое сечение рд с координатой г+ дг. Элемент балки, заключенный между сечениями ти и рд, показан на том же рисунке внизу. Если считать, что 1',)„и М„являются функциями. от координаты г, то с правой стороны изображенного элемента действуют сила (),+. 11',)а и момент М,+1)М„. Обозначая интенсивпость распределенной нагрузки, т. е. силу, приходящуюся на единицу длины балки, через дю составим уравнения у равновесия элемента.
Получим т 7 с)()„= д„дг, (3.4.1) ад дМ„= ()а с)г. (3.4.2) У' Прп составлении уравнения (3.4.2) учтено, что, если 1т, конечр У но, то момент от нагрузки д„есть Рис. 3.43 неличина второго порядка малости. Для изгиба в плоскости хОг, соблюдая правило знаков, получим совершенно аналогичным образом: о1(). = д„с)г, 1)М„= — 1',), дг. (3.4.3) При построении эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил рекомепдуется исходить только из данных выше определений, дифференциальные соотношения (3.4.1) и (3.4.2)' полезно использовать для контроля правильности построснпя.
Я'„ Р Р Рассмотрим в качестве д примера балку, изображенную Ю на рис. 3.4.2. Очевидно, каждая из реакций равна по величине силе Р и направлена вверх. Точки приложеппл сосредоточенных сил разбивают у балку на три участка. Па первом участке /~ ,т 11тт Р ЛХ Р 1 1 па втором 1 (зт = Р + Р— О м = — Рз+Р(з — а) = — Ра, на третьем 9т —— — Р+ Р+Р = Р, ЛХ~ = — Рз+Р(з — а) + Р(з — 2а) = — Р(3а — з). Рис. 3.4.2 При вычислении перерезывающей силы и изгибающего момента на третьеи участке мы в данном случае, конечно, поступили неэкономично. Проще ГЛ.
Э. ИЗГИБ БАЛОН было бы вычислять просвцнго н момент силы, находнщсйся справа от сеченпя, т. е. одной единственной реакцпя, с обратпым знаком. На том же рисунке 3.4.2 изображены эпюры (~т н Л1,. Во многих случаях построение эпюр возможно и без составления аналитических выражений моментов и перерезывающих сил по участкам. Достаточно вычислить моменты для некоторых характерных сечений, при построении же следует руководствоваться следующими правилами.
а. Неререзывающая сила претерпевает разрыв только в точке приложения сосредоточенной силы на величину этой силы. б. На незагруженном участке перерезывающая сила постоянна. в. На равномерно загруженном участке перерезывающая сила есть линейная функция х, возрастающая, если нагрузка положительна, г. Изгибающий момент претерпевает разрыв только в точке приложения сосредоточенного момента на величину этого момента. д.
На незагруженных участках эпюра моментов есть прямая, паьлон которой пропорционален перерезывающей силе. е. Эпюра моментов образует изломы только там, где перерезывающая сила разрывна, т. е. в точках приложения сосредоточенных сил. ж, Изгибающий момент принимает экстремальное значение там, где перерезывающая сила равна нулю. з. На свободном конце или концевой опоре изгибающий момент равен нулю, если там не приложен внешний момент. и. На равномерно загруженном участке эпюра изгибающих моментов есть парабола, обращенная выпуклостью вверх, если нагрузка положительна (направ- Х 1 лена вниз). Приложим эти правила к балке, .ф изооражевной на рнс.
3.4.3. Распределенная нагрузка направлена внпз в направленяи положительной осн Ю следовательно, она положительна. Каждая из реакции опор равна да н направлена ! вверх. По определению, на участке ! перерезывающая сила постоянна и равна — да, на участке 1П 4зт = +да. Так как сосредоточенных спл нет, то согласно правилу (а) эпюра должна быть непрерывна. Поэтому крайние Рпс.
3.4.3 точки эпюр на участках 1 и !П нужно соединить прямой. Согласно правилу (з) на левом и правом концат балки изгибающий момент равен пулю, на участках 1 н 111 по правилу (д) эпюра прямолинейна. Поэтому достаточно вычислить пзгпбающпй ьюкепт на границе между первым и вторым, а также вторым и третьим учагтьамп. И тут н там этот момент равен — еа(! — а).
Отложззм соответствующие отрезки по вертикали вверх и соединим концы их прямыми с концами отрезка, изображающего балку. В соответствии с правилом (и) на участке !1 3 зв, про'!Ность и нясущля спосонпость пни пэгпск 37 мюра момеатов продставлнет собою параболу, направленную вьп,уклостью вверх. Параоола плавно сопрнгаетсн с прнмолнпоглными участкамп согласно правилу (е). Бследстспе правила (ж) абсоспотпак величина момегна достигает макспт;ума в середине балки, этот момент равен оа а гп = — да)+ —.= — ах[~ и ~. ь 3.5.
Прочность и несущая способность при изгибе Если продольная сила отсутствует и изгиб происходит в плоскости уОг, в формуле (3.3.5) сохраняется только один член, а именно ЛУ„У и = — — ". (3.5 1) В точках осп х напряжения по этой формуле получаются равнымп нулю, поэтому ось х называют нейтральной осью сечения, а поверхность, в которую превращается вследствие изгиба плоскость иО, нейтральной поверхностью. По аналогии со стержневыми системами (з 2.5) балки можно рассчитывать на изгиб по допуснаемым напряженним. Для этого нужно потребовать, чтобы наибольшее растягивающее напряжение не превышало величины [4„а наибольшее сжимающее— величины [О), . Обозначим через Ь, и Ь, расстояния от центра тяжести сечения до его крайних точек в сжатой и растянутой зонах соответственно.
Именно в этих точках, как следует из формулы (3.5.1), абсолютные величины соответствующих напряжений максимальны. Для обеспечения прочности балки по условнго допускаемых напряжений должно быть [ЛХх[ — '([о]„н, [Лгх[ — '([О[в. х х Естественно потребовать, чтобы запас прочности по растягивающпм и сжимающим напряжениям был одинаков, это апачпт, что знак равенства в условиях (3.5.2) появляется одновременно. ,Для этого нужно, чтобы было Ь,: Ь. = [О1.:.:[О1' Если допускаемое напряжение на растяжение и сжатие одинаково, то расчет ведется по наибольшей абсолютной величине напряжения, значит требуется выполнение такого условия: [ ЛУ„[[ у[ „ [ О[ „, = ( [О). ~х Величина 1,[[у[ „, называется моментом сопротивления изгибу и обозначается И'„.
Таким образом, расчетная формула будет гл. г. пзгкв Бллок 88 следующая: ! Мх[ — "( [о). х! (3.5.3) б. Круговое нольуо с наружным диаметром с[ и внутренним д,: в. Прямоугольник с высотой Н и шириной Ь: Если балка изготовлена из пластического материала, то расчет по допускаемым напряжениям занижает действительную несущую способность балкп, как это было в случае статически еу Л гв Рис. 3.53 неопределимых стержневых систем (з 2.5). Так же как и в этом случае, бывает целесообразно производить расчет по предельному состоянию. Чтобы пояснить идею, обратимся к рис.
3.5Л, на котором изображено сечение стержня, для простоты симметричное относительно оси у. Рядом нарисованы эпюры распределения напряжений по сечению по мере увеличения изгибающего момента. В этой главе, так же как и в предыдущей, мы не рассматрпзаем детально вопрос о характере и об условиях разрушения. Расчет по допускаемым напряжениям оправдан для хрупких материалов, у которых достижение напряжением предельного зна'гения хотя бы в одной точке (грубо говоря) вызывает появление трещины, которая распространяется катастрофически.
Мы увидим далее, что при переменных нагрузках пластические материалы могут разрушаться хрупко и расчет по допускаемым напряжениям в этом случае оправдан. Приведем выраженкя моментов инерции и моментов сопротввления для некоторых простейших форм поперечного сечения. а. Круг диаметра д: 5 5.5. пРОчность н несущая спосОБность пРН изгпБе 33 Сначала материал упруг, напряжение линейно зависит от координаты р. Когда деформация по абсолютной величине станет больше, чем е, = о,1П, напряжение Останется постоянным как в растянутой, так и в сжатой часп1 стержня, стержень перейдет в упругопластическое состояние, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
